A b x

 0 a b x

 рис 1.3.1 Криволинейная трапеция

Рис. 1.3.2. Метод трапеций.

Рис. 1.3.3. Метод средних прямоугольников.

По методам трапеций и средних прямоугольников соответственно интеграл равен сумме площадей прямоугольных трапеций, где основание трапеции какая-либо малая величина (точность), и сумма площадей прямоугольников, где основание прямоугольника какая-либо малая величина (точность), а высота определяется по точке пересечения верхнего основания прямоугольника, которое график функции должен пересекать в середине. Соответственно получаем формулы площадей —

для метода трапеций:

,

для метода средних прямоугольников:

.

1.4. Общая формула Симпсона (параболическая формула)

Пусть n=2m есть четное число и yi=f(xi) (i=0,1,2...n) - значения функции y=f(x) для равноотстоящих точек а=x0,x1, ... ,xn=b с шагом

  

Применив формулу Симпсона к каждому удвоенному промежутку [x0,x2], [x2,x4] ... [x2m-2,x2m] длины 2h и введя обозначения

s1=y1+y2+ ... +y2m-1

s2=y2+y4+ ... +y2m

получим обобщенную формулу Симпсона:

 

Остаточный член формулы Симпсона в общем виде:

 

где xk I (x2к-2,x2к)

1.5. Квадратурная формула Чебышева

Рассмотрим квадратурную формулу вида:

 

функцию f(x) будем исать в виде когда f(x) многочлен вида f(x)=ao+a1x+...+anxn . Проинтегрировав, преобразовав и подставив значения многочлена в узлах

f(x1)=a0+a1x1+a2x12+a3x13+...+anx1n

f(x2)=a0+a1x2+a2x22+a3x23+...+anx2n

f(x3)=a0+a1x3+a2x32+a3x33+...+anx3n

. . . . . . . . . . . . . . . .

f(xn)=a0+a1xn+a2xn2+a3xn3+...+anxnn

получим формулу Чебышева.

 

 

Значения х1,х2,..,хn для различных n приведены в таблице 3.

Таблица 3 – Значения х1,х2,..,хn для различных n.

n	I	ti	n	i	ti
2	1;2	± 0,577350	6	1;6	± 0,866247
3	1;3	± 0,707107		2;5	± 0,422519
	2	0		3;4	± 0,266635
4	1;4	± 0,794654	7	1;7	± 0,883862
	2;3	± 0,187592		2;6	± 0,529657
5	1;5	± 0,832498		3;5	± 0,321912
	2;4	± 0,374541		4	0
	3	0

2. Решение контрольного примера

 

где a=0 ; b= ; при n=5;

f(x) = sin(x);

i	xi	yi
1	0,131489	0,131118
2	0,490985	0,471494
3	0,785	0,706825
4	0,509015	0,487317
5	0,868511	0,763367

x1= p/4+p/4*t1=p/4+p/4(-0,832498)=0,131489

x2= p/4+p/4*t2=p/4+p/4(-0,374341)=0,490985

x3= p/4+p/4*t3=p/4+p/4*0=0,785

x4=1- x2=1-0,490985 = 0,509015

x5=1- x1=1-0,131489=0,868511

y1=sin(x1) = sin(0,131489)=0,131118

y2=sin(x2) = sin(0,490985)=0,471494

y3=sin(x3) = sin(0,785)=0,706825

y4=sin(x4) = sin(0,509015)=0,487317

y5=sin(x5) = sin(0,868511)=0,763367

I = p/10(0,131118+0,471494+0,706825+0,487317+0,763367) =

=p/10*2,560121=0,8038779.

3. Описание программы Integral. pas. Алгоритм.

Процедура VVOD - заполняет массив, содержащий в себе аргументы xi

Процедура FORM - используя массив, содержащий аргументы xi заполняет массив yi

Процедура CHEB - используя массивы xi и yi, высчитывает по квадратурной формуле Чебышева приближенное значение интеграла.

Процедура TABL - это подпрограмма, осуществляющая вывод таблицы узлов (аргумент - функция)

При запуске программы нужно ввести границы интегрирования.

После ввода границ интегрирования используется процедура VVOD, а затем высчитывается и выводиться на экран шаг табулирования функции h.

После этого используем процедуры FORM и CHEB .

Получив результат, выводим таблицу ( процедура TABL ) и интеграл.

 4. Заключение и выводы.

Таким образом очевидно, что при вычислении определенных интегралов с помощью квадратурных формул, а в частности по формуле Чебышева не дает нам точного значения, а только приближенное.

Чтобы максимально приблизиться к достоверному значению интеграла нужно уметь правильно выбрать метод и формулу, по которой будет вестись расчет. Так же очень важно то, какой будет взят шаг интегрирования.

Хотя численные методы и не дают очень точного значения интеграла, но они очень важны, так как не всегда можно решить задачу интегрирования аналитическим способом.

Листинг программы.

Программа написана на языке Tubro Pascal 7.0 для MS-DOS. Ниже приведен ее листинг:

program integral;

uses crt;

const n=5;

k=-0.832498;

l=-0.374541;

z=0.0;

type aa=array[1..n] of real;

var x,y:aa;

 a,b,h,ich:real;

{ заполнение х-сов в массив х[5] }

procedure vvod(var a,b:real;var c:aa);

var i:integer;

 t:aa;

Begin

t[1]:=k;

t[2]:=l;

t[3]:=z;

t[4]:=l;

t[5]:=k;

for i:=1 to n-1 do

c[i]:=((b+a)/2+(b-a)/2*t[i]);

for i:=n-1 to n do

c[i]:=1 - c[n+1-i];

end;

{ заполнение y-ков в массиве у[5] }

procedure form(var x:aa; var y:aa);

var i:integer;

Begin

for i:=1 to n do

y[i]:=sin(x[i]); {функция}

end;

 { процедура для расчета интеграла по квадратурной

формуле Чебышева }

procedure cheb(var y:aa;var ich:real);

var i:integer;

Begin

ich:=0;

for i:=1 to n do

ich:=ich+y[i]*h;

end;

{ процедура вывода таблицы}

procedure tabl;

var i:integer;

Begin

writeln(' ___________________________________ ');

writeln('| i | t| x|y |');

writeln(' ___________________________________ ');

writeln('| 1 |',k:9:6,'|',x[1]:9:6,' |',y[1]:9:6,'|');

writeln('| 2 |',l:9:6,'|',x[2]:9:6,' |',y[2]:9:6,'|');

writeln('| 3 |',z:9:6,'|',x[3]:9:6,' |',y[3]:9:6,'|');

writeln('| 4 |',l:9:6,'|',x[4]:9:6,' |',y[4]:9:6,'|');

writeln('| 5 |',k:9:6,'|',x[5]:9:6,' |',y[5]:9:6,'|');

writeln(' ___________________________________ ');

end;

Begin

clrscr;

writeln(' П Р О Г Р А М М А Д Л Я В Ы Ч И С Л Е Н И Я');

writeln(' О П Р Е Д Е Л Е Н Н О Г ОИ Н Т Е Г Р А Л А ');

writeln;

writeln('Введите границы интегрирования a,b:');

readln(a,b);

vvod(a,b,x);

h:=(b-a)/n;

writeln('h=',h:9:6);

form(x,y);

cheb(y,ich);

tabl;

writeln('I=',ich:8:6);

end.

Вывод результата :

 

 П Р О Г Р А М М А Д Л Я В Ы Ч И С Л Е Н И Я

 О П Р Е Д Е Л Е Н Н О Г ОИ Н Т Е Г Р А Л А

 Введите границы интегрирования a,b:

 0 1.5708

 h= 0.314160

 ____________________________

 | i | t | x | y |

 ____________________________

 | 1 |-0.832498| 0.131556 | 0.131177|

 | 2 |-0.374541| 0.491235 | 0.471716|

 | 3 | 0.000000| 0.785400 | 0.707108|

 | 4 |-0.374541| 0.508765 | 0.487099|

 | 5 |-0.832498| 0.868444 | 0.763325|

 ____________________________

 I=0.804383

Список литературы:

1. Ракитин Т.А., Первушин В.А. “Практическое руководство по численным методам с приложением программ на языке Basic“

2. Крылов В.И. “Приближенные вычисления интегралов“ - М. : Физмат.

3. Демидович и Марон “Основы вычислительной математики“

4. Копченова и Марон “Вычислительная математика в примерах и задачах”

5. Вольвачев А.Н., Крисевич В.С. Программирование на языке Паскаль для ПЭВМ ЕС. Минск.: 1989 г.

 6. Зуев Е.А. Язык программирования Turbo Pascal. М.1992 г.

 7. Скляров В.А. Знакомьтесь: Паскаль. М. 1988 г.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.ed.vseved.ru/