4. Решение СЛАУ методом Гаусса

 

4.1 Теоретические сведения

Рассмотрим один из наиболее известных и широко применяемых прямых методов решения систем линейных уравнений. Обычно этот метод называют методом исключения или методом Гаусса.

Чтобы проиллюстрировать этот метод, рассмотрим сначала систему из трех уравнений с тремя неизвестными:

(4.1)

В такой системе по крайней мере один из коэффициентов ,,должен быть отличен от нуля, иначе бы мы имели бы дело в этих трех уравнениях только с двумя неизвестными. Если , то можно переставить уравнения так, чтобы коэффициент при в первом уравнении был отличен от нуля. Очевидно, что перестановка уравнений оставляет систему неизменной: ее решение остается прежним.

Теперь введем множитель .

Умножим первое уравнение системы (4.1) на  и вычтем его из второго уравнения системы. («Первое» и «второе» уравнения берем уже после перестановки, если она была необходима). Результат вычитания равен:

Так как


,

фактически исключается из второго уравнения (именно для достижения такого результата и было выбрано значение ).

Определим теперь новые коэффициенты

.

Тогда второе уравнение системы приобретает вид

(4.2)

Заменим второе из первоначальных уравнений уравнением (4.2) и введем множитель для третьего уравнения

.

Умножим первое уравнение на этот множитель и вычтем его из третьего. Коэффициент при снова становится нулевым, и третье уравнение приобретает вид

(4.3)

где


.

Если теперь в исходной системе уравнений (4.1) заменить третье уравнение на (4.3), то новая система выглядит так:

(4.4)

Эти новые уравнения полностью эквивалентны исходным уравнениям с тем преимуществом, что входит только в первое уравнение и не входит ни во второе, ни в третье. Таким образом, два последних уравнения представляют собой систему из двух уравнений с двумя неизвестными; если теперь найти решение этой системы, т.е. определить  и , то результат можно подставить в первое уравнение и найти . Иначе говоря, задача сведена к решению системы из двух уравнений с двумя неизвестными.

Попытаемся теперь исключить  из двух последних уравнений. Если, то снова мы переставим уравнения так, чтобы  было отлично от нуля (если и , то система вырождена и либо вовсе не имеет решения, либо имеет бесчисленное множество решений).

Введем новый множитель

.

Умножим второе уравнение полученной системы (4.4) на  и вычтем его из третьего. Результат вычитания равен

В силу выбора

.

Полагая, что

окончательно получим

(4.5)

Третье уравнение полученной системы (4.4) можно заменить уравнением (4.5), после чего система уравнений приобретает следующий вид:

(4.6)

Такая система уравнений (4.6) иногда называется треугольной из-за своего внешнего вида.

Для решения необходимо определить из третьего уравнения системы (4.6), подставить этот результат во второе уравнение и определить. Полученные значения и подставить в первое уравнение и определить. Этот процесс, который обычно называется обратной подстановкой (обратный ход), определяется формулами:

(4.7)

.

Необходимо отметить, если , то система уравнений вырождена.

Теперь можно обобщить этот метод на случай системы из n – уравнений с n-неизвестными. Ниже записана система уравнений, приведенная к треугольному виду (4.8).

(4.8)

Формулы для вычисления неизвестных (обратный ход) будут иметь вид:

(4.9)


4.2 Постановка задачи

Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

 

4.3 Исходные данные

 

4.4 Блок-схема алгоритма

Овал:    Начало
Блок-схема: данные: a,b

Рис. 4.1

 

Процедура для решения СЛАУ методом Гаусса


Информация о работе «Использование современной компьютерной техники и программного обеспечения для решения прикладных задач в области геодезических измерений»
Раздел: Информатика, программирование
Количество знаков с пробелами: 45197
Количество таблиц: 6
Количество изображений: 28

Похожие работы

Скачать
167040
3
9

... многих странах (в том числе развитых) применение компьютеров в управлении городскими территориями, ведении кадастра, анализе рыночных тенденций в рамках города весьма ограничено. В связи с этим выделим причины, по которым автоматизация решения типовых задач управления региональной недвижимостью Тульской области, как, впрочем, и других городов России, представляется весьма разумной: все материалы ...

Скачать
162762
2
2

... кадастра памятников России и привязки его к ГИС «Компас-2», я изучил возможности, функции ГИС «Компас-2», а также возможность использования его для создания различных видов природных кадастров. Компас-2 – это сетевая система для представления, моделирования и анализа географической информации Функциональные возможности системы КОМПАС 2: публикация географической информации (ГИ) в сетях ...

Скачать
223834
6
7

... информации. Набираемая информация отображается на дисплее, что позволяет контролировать ее правильность. Клавиатура и дисплей АИС должны быть независимыми от других навигационных устройств. Судовыми системами отображения АИС могут быть система отображения электронных карт (ECDIS, ECS, RCDS), РЛС, САРП или дисплей персонального компьютера. АИС и связанные с ней датчики информации питаются от ...

Скачать
55431
1
0

... де-факто, чему способствовала и их большая универсальность). Таким образом, именно Microsoft Excel был выбран мной для разработки средства автоматизации расчетов в лабораторной работе «Предварительные вычисления в триангуляции». Поэтому другие средства построения электронных таблиц здесь не рассматриваются, но зато уделяестся внимание некоторым специфичным средствам Excel. Возможности EXCEL ...

0 комментариев


Наверх