Выявление тенденции развития динамики среднегодового дохода (на 1-го работающего)

2.2 Выявление тенденции развития динамики среднегодового дохода (на 1-го работающего)

Непосредственное выделение тренда может осуществляться тремя методами.

Один из таких методов — метод укрупнения интервалов. В соответствии с ним ряд динамики разделяют на некоторое достаточно большое число равных интервалов; если средние уровни по интервалам не позволяют увидеть тенденцию развития явления, переходят к расчету уровней за большие промежутки времени, увеличивая длину каждого интервала (одновременно уменьшается количество интервалов).

Суть другого метода — метода скользящей средней — заключается в том, что исходные уровни ряда заменяются средними величинами, которые получают из данного уровня и нескольких симметрично его окружающих. Целое число уровней, по которым рассчитывается среднее значение, называют интервалом сглаживания. Интервал может быть нечетным (3, 5, 7 и т. д. точек) или четным (2, 4, 6 и т. д. точек). При нечетном сглаживании полученное среднее арифметическое значение закрепляют за серединой расчетного интервала, при четном этого делать нельзя. Поэтому при обработке ряда четными интервалами их искусственно делают нечетными, для чего образуют ближайший больший нечетный интервал, но из крайних его уровней берут только 50 %.

Недостаток метода скользящей средней состоит в условности определения сглаженных уровней для точек в начале и конце ряда. Получают их специальными приемами — расчетом средней арифметической взвешенной.

Формулы расчета по скользящей средней выглядят следующим образом:

для 3-членной

Y_i =(Y_i-1 Y_i Y_i+1) / 3

для 5-членной

Y_i =( Y_i-2 Y_i-1 Y_i Y_i+1 Y_i+2) / 5

При аналитическом выравнивании ряда динамики по прямой функция выражается уравнением у' = а + bt. Для определения величин параметров «а» и «b» используются нормальные уравнения способа наименьших квадратов, которые в данном случае принимают следующий вид:

∑y = na + b∑t

∑yt = a∑t + b∑t²

где у — величины уровней эмпирического (фактического) ряда динамики;

n — количество уровней эмпирического (фактического) ряда динамики;

Решая эти уравнения по данным эмпирического (фактического) ряда динамики, определяем параметры прямой и по ней рассчитываем уровни выровненного динамического ряда.

Вычислительный процесс при аналитическом выравнивании ряда по прямой может быть значительно упрощен, если ввести обозначение дат времени с помощью натуральных чисел (t) и отсчитывать обозначения дат от середины выравниваемого ряда. Тогда даты, расположенные выше середины, будут обозначены отрицательными числами, ниже середины — положительными.

При указанных обозначениях ∑t обращается в нуль (∑t=0) и система нормальных уравнений способа наименьших квадратов принимает следующий вид: ∑ y = na

∑yt = b∑t²

значения же параметров уравнения прямой в данном случае определя­ются по формулам a = ∑y/n

b = ∑y_i t/ ∑t²

Произведем выравнивание ряда динамики среднегодовых доходов 1-го работающего, тыс. руб. (Таблица3)

Таблица 3

Годы	Среднегодовой доход 1-го работающего, тыс. руб. Yi	Условные обозначения дат (t)	Yit	Выровненный ряд динамики среднегодового дохода 1-го работающего yt
2002 2003 2004 2005 2006 Итого: n =5	109,6 113,5 114,0 114,4 116,2 ∑Yi =567.7	-2 -1 0 +1 +2 ∑t =0	-219,2 -113,5 0 +114,4 +232,4 ∑yit = +14.1	110,72 112,13 113,54 114,95 116,36 ∑yt= 567,7

a = 567,7/5 = 113,54

b = 14,1 / 10 = 1,41

Уравнение принимает вид: у =113,54 + 1,41 t

Рассчитаем теоретические значения выравненного ряда и занесем их в таблицу.

Далее необходим анализ показателей колеблемости ряда динамики среднегодовых доходов 1-го работающего.

Конкретные условия, в которых находится каждый из изучаемых объектов, а также особенности их собственного развития (социальные, экономические и пр.) выражаются соответствующими числовыми уровнями статистических показателей. Таким образом, вариация, т. е. несовпадение уровней одного и того же показателя у разных объектов, имеет объективный характер и помогает познать сущность изучаемого явления

Для характеристики вариации (колеблемости) ряда динамики рассчитаем следующие показатели:

-размах вариации (колеблемости ряда);

-среднее квадратическое отклонение;

-коэффициент вариации (колеблемости ряда);

-коэффициент устойчивости ряда.

Наиболее простым является расчет показателя размаха вариации как разницы между максимальным (Y_max) и минимальным (Y_min) наблюдаемыми значениями признака.

Среднее квадратическое отклонение (о) определяется на основе квадратической степенной средней.

Анализ колеблемости ряда динамики среднегодового дохода 1-го работающего представлен в таблице 4

Таблица 4 Расчет показателей колеблемости ряда динамики среднегодового дохода на 1-го работающего, тыс. руб.

Годы	Среднегодовой доход на 1-го работающего, тыс.руб	(УI –УT)	(УI -УT)2
2002 2003 2004 2005 2006 N = 5	109,6 113,5 114,0 114,4 116,2 ∑y =567.7	09,6-113,5 = -3,9 113,5-113,5 = 0 114-113,5 = +0,5 114,4-113,5 = +0.9 116,2–113,5 =+2,7	15,2 0 0,25 0,81 7,3 ∑(УI – УТ) = 23,56

Размах колеблемости

R = Y_IMAX – Y_IMIN= 116,2 – 109,6 = 6,6 тыс. руб.

Среднее квадратическое отклонение:

∂ = √ (∑Y_{I –}Y_T)/ N = √23,56 /5 = 2,2 тыс. руб.

коэффициент колеблемости динамического ряда:

V = ∂ /Y х 100 = 2,2 : 113,5 х 100 = 1,9%

Коэффициент устойчивости

К_УСТ =100 – V = 100-1,9 = 98,1%

Динамический ряд среднегодового дохода на 1-го работающего достаточно устойчив: средний доход за период составляет 113,5тыс. руб., при этом размах вариации, то есть разница между максимальным доходом и минимальным составляет 6,6тыс. руб.. Среднее квадратическое отклонение от среднего дохода – 2,2 тыс. руб. или 1,9%. Это позволяет сделать вывод о том, что в городе продумана система однородности доходов работающих, что обеспечивает стабильную обстановку.

2.3 Прогнозирование среднего дохода 1-го работающего

Рассчитав функцию роста дохода 1-го работающего

у =113.54 + 1,41 t

рассчитаем прогнозные оценки:

- точечные прогнозы

- доверительные интервалы.

Точечный прогноз дохода на 1-го работающего:

2007  У=113,54 + 1,41 х 3 = 117,8 тыс. руб.

2008  У =113,54 + 1,41 х 4 = 119,2 тыс. руб.

2009  У =113,54 + 1,41 х 5 = 120,6 тыс. руб.

Рассчитаем доверительный интервал:

У +∆

Где ∆ - ошибка прогноза. ∆ = t_a m_k

Где t_i – критерий Стьюдента, в нашем уравнении при степенях свободы (5 – 1 =4) и числе параметров – 1 равен 0,884 ( по таблице вероятностей Стьюдента).

M_k- стандартная ошибка. m_k= ∂_y √ (1/ n + t²_k / ∑ t²)

Расчеты выполним в табл.5

Таблица 5 Расчет доверительных интервалов среднегодового дохода

Год прогноза	Прогнозное значение, ук	ta	t2k	∑t2	T2k∑t2	√ (1/ n + t2k / ∑ t2)	mk	∆
2007(+3) 1008(+4) 2009(+5)	117,8 119,2 120,6	0,884 0,884 0,884	9 16 25	10 10 10	0,9 1,6 2,5	1,05 1,34 1,64	2,31 2,95 3,61	2,0 2,6 3,2

Прогнозные значения среднегодового дохода 1-го работающего

117,8 +(-)2,0 тыс. руб. то есть от 115,8 до 119.8

2007  119,2 +(-)2,6 тыс.руб. 116,6 до 121,8

2008  120,6 +(-)3,2 тыс. руб. 117,4 до 123,9

2.4 Изучение сезонности среднегодового дохода

Поскольку в анализируемой временной последовательности наблюдаются устойчивые отклонения от тенденции (как в большую, так и в меньшую сторону), то можно предположить наличие в ряду динамики некоторых (одного или нескольких) колебательных процессов. Это особенно заметно, когда изучаемые явления имеют сезонный характер: возрастание или убывание уровней повторяется регулярно с интервалом в один год (например, средняя заработная плата и, соответственно поступление налогов)

Уровень сезонности оценивается с помощью:

1) индексов сезонности;

2) гармонического анализа.

Индексы сезонности показывают, во сколько раз фактический уровень ряда в момент или интервал времени t больше среднего уровня либо уровня, вычисляемого по уравнению тенденции. При анализе сезонности уровни временного ряда показывают развитие явления по месяцам (кварталам) одного или нескольких лет. Для каждого месяца (квартала) получают обобщенный индекс сезонности как среднюю арифметическую из одноименных индексов каждого года. Индексы сезонности - это, по существу, относительные величины координации, когда за базу сравнении принят либо средний уровень ряда, либо уровень тенденции. Способы определения индексов сезонности зависят от наличия или отсутствия основной тенденции.

Для обеспечения устойчивости показателей желательно брать большой промежуток времени. В этом случае индекс сезонности равен:

I_t=Y_t/Y_ср

Таблица 6 Расчет индекса сезонности

Месяц	Среднемесячный доход 1-го работающего, тыс. руб.						Индекс сезонности,%
	2002	2003	2004	2005	2006	В среднем за месяц(Yt)
Январь Февраль Март Апрель Май Июнь Июль Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь	8,83 8,91 9,83 10,30 11,42 14,05 14,56 14,08 12,21 9,81 8,92 8,83	9,13 9,21 10,16 11,65 11,80 14,52 15,05 14,55 12,68 10,18 9,26 9,16	9,17 9,25 10,61 12,16 12,32 15,16 15,71 15,19 13,24 10,63 9,67 9,56	9,20 9,28 10,65 12,20 12,36 15,21 15,76 15,24 13,29 10,67 9,70 9,59	9,34 9,43 10,82 12,33 12,49 15,45 16,01 15,48 13,59 10,84 9,85 9,74	9,13 9,22 10,41 11,73 12,08 14,88 15,49 13,00 10,43 9,48 9,38 9,41	8,04 8,2 9,17 10,33 10,66 13,13 13,61 13,14 11,45 9,18 8,35 8,24

Как видно из расчета пик доходов 1-го работающего приходится на летние месяцы, когда обеспечивается более интенсивное строительство, происходит оживление производства.