Вычисление средней арифметической по исходным данным о среднесписочной численности менеджеров фирм

4. Вычисление средней арифметической по исходным данным о среднесписочной численности менеджеров фирм

Для расчета применяется формула средней арифметической простой:

,

Причина расхождения средних величин, рассчитанных по исходным данным (17550 тыс. руб.) и по интервальному ряду распределения (17670 тыс. руб.), заключается в том, что в первом случае средняя определяется по фактическим значениям исследуемого признака для всех 30-ти фирм, а во втором случае в качестве значений признака берутся середины интервалов  и, следовательно, значение средней будет менее точным. Вместе с тем, при округлении обеих рассматриваемых величин их значения совпадают, что говорит о достаточно равномерном распределении товарооборота внутри каждой группы интервального ряда.

 

Задание 2

По исходным данным (табл. 1) с использованием результатов выполнения Задания 1 необходимо выполнить следующее:

1.  Установить наличие и характер корреляционной связи между признаками товарооборот и средние товарные запасы, образовав шесть групп с равными интервалами по каждому из признаков, используя методы:

а) аналитической группировки;

б) корреляционной таблицы.

2. Измерить тесноту корреляционной связи, используя коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

Сделать выводы по результатам выполнения задания 2.

Выполнение задания 2

Целью выполнения данного задания является выявление наличия корреляционной связи между факторным и результативным признаками, а также установление направления связи и оценка ее тесноты.

По условию Задания 2 факторным является признак товарооборот, результативным – признак средние товарные запасы.

1. Установление наличия и характера корреляционной связи между признаками товарооборотом и средними товарными запасами методами аналитической группировки и корреляционных таблиц

1а. Применение метода аналитической группировки

Аналитическая группировка строится по факторному признаку Х и для каждой j-ой группы ряда определяется среднегрупповое значение  результативного признака Y. Если с ростом значений фактора Х от группы к группе средние значения  систематически возрастают (или убывают), между признаками X и Y имеет место корреляционная связь.

Используя разработочную таблицу 3, строим аналитическую группировку, характеризующую зависимость между факторным признаком Х- товарооборот и результативным признаком Y – средние товарные запасы. Макет аналитической таблицы имеет следующий вид (табл. 7):

Таблица 7. Зависимость объема продаж от среднесписочной численности менеджеров

Номер группы	Группы предприятий по товарообороту, тыс. руб. x	Число предприятий, fj	Средние товарные запасы, тыс. руб.
			всего	в среднем на одно предприятие,
1	2	3	4	5=4:3
1
2
3
4
5
6
	ИТОГО

Групповые средние значения  получаем из таблицы 3, основываясь на итоговых строках «Всего». Построенную аналитическую группировку представляет табл. 8:

Таблица 8. Зависимость объема продаж от среднесписочной численности менеджеров

Номер группы	Группы предприятий по товарообороту, тыс. руб. x	Число предприятий, fj	Средние товарные запасы, тыс. руб.
			всего	в среднем на одно предприятие,
1	2	3	4	5=4:3
1	375-459	4	684	171
2	459-543	5	995	199
3	543-627	11	1508	228
4	627-711	7	1771	253
1	2	3	4	5
5	711-795	3	882	294
	ИТОГО	30	6840	1145

 

Вывод. Анализ данных табл. 8 показывает, что с увеличением товарооборота от группы к группе систематически возрастает и средний товарный запас по каждой группе предприятий, что свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между исследуемыми признаками.

1б. Применение метода корреляционных таблиц

Корреляционная таблица строится как комбинация двух рядов распределения по факторному признаку Х и результативному признаку Y. На пересечении j-ой строки и k-ой графы таблицы указывается число единиц совокупности, входящих в j-ый интервал по признаку X и в k-ый интервал по признаку Y. Концентрация частот около диагонали построенной таблицы свидетельствует о наличии корреляционной связи между признаками - прямой или обратной. Связь прямая, если частоты располагаются по диагонали, идущей от левого верхнего угла к правому нижнему, обратная - по диагонали от правого верхнего угла к левому нижнему.

Для построения корреляционной таблицы необходимо знать величины и границы интервалов по двум признакам X и Y. Для факторного признака Х – Товарооборот эти величины известны из табл. 4 Определяем величину интервала для результативного признака Y – средние товарные запасы при k = 5, у_max= 301 тыс. руб., у_min= 150 тыс. руб.:

 

Границы интервалов ряда распределения результативного признака Y имеют вид:

Таблица 9

Номер группы	Нижняя граница, Тыс. руб.	Верхняя граница, Тыс. руб.
1	150	180,2
2	180,2	210,4
3	210,4	240,6
4	240,6	270,8
5	270,8	301

Подсчитывая для каждой группы число входящих в нее фирм с использованием принципа полуоткрытого интервала [ ), получаем интервальный ряд распределения результативного признака (табл. 10).

Таблица 10. Интервальный ряд распределения фирм по объёму продаж

Группы предприятий по среднему товарному запасу, тыс. руб. у	Число предприятий, fj
150-180,2	4
180,2-210,4	4
210,4-240,6	12
240,6-270,8	6
270,8-301	4
ИТОГО	30

Используя группировки по факторному и результативному признакам, строим корреляционную таблицу (табл. 11).

Таблица 11. Корреляционная таблица зависимости объема продаж от среднесписочной численности менеджеров

Группы предприятий по товарообороту, тыс. руб.	Группы предприятий по среднему товарному запасу, тыс. руб.					ИТОГО
	150-180,2	180,2-210,4	210,4-240,6	240,6-270,8	270,8-301
375-459	2	1				3
459-543	1	2	2			5
543-627	1	1	9	1		12
627-711			1	5	1	7
711-795					3	3
ИТОГО	4	4	12	6	4	30

Вывод. Анализ данных табл. 11 показывает, что распределение частот групп произошло вдоль диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний угол таблицы. Это свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между среднесписочной численностью менеджеров и объемом продаж фирмами.

2. Измерение тесноты корреляционной связи с использованием коэффициента детерминации  и эмпирического корреляционного отношения

Коэффициент детерминации  характеризует силу влияния факторного (группировочного) признака Х на результативный признак Y и рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии  признака Y в его общей дисперсии:

где  – общая дисперсия признака Y,

 – межгрупповая (факторная) дисперсия признака Y.

Общая дисперсия  характеризует вариацию результативного признака, сложившуюся под влиянием всех действующих на Y факторов (систематических и случайных) и вычисляется по формуле

,

где y_i – индивидуальные значения результативного признака;

– общая средняя значений результативного признака;

n – число единиц совокупности.

Межгрупповая дисперсия  измеряет систематическую вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора Х (по которому произведена группировка) и вычисляется по формуле

,

где  –групповые средние,

 – общая средняя,

–число единиц в j-ой группе,

k – число групп.

Для расчета показателей  и  необходимо знать величину общей средней , которая вычисляется как средняя арифметическая простая по всем единицам совокупности:

Значения числителя и знаменателя формулы имеются в табл. 8. Используя эти данные, получаем общую среднюю :

= =228 тыс. руб.

Для расчета общей дисперсии  применяется вспомогательная таблица 12.

Таблица 12. Вспомогательная таблица для расчета общей дисперсии

Номер предприятия	Средние товарные запасы, тыс.руб.
1	2	3	4
1	256	28	784
2	168	-60	3600
3	252	24	576
4	221	7	49
5	210	-18	324
6	278	50	2500
7	214	-14	196
8	169	-59	3481
9	288	60	3600
10	213	-15	225
11	150	-78	6084
12	208	-20	400
13	218	-10	100
14	227	-1	1
15	238	10	100
16	254	26	676
17	251	23	529
18	293	65	4225
19	158	-70	4900
20	188	-40	1600
21	237	9	81
22	239	11	121
23	191	-37	1369
24	236	2	64
25	215	-13	169
26	301	73	5329
27	228	0	0
28	230	2	4
29	263	35	1225
30	246	18	324
Итого	6840	14	42636

Рассчитаем общую дисперсию:

=

Для расчета межгрупповой дисперсии  строится вспомогательная таблица 13, При этом используются групповые средние значения  из табл.

Таблица 13ю Вспомогательная таблица для расчета межгрупповой дисперсии

Группы предприятий по товарообороту, тыс. руб. x	Число предприятий, fj	Среднее значение в группе, тыс. руб.
1	2	3	4	5
375-459	4	171	-57	12996
459-543	5	199	-29	4205
543-627	11	228	0	0
627-711	7	253	25	4375
1	2	3	4	5
711-795	3	294	66	13068
ИТОГО	30			34644

Рассчитаем межгрупповую дисперсию:

Определяем коэффициент детерминации:

 или 81%

 

Вывод. 81% вариации объёма продаж товаров фирмами обусловлено вариацией среднесписочной численности менеджеров по продажам, а 19% – влиянием прочих неучтенных факторов.

Эмпирическое корреляционное отношение  оценивает тесноту связи между факторным и результативным признаками и вычисляется по формуле

Рассчитаем показатель :

= 90,1%

 

Вывод: согласно шкале Чэддока связь между товарооборотом и средними товарными запасами предприятий является весьма тесной.

 

Задание 3

По результатам выполнения Задания 1 с вероятностью 0,954 необходимо определить:

1)  ошибку выборки для средней величины товарооборота торгового предприятия, а также границы, в которых будет находиться генеральная средняя.

2)  ошибку выборки доли торговых предприятий с объемом товарооборота 627 и более тыс. руб., а также границы, в которых будет находиться генеральная доля фирм.

Выполнение Задания 3

Целью выполнения данного Задания является определение для генеральной совокупности предприятий района границ, в которых будут находиться средняя величина товарооборота, и доля предприятий с товарооборотом не менее 627 тыс. руб.