Теорія вірогідності

Завдання 1

В ящику 20 куль: 8 зелених і 12 синіх. З ящика навмання виймають одну кулю. Визначити ймовірність того, що ця куля:

а) зелена;

б) синя.

Розв’язок:

а) Позначимо за подію А ={вибрана куля - зелена} Тоді за означенням класичної імовірності імовірність події А дорівнюватиме відношенню кількості сприятливих подій до загальної кількості можливих подій. Кількість сприятливих подій - 8 (тому, що 8 зелених куль в ящику), загальна кількість можливих - 20 (тому, що загальна кількість кульок - 20).

 - ймовірність того що вийнята куля - зелена

б) Позначимо за подію В ={вибрана куля синя} Тоді за означенням класичної імовірності імовірність події В дорівнюватиме відношенню кількості сприятливих подій до загальної кількості можливих подій. Кількість сприятливих подій - 12 (тому, що 12 синіх куль в ящику), загальна кількість можливих - 20 (тому, що загальна кількість кульок - 20).

 - ймовірність того що вийнята куля - синя

Завдання 2

Імовірність несплати податків у кожного з n підприємців становить р. Визначити ймовірність того, що не сплатять податки не менше m1 і не більше m2 підприємців.

n=500; p=0,1; m1= 40; m2 =250.

Розв’язок:

q=1-p=0,9

За інтегральною теоремою Мавра-Лапласа, маємо:

Завдання 3

Задано ряд розподілу дробового попиту на певний продукт Х. Знайти числові характеристики цієї дискретної випадкової величини:

а) математичне сподівання М (Х);

б) дисперсію D (X);

в) середнє квадратичне відхилення σХ

Х	10	20	30	40	50
р	0,1	0,15	0,42	0,25	0,08

Розв’язок:

М (Х) = 0,1*10 + 20*0,15 + 30*0,42 + 40*0,25 + 50*0,08 = 1+3+12,6+10+4 = 30,6; - математичне сподівання

М (Х2) =936,36

Х2	100	400	900	1600	2500
р	0,1	0,15	0,42	0,25	0,08

М (Х2) = 0,1*100+400*0,15+900*0,42+1600*0,25+2500*0,08=1048

Dx= М (Х2) - М (Х2) =1048-936.36=111.64 - дисперсія

σХ =  - середнє квадратичне відхилення

Завдання 4

Знаючи, що випадкова величина Х підпорядковується біноміальному закону розподілу з параметрами n, p записати ряд розподілу цієї величини і знайти основні числові характеристики:

а) математичне сподівання М (Х);

б) дисперсію D (X);

в) середнє квадратичне відхилення σХ

n=1; p=0,2

Розв’язок:

q=1-p=1-0,2=0,8

М (Х) =np=1*0.2=0.2 - математичне сподівання

D (X) =npq=4*0.2*0.8=0.64- дисперсія

σХ =  - середнє квадратичне відхилення

Завдання 5

Побудувати графік щільності розподілу неперервної випадкової величини Х, яка має нормальний закон розподілу з математичним сподіванням М (Х) =а і проходить через задані точки

a)

а=3.

x	1	2	4	5
f (x)	0.05	0.24	0.24	0.05

г)

а=1.

X	-2	-1	3	4
f (x)	0.075	0.088	0.088	0.075

Завдання 6

Задано вибірку, яка характеризує місячний прибуток підприємців (у тис грн.):

*Скласти варіаційний ряд вибірки.

*Побудувати гістограму та полігон частот, розбивши інтервал на чотири-шість рівних підінтервалів.

*Обчислити моду, медіану, середнє арифметичне, дисперсію варіаційного ряду:

6, 10, 12, 11, 11, 14, 6, 8, 12, 10, 14, 8, 9, 11, 7, 7, 12, 10, 13,6.

Розв’язання:

Скласти варіаційний ряд вибірки.

Оскільки вибірка складається з 20 значень, то обсяг вибірки n=20.

Побудуємо варіаційний ряд вибірки:

6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9,10, 10, 10, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 13, 14, 14.