Дослідження локальних формацій із заданими властивостями

Курсова робота

 

Дослідження локальних формацій із заданими властивостями

Введення

Формації, тобто класи груп, замкнуті відносно фактор - груп і під прямих добутків, завжди перебували в поле діяльності дослідників по теорії кінцевих груп. Однак аж до 1963 р. формаційний розвиток теорії кінцевих груп ішло лише по шляху нагромадження фактів, що ставляться до різних конкретних формацій, з яких найбільш популярними були формація розв'язних груп і її подформації, складені з абелевих, нильпотентних груп.

У курсовій роботі розглядається добуток формацій, операції на класах груп, що приводять до формацій. Розглядаються локальні формації й екрани. Розглядаються найпростіші властивості локальної формації всіх груп з нильпотентним компонентом.

Визначення 1.1 Класом груп називають усяка множина груп, що містить разом з кожною своєю групою  й всі групи, ізоморфні .

Якщо група (підгрупа) належать класу , то вона називається групою ( - підгрупою).

Визначення 1.2. Клас груп  називається формацією, якщо виконуються наступні умови:

1) кожна фактор - група будь - якої групи з  також належить ;

2) із  завжди треба .

Якщо формації  й  такі, що , то  називається підформацією формації .

По визначенню, порожня множина є формацією (порожня формація). Множина  всіх груп є, звичайно, формацією. Одинична формація  – це непустий клас груп, що складає лише з одиничних груп. Формаціями є: клас  усіх  - груп, клас  всіх абелевих груп, клас  всіх нильпотентних груп, клас  усіх  - груп ( – фіксоване простої число), клас  всіх нильпотентних  - груп, клас  всіх розв'язних груп, клас  всіх розв'язних  - груп. Ми привели поки лише приклади тих формацій, за яких закріплені відповідні позначення.

Лема 1.1. Справедливі наступні твердження:

1) перетинання будь - якої множини формацій також є формацією;

2) якщо  – деяка множина формацій, лінійно впорядковане щодо включення , то об'єднання  є формацією.

Доказ здійснюється перевіркою.

Визначення 1.3. Нехай  – непуста формація. Позначимо через  і  - корадикалом групи  перетинання всіх тих нормальних підгруп  з , для яких .

Очевидно,  - корадикал будь - якої групи є характеристичною підгрупою.  - корадикал групи  позначають інакше через  і називають  - корадикалом.  - корадикал будемо називати нильпотентним радикалом; зрозумілі також терміни розв'язний корадикал,  - розв'язний корадикал,  -  корадикал і т.д.  - корадикал (або абелев корадикал) – це комутант групи. Так само як і комутант,  - корадикал зберігається при гомоморфізмах.

Лема 1.2. Нехай  – непуста формація, . Тоді справедливі наступні твердження:

1)

2) якщо  те

3) якщо  й , те

Доказ. Нехай . Тоді

Звідси треба, що . З іншого боку,

звідки одержуємо . З  і  треба рівність . Твердження 1) доведено.

Нехай  – природний гомоморфізм групи  на  Очевидно,

звідки треба рівність . Зокрема, якщо , те . Лема доведена.

Визначення 1.4. Нехай  і  – деякі формації. Якщо , то покладемо  Якщо , те позначимо через  клас всіх тих груп , для яких  Клас  називається добутком формацій  і .

З визначення 1.4 треба, що добуток формацій  є порожньою формацією тоді й тільки тоді, коли принаймні одна з формацій  є порожньою. Можна визначити добуток декількох формацій як результат послідовного множення. Якщо задано впорядкований набір формацій  причому добуток  уже визначений, то  Зокрема, якщо  для будь - якого  те ми приходимо до поняття ступеня

Поняття добутку формацій становить інтерес із погляду побудови формацій.

Теорема 1.1. Добуток будь - яких двох формацій також є формацією.

Лема 1.3. Нехай  і  – нормальні підгрупи групи . Тоді кожний головний фактор групи   - ізоморфний або деякому головному фактору групи , або деякому головному фактору групи

Доказ випливає з розгляду  - ізоморфізму

Теорема 1.2. Нехай  – деяка формація,  – клас всіх тих груп, всі головні фактори яких належать  Нехай  – об'єднання формацій  Тоді  – підформація формації

Доказ. З леми 1.3 виводимо, що  – формація. З теореми 1.1 і леми 1.1 випливає, що клас  є формацією. Якщо  – мінімальна нормальна підгрупа групи , то по індукції  для деякого натурального . Але тоді або , або  –  - корадикал групи . Тому що , те звідси випливає, що , і теорема доведена.

Операції на класах груп

Визначення 2.1. Усяке відображення множини всіх класів груп у себе називається операцією на класах груп.

Операції ми будемо позначати, як правило, прямими більшими латинськими буквами. Результат операції , застосованої до класу  позначається через  Ступінь операції  визначається так:  Добуток операцій визначається рівностями:

Уведемо операції  в такий спосіб:

 тоді й тільки тоді, коли  вкладається як підгрупа в якусь  - групу;

 тоді й тільки тоді, коли  вкладається як нормальна підгрупа в якусь  - групу;

 тоді й тільки тоді, коли  є гомоморфним образом якоїсь  - групи;

 тоді й тільки тоді, коли  співпадає з добутком деякого кінцевого числа своїх нормальних  - підгруп;

 тоді й тільки тоді, коли  має нормальні підгрупи  такі, що

 тоді й тільки тоді, коли  є розширенням  - групи за допомогою  - групи;

 тоді й тільки тоді, коли  має нормальну підгрупу  таку, що

Якщо , то замість  пишуть  Оборотний увага на той факт, що якщо  – нормальні підгрупи групи , причому  для кожного , то  Помітимо ще, що операцію  можна визначити за допомогою поняття підпрямого добутку. Нагадаємо (див. Каргаполов і Мерзляков [1]), що підгрупа  прямого добутку  називається підпрямим добутком груп  якщо проекція  на  збігається з  Легко бачити, що  тоді й тільки тоді, коли  є добуток деякого кінцевого числа  - груп.

Визначення 2.2. Клас  називається замкнутим щодо операції  або, більш коротко,  - замкнутим, якщо

Формацію можна визначити тепер як клас груп, що одночасно  - замкнуть і  - замкнуть.  - замкнутий клас згідно Гашюцу [3] називається насиченим.  - замкнутий клас груп називається гомоморфом. Клас груп називається замкнутим щодо підгруп (нормальних підгруп), якщо він  - замкнутий (відповідно  - замкнуть).

Лема 2.1. . Якщо клас груп  містить одиничну групу й  - замкнуть, то

Доказ. Щодо операцій  і  твердження очевидно. Нехай  – довільний клас груп. Ясно, що  Якщо , те в  найдеться нормальна підгрупа  така, що . Група  має нормальну підгрупу  таку, що  й  Але тоді  Тому що , те, а виходить,  Таким чином, , що й потрібно.

Нехай . Якщо , то  має нормальну  - підгрупу  таку, що  Група  має нормальну  - підгрупу  таку, що . Тому що  й , те з  - замкнутості класу  треба, що . Виходить, , тобто . Зворотне включення очевидно.

Лема 2.2. Для будь - якого класу  справедливо наступне твердження:

Доказ. Якщо , то  Нехай  Якщо , те, а виходить, . Таким чином, . Нехай . Тоді  має такі нормальні підгрупи , що  Група  має такі нормальні підгрупи , що  Тому що , те, що й доводить рівність

Лема 2.3. Для будь - якого класу  має місце включення

Доказ. Якщо , то . Нехай  і група  є підпрямим добутком груп , де . Розглянемо функцію  . Функція  є гомоморфізмом групи  в групу . Ясно, що

є добуток груп , причому . Отже, , і лема доведена.

Лема 2.4.

У роботі Фишера, Гашюца й Хартли [1] уведене наступне поняття, у деякому змісті двоїсте визначенню формації.

Визначення 2.3. Клас груп  називається класом Фиттинга, якщо він одночасно  - замкнутий і  - замкнуть.

Клас Фиттинга ми будемо надалі називати інакше радикальним класом. Через подвійність (нормальна підгрупа – фактор - група) формацію можна було б назвати корадикальним класом.

Визначення 2.4. Нехай  непустий  - замкнутий клас, що містить 1. Позначимо через  і назвемо  - радикалом групи  добуток всіх її нормальних  - підгруп.

Класи  є радикальними.  - радикал групи  – це її підгрупа Фиттинга   - радикал позначають інакше через  і називають  - радикалом.  - радикал називають розв'язним радикалом; зрозумілі також терміни  - нильпотентний радикал,  - замкнутий радикал і т.д. Клас усіх  - нильпотентних груп є одночасно радикальним і корадикальним;  – це  - нильпотентний радикал групи .

Надалі ми будемо вивчати формації, замкнуті щодо тих або інших операцій; зокрема, будуть розглядатися радикальні формації, тобто формації, що є одночасно й класами Фиттинга. Зараз ми звернемося до задачі побудова формацій за допомогою операцій

Теорема 2.1. Нехай  і  – формації, причому або , або  замкнута щодо нормальних підгруп. Тоді  – формація, що збігається з добутком

Визначення 2.5. Нехай  – деяка множина груп. Нехай  – перетинання всіх тих формацій, які містять  клас  називається формацією, породженої множиною груп

Помітимо, що операцію  часто позначають інакше через  Якщо  те пишуть  замість , причому в цьому випадку  називають формацією, породженою групою .

Теорема 2.2. Для будь - якого класу  має місце рівність:

Доказ. Якщо , те, і твердження вірно. Нехай . Тому що , те клас  є  - замкнутим.  є клас і  по лемі 2.2. Використовуючи це й леми 2.3 і 2.4, одержуємо

Останнє означає  - замкнутість класу . Отже,  – формація, що містить , тому що . Виходить, . Зворотне включення очевидно.

Лема 2.5. Для будь - яких елементів  групи  виконуються рівності  Якщо  – підгрупи групи , то виконуються наступні твердження:

1)

2)  для будь - якого гомоморфізму  групи ; зокрема, якщо група  з  нормалізує  й , те  нормалізує й

Лема 2.6 Нехай  – підгрупа нильпотентної групи , причому . Тоді

Доказ. Для того щоб довести лему, досить установити, що при будь - якому натуральному  виконується включення:

При  це вірно, тому що , а виходить, . Припустимо, що включення (*) справедливо при якімсь . Тоді, використовуючи лему 2.5, одержуємо

Тим самим (*) доведено.

Теорема 2.3 (Брайант, Брайс, Хартли [1]). Якщо  – така підгрупа групи , що , то

Доказ. Нехай  – нильпотентна нормальна підгрупа групи , а  – така підгрупа з , що . Доведемо індукцією по , що . Це вірно, якщо . Тому будемо вважати, що . Розглянемо наступні підгрупи прямого добутку

Очевидно, підгрупа  нормалізує  й . Позначимо через  підгрупу групи , породжену підгрупами . Оскільки проекції  на множники прямого добутку  рівні , те . Помітимо ще, що , де  нормально в  і нильпотентна як добуток з .

Нехай  – центр підгрупи , . Легко бачити, що , причому  й ; аналогічно,  і . Але тоді , абелева й нормальна в.  Якщо , те, де , і якщо , те, що тягне . Отже, . Якщо  абелева, те, і ми маємо

Припустимо тепер, що . Ясно, що . Тому що

те  нильпотентна щабля . Тому що , те  ізоморфна  й має щабель , а тому відповідно до леми 2.6 її нормальне замикання  в  має щабель . Тому що  нормалізує  й , те  нормальна в.  Отже, , причому . По індукції

Для групи  і її нильпотентної нормальної підгрупи  щабля  теорема також вірна по індукції. Тому

Теорема доведена.

Теорема 2.4. (Нейман [1]) Формація, породжена розв'язною групою, містить лише кінцеве число підформацій.

Доказ. Нехай  – підформація формації . Якщо , то по теоремі 2.3 має місце , що й потрібно.

Екрани

Недоліком поняття групової функції  є те, що не завжди ущільнення  - центрального ряду нормальними підгрупами є  - центральним рядом.

Визначення 3.1. Відображення  класу  всіх груп у множину класів груп назвемо екраном, якщо для будь - якої групи  виконуються наступні умови:

1)  – формація;

2)  для будь - якого гомоморфізму  групи ;

3) .

З умови 2) випливає, що екран  приймає однакове значення на ізоморфних групах, тобто є груповою функцією в змісті визначення 3.1. Крім того, видно, що якщо  – екран, те кожний f - центральний ряд після видалення повторень може бути ущільнений до f - центрального головного ряду, а виходить, клас груп, що володіють f - центральними рядами, співпадає з формацією .

Лема 3.1. Нехай  – екран,  – група операторів групи ,  – деяка нормальна  - припустима підгрупа з . Якщо  володіє нормальним  - припустимим рядом, фактори якого  - центральні відносно , то один з таких рядів проходить через .

Доказ. Нехай даний ряд, що задовольняє умові леми:

Нехай . Тоді ряд

буде шуканим. У цьому неважко переконатися, використовуючи визначення екрана й  - ізоморфизми:

Лема 3.2. Справедливі наступні твердження:

1) перетинання будь - якої непустої множини екранів також є екраном;

2) об'єднання будь - якого непустого ланцюга екранів також є екраном.

Доказ. Перше твердження очевидно. Нехай непуста множина екранів  є ланцюгом, тобто лінійно впорядковано (з відношенням часткової впорядкованості , уведеним у визначенні 3.5). Тоді для будь - якої групи  множина формацій  лінійно впорядковано щодо включення, а отже, через лему 1.1 об'єднання  є формацією. Тим самим лема доведена.

Визначення 3.2. Екран  назвемо:

1) p - однорідним, якщо він p - постійний і для будь - якої групи  і її силовської p – підгрупи  має місце ;

2) однорідним, якщо він p - однорідний для будь - якого простого p;

3) локальним, якщо він є локальною груповою функцією;

4) композиційним, якщо для будь - якої групи  має місце , де  пробігає всі фактори групи

5) порожнім, якщо  для будь - якої неодиничної групи ;

6)  - екраном, якщо  для будь - якої групи .

 - екран при  будемо називати одиничним екраном.

Легко бачити, що кожний локальний екран є однорідним, а кожний композиційний екран є примарно постійним.

Приклад 3.1. Нехай  і  – непусті формації, причому , а групова функція  така, що  для кожної групи  й  для будь - який групи . Тоді  – однорідний екран, що не є ні локальним, ні композиційним.

Приклад 3.2. Нехай  – непуста формація, а групова функція  така, що для будь - який групи  виконуються умови:

1) , якщо  не має абелевих композиційних факторів;

2) , якщо  має хоча б один абелев композиційний фактор.

Тоді  – композиційний екран, що не є однорідним.

Зауваження 1. Локальний екран повністю визначається своїми значеннями на підгрупах. Щоб побудувати локальний екран , досить кожному простому числу  поставити у відповідність деяку формацію , а потім для будь - якої групи  покласти , де  пробігає .

Зауваження 2. Щоб побудувати композиційний екран , потрібно кожній простій групі  поставити у відповідність деяку формацію , а потім для будь - якої групи  покласти , де  пробігає всі композиційні фактори групи .

Лема 3.3. Справедливі наступні твердження: 1) перетинання будь - якої непустої множини однорідних екранів знову є однорідним екраном;

2) перетинання будь - якої непустої множини локальних екранів знову є локальним екраном;

3) перетинання будь - якої непустої множини композиційних екранів знову є композиційним екраном.

Доказ. Нехай екран  є перетинанням множини екранів . Припустимо, що всі екрани  є локальними, тобто для будь - яких  і  має місце рівність:

де  пробігає всі підгрупи групи . Тоді

а виходить,  – локальний екран.

Лема 3.4. Об'єднання будь - якого непустого ланцюга примарно постійних екранів є примарно постійним екраном.

Доказ. Нехай  – деякий ланцюг екранів,  – її об'єднання, . По лемі 3.3 функція  є екраном, причому ясно, що постійність  тягне постійність екрана . Припустимо, що все  є однорідними екранами. Тоді, якщо  – будь - яка група й , те . Отже,

що й доводить однорідність екрана .

Екрани формацій

Кожної групової функції  відповідає формація .

Лема 3.5.  є непустою формацією для будь - якої групової функції .

Визначення 3.3. Нехай  – деяка формація. Якщо  – такий екран, що , то формація  називається східчастою формацією, причому в цьому випадку будемо говорити, що

 – екран формації ,

 має екран ,

екран  визначає формацію ,

 визначається екраном .

Формація  має одиничний екран. Одинична формація  має порожній екран.

Визначення 3.4. Екран  назвемо внутрішнім, якщо  – внутрішня групова функція, тобто  для будь - якої неодиничної групи .

Лема 3.6. Кожна східчаста формація має принаймні один екран.

Доказ. Нехай  – екран формації . Визначимо функцію  в такий спосіб:  для будь - якої групи . Легко бачити, що  – екран, причому . Якщо  й  – головний фактор групи , то . Тому що клас   - замкнуть, те, а виходить,   - центральний  Таким чином, . Отже, , тобто  – шуканий внутрішній екран.

Лема 3.7. Нехай  – екран формації . Тоді  є екраном формації .

Доказ. Нехай  – довільний головний фактор групи . Нехай . Тому що , те . Виходить, , тобто   - в.  Звідси треба, що .

Обернено, якщо , те головний ряд групи  буде  - центральним для будь - якого , тобто . Отже, .

Лема 3.8. Перетинання  будь - якої непустої множини  екранів формації  знову є екраном формації . Крім того, якщо в  є хоча б один внутрішній екран, те  – внутрішній екран.

Доказ. Те, що  – екран формації , безпосередньо треба з леми 3.7. Нехай у  є внутрішній екран . Тоді  для будь - якої групи . Виходить,  – внутрішній екран.

Формація з однорідним екраном

Теорема 3.1. (Шеметков) Усяка формація, що має принаймні один однорідний екран, є локальною формацією.

Доказ. Нехай формація  має однорідний екран. Через лему 3.6 формація  має внутрішній однорідний екран . Побудуємо локальний екран , що задовольняє наступній умові:  для будь - якого простого . Тоді  й, отже, . Припустимо, що формація  має групи, що не входять в , і виберемо серед всіх таких груп групу , що має найменший порядок. Тоді  є єдиною мінімальною нормальною підгрупою групи . Тому що , те для кожного  має місце

Якщо  неабелева, то  й . Якщо ж  –  - група, то виходить, що   - центральна в.  А це суперечить тому, що . Теорема доведена.

Локальна формація

Неодинична формація, що має локальний екран, містить деякі неодиничні групи.

Визначення 4.1. Формація  називається локальної, якщо вона має хоча б один локальний екран.

Визначення 4.2. Нехай  – внутрішній локальний екран формації , що є максимальним елементом множини всіх внутрішніх локальних екранів формації . Тоді  називається максимальним внутрішнім локальним екраном формації .

Теорема 4.1. (Картер і Хоукс [1], Шмид [5]). Локальна формація  має єдиний максимальний внутрішній локальний екран , причому  задовольняє наступній умові:  для будь - якого простого числа p.

Визначення 4.3. Нехай  – локальна формація. Мінімальний елемент множини всіх локальних екранів формації  назвемо мінімальним локальним екраном формації .

Теорема 4.2. Локальна формація має єдиний мінімальний локальний екран, що є до того ж внутрішнім екраном.

Доказ. Нехай  – множина всіх локальних екранів формації , причому . Позначимо через  перетинання множини екранів . У множині  є внутрішній екран, тому  – внутрішній екран формації . По лемі 3.4 екран  є локальним. Через лему 3.8  – шуканий екран.

Побудова локальних формацій

1. Формація всіх груп. Формація  має локальний екран  таким, що  для будь - якого простого .

2. Формація одиничних груп. Формація  має порожній екран, що, мабуть, локальний.

3. Формація нильпотентних  - груп. Нехай  – формація всіх нильпотентних  - груп,  – такий локальний екран, що  для кожного  для кожного . Очевидно,  – мінімальний локальний екран формації .

4. Формація  - груп. Нехай  – формація всіх  - груп,  – такий локальний екран, що  для кожного  для кожного . Очевидно,  –локальний екран формації .

5. Формація  - нильпотентних груп. Нехай  – формація всіх  - нильпотентних груп ( – фіксоване простої число),  – такий локальний екран, що  для будь - якого простого числа , відмінного від . Покажемо, що  – екран формації . Головний ряд  - нильпотентної групи  - центральний. Нехай . Потрібно встановити, що   - нильпотентна. Нехай  – мінімальна нормальна підгрупа групи . По індукції   - нильпотентна. Якщо  –  - група, то звідси треба, що й   - нильпотентна. Якщо ж  - група, те, тобто . Якщо тепер  –  - підгрупа з , то через  підгрупа   - нильпотентна, а виходить, і   - нильпотентна. Тим самим показано, що .

Теорема 5.1. У кожній  - групі  підгрупа  збігається з перетинанням у  всіх головних  - факторів групи .

Наслідок 5.1.1. У будь - якій групі  підгрупа Фиттинга  збігається з перетинанням у  всіх головних факторів групи .

Наслідок 5.1.2. Для кожної  - розв'язної групи  має місце включення .

Наслідок 5.1.3. (Фиттинг).  для будь - якої розв'язної групи .

Наслідок 5.1.4. (Чунихин [3]). Комутант  - групи  - нильпотентний.

6. Формація  - замкнутих груп. Нехай  – формація всіх  - замкнутих груп ( – деяка фіксована множина простих чисел),  – такий локальний екран, що  для кожного  для кожного . Покажемо, що  – екран формації .

Очевидно, . Припустимо, що клас  не порожній, і виберемо в ньому групу  найменшого порядку. Тоді  має єдину мінімальну нормальну підгрупу , причому  не є  - групою. Нехай . Тому що , те, а виходить, . Тому  – абелева  - група. Тому що   - замкнута, те й   - замкнута, тобто  має нормальну  - підгрупу . Ясно, що . Тому що , те . Легко бачити, що , а виходить, і група   - замкнута. Тим самим показано, що .

7. Формація  - дисперсивних груп. Нехай  – деяке лінійне впорядкування множини всіх простих чисел,  – формація всіх  - дисперсивних груп. Покажемо, що  локально.

Розглянемо всілякі множини  простих чисел, що володіють наступною властивістю:  для всіх . Нехай  – формація всіх  - замкнутих груп. Очевидно, . Тому що формації  локальні, то по лемі 3.4 формація  також є локальною.

8. Формація  - розв'язних груп. Нехай  – формація всіх  - розв'язних груп,  – такий локальний екран, що  для будь - якого простого . Неважко помітити, що  – максимальний внутрішній локальний екран формації . Зокрема, формація  є локальною.

9. Формація  - груп. Нехай  – формація всіх  - груп. Позначимо через  формацію всіх абелевих груп експоненти, що ділить . Побудуємо локальний екран  такий, що  для кожного  для кожного . Покажемо, що . Ясно, що . Нехай ,  – мінімальна нормальна підгрупа групи . По індукції . Якщо  –  - група, то   - понад розв'язна. Нехай порядок  ділиться на деяке число . Тоді, якщо , те

Звідси треба, що  –  - група.

Лема 5.1. Нехай  – деяка що не приводиться абелева група автоморфизмів  - групи  й . Тоді  – циклічна група порядку, що ділить . Крім того,  – найменше натуральне число, що задовольняє порівнянню .

Доказ. Будемо вважати, що  – аддитивна абелева група. Тоді  можна розглядати як правий векторний простір розмірності  над полем  з  елементів. Нехай  – комутативне підкольцо кільця , породжене елементами  й . Через умову  є правим  - модулем (визначення, пов'язані з  - модулями, див. у Кертиса й Райнера [1]). По лемі Шура,  – тіло. Тому що  комутативне, те . Легко бачити, що множина всіх ненульових елементів із  замкнуто щодо операції множення й, отже, є групою. Тому  – поле. Тому що  - модуль не  приводимо, те  для будь - якого ненульового ; але тоді відображення , є  - гомоморфізмом  - модуля  на . Тому що ядро  є ідеал поля , те  – ізоморфізм. Отже, . Відомо, що мультиплікативна група кінцевого поля циклічна. Тому  циклічна й  ділить .

Нехай  – найменше натуральне число, що задовольняє порівнянню . Тоді  ділить . Добре відомо, що поле  порядку  містить  порядку . Тому що циклічна група містить точно одну підгрупу кожного можливого порядку й  ділить, то . Але тоді  й . Лема доведена.

10. Формація . Нехай  – непуста формація,  – такий локальний екран, що  для будь - якого простого . Застосовуючи наслідок 7.1.1 можна побачити, що  – екран формації . Зокрема, формації  і  є локальними формаціями.

Нехай  – локальний екран деякої підформації  з . Застосовуючи леми 3.3 і 4.3, бачимо, що  є локальним  - екраном формації . Таким чином, кожна локальна підформація формації  має внутрішній локальний  - екран. Зокрема, будь - яка локальна підформація формації  має внутрішній локальний  - екран.

Локальні формації із заданими властивостями

Нехай  – деяка операція,  – локальний екран формації . Природно виникають два питання:

1) чи Буде   - замкнутої, якщо   - замкнута для будь - якого простого ?

2) чи Буде   - замкнутої для будь - якого простого , якщо   - замкнута?

Ми дамо позитивну відповідь на ці питання в деяких конкретних випадках.

Теорема Слепова 1 Нехай  – деякий клас груп,  – максимальний внутрішній локальний екран формації ,  – фіксоване простої число. Тоді справедливі наступні твердження:

1) якщо , те ;

2) якщо , те .

Доказ. Будемо доводити обоє твердження одночасно. Нехай  – одна з операцій , . Припустимо, що . Нехай  – (нормальна) підгрупа групи  й . Розглянемо регулярне сплетення , де ,  – елементарна абелева  - група. По лемі 3.11.  Тому що , те . Розглянемо головний ряд групи :

Нехай . Тому що  й , те

для кожного . Отже, , де . По властивості регулярного сплетення . Отже, , і по лемі 3.10 підгрупа  є  - групою. Тому що  й формація  є по теоремі 3.3  - замкнутої, то ми одержуємо, що . Теорема доведена.

Теорема Подуфалова, Слепова 2 Нехай  – максимальний внутрішній локальний екран формації . Формація   - замкнута ( - замкнута) тоді й тільки тоді, коли для будь - якого простого  формація   - замкнута (відповідно  - замкнута).

Доказ. Необхідність. Припустимо, що   - замкнуто ( - замкнута). Думаючи  й застосовуючи теорему 1, ми одержуємо, що   - замкнуто ( - замкнута) для будь - якого простого .

Достатність. Нехай для будь - якого простого  формація  є  - замкнутою ( - замкнутої). Нехай  – підгрупа (нормальна підгрупа) неодиничної групи . Покажемо, що . Тому що , те  володіє  - центральним головним рядом

Нехай . Тому що

те, де . Нехай . За умовою  й . Звідси, через , випливає, що . Тим самим установлено, що ряд

є  - центральним рядом групи . Теорема доведена.

Для будь - якого натурального числа   - замкнутий клас  містить, по визначенню, кожну групу , у вигляді добутку  нормальних  - підгруп. Послабляючи цю вимогу, ми приходимо до наступного визначення.

Визначення. Клас груп  назвемо слабко  - замкнутим, , якщо  містить усяку групу , що має  нормальних  - підгруп з попарно взаємно простими індексами.

Легко помітити, що якщо  й  – підгрупи групи  причому  й  взаємно прості, те .

Теорема Слепова 3 Нехай  – локальний екран формації  й нехай для деякого натурального числа  виконується наступна умова: для будь - якого простого  формація  або збігається з , або входить в  і є слабко  - замкнутою. Тоді  слабко  - замкнута.

Доказ. Припустимо, що теорема невірна. Тоді існують групи, що не входять в , але  нормальних  - підгруп з попарно взаємно простими індексами. Виберемо серед всіх таких груп групу  найменшого порядку. Таким чином,  не належить , але має нормальні  - підгрупи  з попарно взаємно простими індексами. Ясно, що всі підгрупи  неодиничні.

Нехай  – мінімальна нормальна підгрупа групи . У  підгрупи  мають попарно взаємно прості індекси й належать . Тому що для  теорема вірна, те . Ясно, що  – єдина мінімальна нормальна підгрупа групи , причому  й  для кожного . Через теорему 4.3.  Тому що , те найдеться таке , що . Розглянемо , де  пробігає все  - головні фактори групи . Тому що , те, . Можливі два випадки.

Випадок 1. Нехай . Тоді  неабелева й . Звідси й з одиничності  випливає, що . Але тоді  й, отже,  можна розглядати як деяку групу групи , що діє тотожно на всіх  - головних факторах групи . По добре відомій теоремі Ф. Холу  нильпотентна. Тому що  до того ж нормальна в , те . Але тоді  для будь - якого , а тому що формація  слабко  - замкнута за умовою, те . Але тоді , тому що  й за умовою . Одержали протиріччя.

Випадок 2. Нехай . Тоді  входить в  і є  - групою. Тому що , те  абелева. Нехай  – максимальна підгрупа групи , не утримуюча . Тоді , , , . Звідси, через одиничність , містимо, що , a виходить, . По лемі 3.10  є  - групою. Але тоді і  є  - групою, причому . Ми одержуємо, таким чином, що  для кожного . Але тоді , тому що  слабко  - замкнута. Останнє означає, що   - центральна в , що суперечить рівності . Знову одержали протиріччя.

Теорема доведена.

Наслідок 4 Нехай група  має дві нормальні  - понад розв'язні підгрупи, індекси яких взаємно прості. Тоді   - понадрозв'язна.

Для того щоб одержати цей наслідок, досить помітити, що побудований екран задовольняє умові теореми 3 при .

Наслідок 5 Нехай група  має дві нормальні підгрупи, індекси яких взаємно прості. Тоді  понад розв'язна .

Теорема Слепова 6 Нехай формація  має такий локальний екран , що для будь - якого простого  формація  або збігається з , або входить в  і є  - замкнутою. Тоді   - замкнута.

Доказ. Повторюємо з очевидними змінами доказ теореми 3.

Теорема Слепова 7 Нехай  – максимальний внутрішній локальний екран формації . Формація   - замкнута (слабко  - замкнута, ) тоді й тільки тоді, коли для будь - якого простого  формація   - замкнута (відповідно слабко  - замкнута).

Доказ. Достатність випливає з теорем 3 і 6. Нехай   - замкнута (слабко  - замкнута, ). Нехай , де  – нормальні  - підгрупи (нормальні  - підгрупи з попарно взаємно простими індексами). Тому що , те . Покажемо, що .

Нехай , де ,  – елементарна абелева  - група.  для кожного . Тому що   - замкнута (слабко  - замкнута), те звідси випливає, що . Якщо  – перетинання в  усіх  - головних факторів групи , то

Тому що , те по лемі 3.10 підгрупа  є  - групою. Але тоді , тому що по теоремі 3.3 має місце рівність .

Теорема доведена.

Лема Чунихина 8 Нехай , , . Тоді . Зокрема, якщо  й , те  непроста.

Доказ. З рівності  треба, що

Отже, . Звідси, через  для кожного , одержуємо . Лема доведена.

Теорема Виландт 9 Група  розв'язна, якщо вона має три розв'язні підгрупи, індекси яких у  попарно взаємно прості.

Доказ. Нехай група  має розв'язні підгрупи ,  і  з попарно взаємно простими індексами. Тоді . Нехай  – мінімальна нормальна підгрупа з . Тому що  розв'язно, те,  – простої число. Через умову теореми,  не ділить одночасно  й . Нехай, для визначеності,  не ділить . Це значить, що силовська  - підгрупа з  є силовською  - підгрупою групи . Через теорему Силова , де . Тому що  й , те по лемі 8 . Таким чином,  – неодинична розв'язна нормальна підгрупа групи . У фактор - групі  індекси підгруп ,  і  попарно взаємно прості. По індукції  розв'язна, але тоді й  розв'язна. Теорема доведена.

Випливаючи Крамеру, уведемо наступне визначення.

Визначення. Клас груп  називається  - замкнутим ( – натуральне число), якщо  містить усяку групу , що має   - підгруп, індекси яких у  при  попарно взаємно прості.

По визначенню, порожня формація  - замкнута для кожного . Єдиної  - замкнутою непустою формацією, відмінної від , умовимося вважати .

Лема 10 Нехай  і  –  - замкнуті класи груп. Тоді  також  - замкнуть.

Доказ очевидно.

Наступна лема доведена Крамером.

Лема 11 Нехай формація  втримується в  і  - замкнута, . Тоді формація  є  - замкнутою.

Доказ. Нехай група  має  - підгрупи , ,…,,індекси яких у  попарно взаємно прості. Тому що , те по теоремі 9 група  розв'язна. При будь - якому гомоморфізмі групи  образи підгрупи  належать  і мають попарно взаємно прості індекси. Тому можна вважати, що  - корадикал  групи  є її єдиною мінімальною нормальною підгрупою. Ясно, що  є  - групою для якогось . Підгрупа Фиттинга  групи  також є  - групою. Індекс будь - якої підгрупи, що не містить , ділиться на . Тому  втримується принаймні в  підгрупах нашої системи підгруп . Будемо вважати, що , . Тому що  є  - групою, те  й , . Звідси й з наслідку випливає, що , . Тому що , те ми одержуємо, що , . Скориставшись  - замкнутістю формації , ми приходимо до того, що .

Лема доведена.

Теорема Крамер 12 Нехай  – такий локальний  - екран формації , що для будь - якого простого  формація   - замкнута, . Тоді   - замкнута.

Доказ. Тому що  –  - екран, то  для будь - якого простого , а виходить, . Нехай . Через лему 4.5.  Якщо , те  й   - замкнута; якщо ж , те по лемі формація   - замкнута. У кожному разі   - замкнута. По лемі   - замкнута. Застосовуючи лему 10, ми бачимо, що й формація   - замкнута. Теорема доведена.

Тому що формація  має одиничний екран, що задовольняє умові теореми 12 при , те ми одержуємо

Наслідок Кегель 13 Група  нилъпотентна, якщо вона має три нильпотентні підгрупи, індекси яких у  попарно взаємно прості.

Цей факт випливає також і з наступного результату Кегля.

Лема 14 Клас усіх  - замкнутих груп  - замкнуть.

Доказ таке ж, як і в теореми 9.

Лема 15 Кожна формація нильпотентних груп є  - замкнутою.

Доказ. Нехай  – деяка формація нильпотентних груп. Нехай група  має  - підгрупи ,  і  з попарно взаємно простими індексами. Тоді по наслідку 13 група  нильпотентна. Якщо  – найвищий ступінь простого числа , що ділить , то  ділить  для деякого , тому що  не може ділити одночасно індекси всіх підгруп ,  і . Якщо  ділить, то силовська  - підгрупа  із  входить в  і є силовскою  - підгрупою групи . Тим самим показано, що всі силовські підгрупи нильпотентної групи  є  - групами. Тому що  – формація, те звідси треба, що .

Лема доведена.

Лема 16 Нехай  – якийсь  - замкнутий гомоморф  - замкнутих груп. Тоді клас   - замкнуть.

Доказ. Нехай група  має  - підгрупи ,  і  з попарно взаємно простими індексами. По лемі 14  має нормальну силовску  - підгрупу . Оскільки  є силовскої  - підгрупою в  і  – гомоморф, те . У групі  індекси підгруп ,  і  попарно взаємно прості. Тому через  - замкнутість  маємо . Лема доведена.

Лема 17 Для будь - якого простого  й будь - якої формації нильпотентних груп  клас  є  - замкнутою формацією.

Доказ. По лемі 15 клас   - замкнуть. По лемі 16 клас   - замкнуть і по теоремі 1.1 Ошибка! є формацією.

Теорема 18 Нехай  – локальна підформація формації ,  – максимальний внутрішній локальний екран формації . Якщо для будь - якого простого  формація   - замкнута, , то   - замкнута.

Доказ. Нехай . Через теорему 3.3 і леми 4.5, . Формація   - замкнута. По лемі 10 формація   - замкнута. Теорема доведена.

Теорема Крамер 19 Будь - яка локальна підформація формації  є  - замкнутою.

Доказ. Нехай  – локальна підформація формації .  має внутрішній локальний  - екран . Нехай  – максимальний внутрішній локальний екран формації . Тоді по теоремі 3.3 для будь - якого простого  має місце рівність . Тому що , те по лемі 17 формація   - замкнута. Тоді по теоремі 18 формація   - замкнута. Теорема доведена.

Наслідок Д рк 20 Нехай група  має чотири підгрупи, індекси яких у  попарно взаємно прості.

Висновок

У даній курсовій роботі ми дали визначення формації, добутку формацій, а також операцій на класах груп. Познайомилися з поняттям екрана, радикального й корадикального класів. У роботі розглянули ситуацію: кінцеві розв'язні групи з нормальною максимальною підгрупою, що належить локальної формації  формації  всіх груп з нильпотентним комутантом. Розглядали тільки кінцеві й розв'язні групи.

Теорія кінцевих груп ніколи не випробовувала недоліку в загальних методах, ідеях і невирішених проблемах, все - таки достаток отриманих результатів з неминучістю привело до необхідності розробки нових загальних методів і крапок, що систематизують, зору. Поштовх, зроблений роботою Гашюца, викликав цілу лавину досліджень і привів до виникнення нового напрямку - теорії формацій.

Література

1 Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.І. Основи теорії груп. – К., 2003

2 Кертис Ч., Райнер И. Теорія подань кінцевих груп і асоціативних алгебр. – К., 2006

3 Чунихин С.А. О  - властивості кінцевих груп. –К., 2001

4 Шеметков Л.А. Формація кінцевих груп. – К., 2002