Быстрое преобразование Фурье

1.3 Быстрое преобразование Фурье

Преобразование Фурье используется при решении задачи о рассеянии с целью нахождения амплитудных коэффициентов необходимых для описания волны. Характер последних, как уже упоминалось, зависит от того в каком приближении мы рассматриваем поставленную задачу. Суть применения преобразования Фурье заключается в разбиении произвольной волны на элементарные плоские волны. Таким образом, получаем амплитудные коэффициенты, стоящие как множители перед рядом, в виде которого представляется волна. Затем можно подставить граничные условия в полученное выражение, что позволяет выразить неизвестные , , ,, как, например, в (1.2.3), (1.2.4). Затем, проведя обратное преобразование Фурье, получим представление искомой волны, удовлетворяющее задаче.

Быстрое преобразование Фурье (БПФ) – это реализация обычного (дискретного) преобразования Фурье (ДПФ), но с намного меньшим количеством операций n=Nlog₂N, где N – размер строки данных, в отличие от n=N² в ДПФ. В БПФ используются исключительно N, являющиеся степенями двойки. Если N не является степенью двойки, то его дополняют нолями до ближайшей из степеней.

Для осуществления БПФ можно использовать лемму Даниельсона-Ланкзоса, которая разбивает ряд ДПФ

, (1.3.1)

где  – исходная функция, на две суммы – по чётным и нечётным индексам j:

. (1.3.2)

=, (1.3.3)

где . Это и есть лемма Даниельсона-Ланкзоса [2]. Она подходит для осуществления как прямого БПФ, так и обратного.

В массиве данных  сперва следует произвести нумерацию элементов в двоичном виде, а затем пересортировать массив, заменяя каждый элемент элементом с обратным двоичным индексом. Полученная в результате таких перестановок последовательность после преобразования по формуле (1.3.3) задаёт искомую функцию.

Существуют также и другие алгоритмы БПФ, как, например в [10], но они в отличие от леммы Даниельсона-Ланкзоса не выполняют как прямое, так и обратное преобразование Фурье.

2. Скрытие материальных объектов методом волнового обтекания

2.1 Основополагающие идеи

Исторически первенство в идее и моделировании скрытия (английский термин cloaking) методом волнового обтекания принадлежит Дж. Пендри и его коллегам [3]. Они предложили принципиально новый метод маскировки, суть которого заключается в преломлении волн в маскирующей оболочке так, что они огибают скрытый в оболочке объект и на выходе из неё остаются такими же, какими в неё попадали. В результате поле выглядит так, как если бы на пути его распространения оно не встречало никаких препятствий.

Траектории лучей в маскирующей оболочке

Чтобы наблюдатель не заметил никаких неоднородностей необходимо выполнение и следующего условия – оптическая длинна пути каждого луча в оболочке должна быть такой же, как если бы он распространялся прямолинейно в свободном пространстве. Для достижения такого эффекта для оболочки рассчитывают определённую конфигурацию параметров – диэлектрической и магнитной проницаемостей  и .

Для расчета параметров маскирующего покрытия Пендри и его коллеги предложили использовать следующий приём: внутри некоторой области пространства (вакуума) создать включённую подобласть искривлённой метрики (в которой непосредственно и предполагается спрятать объект) при помощи преобразования координат.

Например, такого как в их работе [3].

, , . (2.1.1)

Преобразование (2.1.1) переводит шар радиуса  в шаровой слой .

Исходя из того, что уравнения Максвелла инвариантны преобразованиям координат [4], поле падающих волн ведёт себя в искривлённом пространстве таким же образом как и в исходном. Тензоры  и  диэлектрической и магнитной проницаемостей также могут быть найдены. В [3] получены следующие диагональные элементы тензоров  и :

, (2.1.2)

, (2.1.3)

Распределение параметров (2.1.2), (2.1.3) будут искривлять прямой луч также как и преобразования (2.1.1) искривляют прямую линию, пересекающую шар с радиусом r < . Параметры  и  также могут быть выражены через метрический тензор искривлённого пространства g_ik.

Сами рассеянные поля находят решая задачу о рассеянии на маскирующей оболочке, где, как уже упоминалось, используется БПФ. Графики распределения нормированной амплитуды электрического поля (2.2.1, 2.3.1) строят по решению, полученному в задаче о рассеянии.

В связи с тем, что преобразования метрики не затрагивают временной составляющей, фазы каждого луча в оригинальной и преобразованной системах будут равны между собой.

Таким образом, для маскировки обтеканием нужно использовать анизотропные градиентные материалы с компонентами проницаемостей меньшими единицы, или – в некоторых случаях – отрицательными. Тот факт, что в анизотропной среде отсутствуют двулучепреломление и не изменяется поляризация попадающего в неё излучения объясняется равенством  и . Действительно, если речь идёт о преобразовании вакуума, то в нём ==1.

Можно заметить, что к скрытию путём волнового обтекания могла бы приводить и антигравитация. Антигравитация, исходящая от какого либо тела, вызывает такие преобразования метрики пространства, что геодезические линии как бы раздвигаются.

Тот же принцип движения луча по искривлённой траектории объясняет и такое явление как мираж. Существенное отличие в температурах воздуха у поверхности земли и в более высоких слоях вызывает различие показателей преломления, вследствие чего свет распространяется не прямолинейно, а по кривой, и мы можем видеть объекты, расположенные за линией горизонта.