Решение задачи 1

2. Решение задачи 1

Определим линейное уравнение парной регрессии.

Для этого составим и решим следующую систему уравнений:

;

.

;

.

Решая данную систему уравнений получаем:

а=81,232;

b=0,76.

Итого получаем:

Рассчитаем линейные коэффициенты парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации

Расчет будем вести табличным способом, и представим в таблице 2.

Таблица 2 - Расчет линейных коэффициентов парной корреляции и средняя ошибка аппроксимации

N	X	Y	X∙Y	X2	Y2		Y-
1	23	110	2530	529	12100	98,71	11,29	127,42	10,26
2	45	125	5625	2025	15625	115,43	9,57	91,55	7,65
3	34	111	3774	1156	12321	107,07	3,93	15,43	3,54
4	51	121	6171	2601	14641	119,99	1,01	1,02	0,83
5	28	109	3052	784	11881	102,51	6,49	42,09	5,95
6	62	127	7874	3844	16129	128,35	-1,35	1,83	1,06
7	71	143	10153	5041	20449	135,19	7,81	60,96	5,46
8	63	121	7623	3969	14641	129,11	-8,11	65,80	6,70
9	70	154	10780	4900	23716	134,43	19,57	382,91	12,71
10	45	108	4860	2025	11664	115,43	-7,43	55,23	6,88
11	51	136	6936	2601	18496	119,99	16,01	256,26	11,77
13	27	109	2943	729	11881	101,75	7,25	52,53	6,65
13	62	125	7750	3844	15625	128,35	-3,35	11,24	2,68
14	57	110	6270	3249	12100	124,55	-14,55	211,76	13,23
15	63	120	7560	3969	14400	129,11	-9,11	83,03	7,59
16	69	134	9246	4761	17956	133,67	0,33	0,11	0,24
17	74	131	9694	5476	17161	137,47	-6,47	41,89	4,94
18	35	105	3675	1225	11025	107,83	-2,83	8,02	2,70
19	21	74	1554	441	5476	97,19	-23,19	537,87	31,34
20	60	120	7200	3600	14400	126,83	-6,83	46,68	5,69
∑	1011	2393	125270	56769	291687	2393	0	2093,62	147,90
Ср.	50,55	119,65	6263,5	2838,45	14584,35	119,65	0	104,68	7,39

На рисунке 1 представим поле корреляции.

Рисунок 1 - Поле корреляции

Оценим статистическую зависимость параметров регрессии и корреляции (с помощью F-критерия Фишера и Т-статистики Стьюдента).

Определение коэффициента корреляции

Для определения коэффициента корреляции, определим дисперсию:

;

.

Определим коэффициент корреляции:

.

Данный коэффициент корреляции характеризует высокую тесноту связи

Определим коэффициент детерминации:

Это значит, что 61% вариации "у" объясняется вариацией фактор "х".

Определение статистической значимости уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера

Определим F- критерий Фишера:

.

Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы 1 и (20-2)=18 составляет F_таб = 4,45.

Имеем F> F_таб, следовательно уравнение регрессии признается статистическим значимым.

Оценка статистической значимости параметров регрессии с помощью t-статистики Стьюдента

Табличное значение t-критерия для числа степеней свободы df=n-2=20-2=18 и уровня значимости α=0,05 составит t_табл=1,743.

Определим стандартные ошибки:

;

;

.

Тогда

;

;

.

Фактические значения t-статистики превосходят табличное значение:

, поэтому параметры а, b, и r_xy не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии а и b. Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

;

.

Получаем доверительные интервалы:

 и ;

 и .

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью р=1-α=1-0,05=0,95 параметры а и b, находятся в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. являются статистически значимыми и существенно отличны от нуля.

  3. Решение задачи 2

В качестве уравнения нелинейной функции примем показательную, т.е.

у = a∙b^x.

Определим экспоненциальное уравнение парной регрессии

Для определения параметров а и b прологарифмируем данное уравнение:

ln(у) =ln(а)+ x∙ln(b),

Произведем следующую замену: А= ln(а), B= ln(b).

Составим и решим систему уравнений:

;

.

;

.

Решая данную систему уравнений получаем:

А=4,436 следовательно a=84,452;

B= 0,0067 следовательно b=1,0067.

Итого получаем

.

Рассчитаем линейные коэффициенты парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации

Расчет будем вести табличным способом, и представим в таблице 3.

Таблица 3 - Расчет линейных коэффициентов парной корреляции и средняя ошибка аппроксимации

N	X	Y	X∙Y	X2	Y2		Y-
1	23	110	2530	529,00	12100	98,47	11,53	132,90	201,64	10,48
2	45	125	5625	2025,00	15625	114,05	10,95	119,80	0,64	8,76
3	34	111	3774	1156,00	12321	105,98	5,02	25,23	174,24	4,53
4	51	121	6171	2601,00	14641	118,72	2,28	5,21	10,24	1,89
5	28	109	3052	784,00	11881	101,82	7,18	51,62	231,04	6,59
6	62	127	7874	3844,00	16129	127,77	-0,77	0,59	7,84	0,60
7	71	143	10153	5041,00	20449	135,68	7,32	53,59	353,44	5,12
8	63	121	7623	3969,00	14641	128,62	-7,62	58,09	10,24	6,30
9	70	154	10780	4900,00	23716	134,78	19,22	369,54	888,04	12,48
10	45	108	4860	2025,00	11664	114,05	-6,05	36,66	262,44	5,61
11	51	136	6936	2601,00	18496	118,72	17,28	298,70	139,24	12,71
12	27	109	2943	729,00	11881	101,14	7,86	61,82	231,04	7,21
13	62	125	7750	3844,00	15625	127,77	-2,77	7,65	0,64	2,21
14	57	110	6270	3249,00	12100	123,57	-13,57	184,15	201,64	12,34
15	63	120	7560	3969,00	14400	128,62	-8,62	74,33	17,64	7,18
16	69	134	9246	4761,00	17956	133,88	0,12	0,01	96,04	0,09
17	74	131	9694	5476,00	17161	138,43	-7,43	55,13	46,24	5,67
18	35	105	3675	1225,00	11025	106,69	-1,69	2,85	368,64	1,61
19	21	74	1554	441,00	5476	97,17	-23,17	536,63	2520,04	31,30
20	60	120	7200	3600,00	14400	126,07	-6,07	36,85	17,64	5,06
∑	1011	2393	125270	56769,00	291687	2381,97	11,03	2111,36	5778,60	147,73
Ср.	50,55	119,65	6263,50	2838,45	14584,35	119,10	0,55	105,57	288,93	7,39

На рисунке 3 представим поле корреляции.

Рисунок 2 - Поле корреляции

Определяется коэффициент эластичности и индекс корреляции

Определим коэффициент эластичности

,

где

,

следовательно при изменении фактора"х" на 1% от своего среднего значения, "у" изменится на 0,334 % от своей средней величины.

Определение индекс корреляции

.

Данный коэффициент корреляции характеризует высокую тесноту связи

Определим индекс детерминации:

Это значит, что 63,5% вариации "у" объясняется вариацией фактор "х".

Определение статистической значимости уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера

Определим F- критерий Фишера:

.

Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы 1 и (20-2)=18 составляет F_таб = 4,45.

Имеем F> F_таб, следовательно уравнение регрессии признается статистическим значимым.

Вывод

В результате проведенного корреляционного анализа исходных данных была выявлена функциональная зависимость между значениями "х" и "у", то есть: . Данная зависимость обладает максимальным значением индекса корреляции и детерминации, а так же F-критерия Фишера.

Список использованных источников

1. Учебно-методическое пособие к изучению курса "Статистика". Н.Н. Щуренко, Г.В. Девликамиова: Уфа, 2004.- 55с.

2. Эконометрика для начинающих. Основные понятия, элементарные методы, границы применимости, интерпретация результатов В.П. Носко: Москва, 2000. - 249с.

3. Эконометрика. И.И. Елисеева: Москва "Финансы и статистика", 2003.- 338с.

4. Общая теория статистики. Н.М. Виноградова, В.Т. Евдокимов, Е.М. Хитарова, Н.И. Яковлева: Москва,1968.- 381с.