Расчет вала при совместном действии изгиба и кручения по гипотезам прочности

Костромская Государственная Сельскохозяйственная Академия

Кафедра: " Детали машин"

Методическое пособие и задачи для самостоятельного решения по курсу "ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА"

Раздел: "Сопротивление материалов"

Тема: РАСЧЕТ ВАЛА ПРИСОВМЕСТНОМ ДЕЙСТВИИ ИЗГИБА И КРУЧЕНИЯ ПО ГИПОТЕЗАМ ПРОЧНОСТИ.

Составил: доцент Комаров Н.В.

Кострома 2003

Для решения задания необходимо усвоить тему: "Гипотезы прочности и их применение", т.к в задачах рассматриваются совместные действия изгиба и кручения и расчет производится с применением гипотез прочности.

Условие прочности в этом случае имеет вид

s_{эк в} = М_{эк в}/ W_z £[s]

М_{эк в -} так называемый эквивалентный момент

По гипотезе наибольших касательных напряжений (III - гипотеза прочности)

М_{эк в III} = (М_и² + Т_к²) ^1/2

По гипотезе потенциальной энергии формоизменения (V - гипотезе прочности)

М_{эк в V} = (М_и² + 0.75 Т_к²) ^1/2

В обеих формулах Т - наибольший крутящий момент в поперечном сечении вала М_и - наибольший суммарный изгибающий момент, его числовое значение равно геометрической сумме изгибающих моментов, возникающих в данном сечении от вертикально и горизонтально действующих внешних сил, т.е.

1. Привести действующие на вал нагрузки к его оси, освободить вал от опор, заменив их действия реакциями в вертикальных и горизонтальных плоскостях

2. По. заданной мощности Р и угловой скорости w определить вращающие моменты действующие на вал.

3. Вычислить нагрузки F₁, F_r1, F₂, Fr2 приложенные к валу.

4. Составить уравнения равновесия всех сил, действующих на вал, отдельно в вертикальной плоскости и отдельно в горизонтальной плоскости и определить реакции опор в обеих плоскостях.

5. Построить эпюру крутящих моментов.

6. Построить эпюру изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях (эпюры M_z и M_y).

7. Определить наибольшее значение эквивалентного момента:

М_{эк в III} = (М_z² + M_y² + Т_к²) ^1/2 или

М_{эк в V} = (М_z² + M_y² + 0.75 Т_к²) ^1/2

8. Приняв s_{эк в} = [s] определить требуемый осевой момент сопротивления

W_z = М _{эк в}/[s]

9. Учитывая, что для бруса сплошного круглого сечения

W_и = p*d_в^3/32 » 0.1* d_в³

определяем диаметр его d по следующей формуле:

d ³ (32* М _{эк в} / p*[s]) ^1/3 » (М _эк / 0.1 [s]) ^1/3

 

Пример: Для стального вала постоянного поперечного сечения с двумя зубчатыми колесами, передающего мощность Р = 15 кВт при угловой скорости w =30 рад/с, определить диаметр вала по двум вариантам:.

а) Используя, III -гипотезу прочности

б) Используя, V - гипотезу прочности

Принять [s] =160МПа, F_r1 = 0.4 F₁, F_r2 = 0.4 F₂

Составляем расчетную схему вала: Т₁=Т₅, где Т₁ и Т₂ - скручивающие пары, которые добавляются при параллельном переносе сил F₁ и F₂ на ось вала

Определяем вращающий момент действующий на вал:

Т₁ = Т₂ = Р/w = 0,5*10³ Нм = 0,5 кНм

Вычисляем нагрузку приложенную к валу

F₁ = 2*T_1/d₁ = 2*0.5*10^3/0.1 = 10⁴ H = 10kH

F₂ = 2*T_2/d₂ = 2*0.5*10^3/0.25 = 4*10³ H = 4kH

F_r1 = 0.4*10³ = 4 kH F_r2 = 0.4*4 = 1.6 kH

Определяем реакции опор в вертикальной плоскости YOX (рис б)

åM_a = - F_r1 AC - F_r2 AD + R_BY*AB = 0

R_BY = F_r1 AC + F_r2 AD / AB = 4*0.05 + 1.6*0.25/0.3 = 2 kH

åM_B = - R_AY*AB + F_r1*BC + F_r2*DB = 0

R_AY = F_r1*BC + F_r2*DB / AB = 4*0.25 + 1.6*0.05/03 = 3.6 kH

Проверка:

åY = R_AY - F_r1 - F_r2 + R_BY = 2-4-1.6+3.6 = 0

åY = 0, следовательно R_AY и R_BY найдены правильно

Определим реакции опор в горизонтальной плоскости ХОZ (рис б)

åM_A = F₁ AC - F₂ AD - R_Bz*AB = 0

R_Bz = F₁ AC - F₂ AD / AB = 10*0.05 - 4*0.25/0.3 = - 1.66 kH

Знак минус указывает, что истинное направление реакции R_Bz противоположно выбранному (см. рис. б)

åM_B = R_Az*AB - F₁*CB + F₂*DB = 0

R_Az = F₁*CB - F₂*DB / AB = 10*0.25 - 4*0.05/0.3 = 7.66 kH

Проверка:

åZ = R_Az - F₁ + F₂ - R_Bz = 7.66-10+4-1.66 = 0

åZ = 0, следовательно реакции R_Az и R_Bz найдены верно.

Строим эпюру крутящих моментов Т (рис в).

Определяем ординаты и строим эпюры изгибающих моментов M_z в вертикальной плоскости (рис. г и д) и М_y - в горизонтальной плоскости.

М_Cz = R_Ay*AC = 3.6*0.05 = 0.18 kHм

М_Dz = R_Ay*AD - F_r1*CD = 3.6*0.25 - 4*0.2 = 0.1 kHм

М_Cy = R_Az*AC = 7.66*0.05 = 0.383 kHм

М_Dy = R_Az*AD - F₁*CD = 7.66*0.25 - 10*0.2 = - 0.085 kHм

Вычисляем наибольшее значение эквивалентного момента по заданным координатам так как в данном примере значение суммарного изгибающего момента в сечений С больше, чем в сечении D, то сечение С и является опасным. Определяем наибольший суммарный изгибающий момент в сечении С.

М_{и С} = (М_Сz² + M_Cy²) ^1/2 = (0.18² + 0.383²) ^1/2 = 0.423 kHм

[М_{и D} = (М_Dz² + M_Dy²) ^1/2 = (0.1² + 0.085²) ^1/2 = 0.13 kHм]

Эквивалентный момент в сечении C по III и V гипотезе прочности

М_{эк в III} = (М_z² + M_y² + Т_к²) ^1/2 = (018²+ 0.383²+0.5²) ^1/2 =

= 0.665 kHм

М_{эк в V} = (М_z² + M_y² + 0.75 Т_к²) ^1/2 =

= (0.18²+0.383²+0.75*0.5²) ^1/2 = 0.605 kHм

Определяем требуемые размеры вала по вариантам III и V гипотез прочности.

d_III = (М_{эк в III} / 0.1*[s]) ^1/2 = (0.655*10^3/0.1*160*10⁶) ^1/2 =

= 3.45*10^-2 (м) = 34.5 (мм)

d_VI = (М_{эк в V} / 0.1*[s]) ^1/2 = (0.605*10^3/0.1*160*10⁶) ^1/2 =

= 3.36*10^-2 (м) = 33.6 (мм)

Принимаем диаметр вала согласно стандартного ряда значений d=34 мм

Из условия прочности рассчитать необходимый диаметр вала постоянного поперечного сечения, с двумя зубчатыми колёсами, предающего мощность Р, при заданной угловой скорости.

Принять [s] =160МПа, F_r1 = 0.4 F₁, F_r2 = 0.4 F₂ (Все размеры указаны на рисунках)

№ задачи	вариант	Р, кВт	w, рад/с	№ задачи	вариант	Р, кВт	w, рад/с
0	0	6	22	1	0	3	25
	1	8	36		1	8	48
	2	10	40		2	10	50
	3	9	30		3	12	40
	4	3	45		4	22	24
	5	20	50		5	20	60
	6	12	68		6	20	22
	7	5	20		7	9	36
	8	3	50		8	8	42
	9	12	48		9	15	35
2	0	10	30	3	0	5	40
	1	20	80		1	6	36
	2	15	45		2	7	35
	3	12	38		3	12	24
	4	14	18		4	15	15
	5	8	42		5	12	32
	6	10	45		6	9	42
	7	18	22		7	10	45
	8	25	40		8	7	21
	9	5	42		9	20	36
4	0	5	18	5	0	20	45
	1	10	18		1	19	38
	2	12	30		2	21	15
	3	24	30		3	18	26
	4	6	24		4	15	18
	5	12	52		5	16	50
	6	3	15		6	8	30
	7	15	45		7	7	20
	8	19	50		8	10	24
	9	20	25		9	13	48

№ задачи	вариант	Р, кВт	w, рад/с	№ задачи	вариант	Р, кВт	w, рад/с
6	0	4	35	7	0	16	40
	1	20	15		1	30	50
	2	18	20		2	28	42
	3	16	18		3	20	38
	4	30	24		4	15	20
	5	25	30		5	18	30
	6	22	28		6	22	30
	7	15	18		7	27	35
	8	8	24		8	24	28
	9	10	12		9	4	20
8	0	12	38	9	0	40	70
	1	15	42		1	30	50
	2	10	32		2	32	38
	3	20	50		3	25	42
	4	23	18		4	12	32
	5	14	24		5	28	34
	6	16	20		6	20	35
	7	24	15		7	10	20
	8	26	25		8	14	30
	9	6	48		9	35	40