Случай: x = (4k-1)/2, kÎZ

1 случай: x = (4k-1)/2, kÎZ

Тогда , так как  - целое число.

Получим ====

2 случай: x ¹ (4k-1)/2, k Î Z, тогда .

Получим ==

Итак, данное выражение округляет числа до ближайшего целого; в случае «равновесия» — когда x лежит ровно посередине между целыми числами — данное выражение округляет число в сторону чётного.

Задача 9.

Докажите, что  при любом целом n и любом целом положительном m.

Доказательство:

Пусть .

Покажем, что .

Имеем  Û

Û  (по свойствам (4)) Û

Û  Û

Û  Û

Û  Û

Û  Û

Û

Что и требовалось доказать.

Задача 10.

Пусть α и β — вещественные положительные числа. Докажите, что Spec(α) и Spec(β) образуют разбиение всех целых положительных чисел тогда и только тогда, когда α и β иррациональны и .

Решение:

Пусть α и β — вещественные положительные числа.

Докажем, что если Spec(α) и Spec(β) образуют разбиение всех целых положительных чисел, то α и β — иррациональные числа и .

Spec(α) и Spec(β) образуют разбиение всех целых положительных чисел, тогда .

 Þ

Þ  Þ

Þ  Þ

Þ  Þ

Þ

Рассмотрим Þ

Þ .

Докажем, что α и β иррациональны. Так как , то числа α и β либо оба рациональны, либо оба иррациональны.

Если α и β оба рациональны, т.е. существует такое целое число m, что  и , где  и  — натуральные числа, тогда ÎSpec(α) и ÎSpec(β).

Но никакое число не содержится одновременно в двух спектрах, образующих разбиение всех целых положительных чисел. Следовательно, α и β — иррациональны.

Докажем обратное: если α и β иррациональны и , то Spec(α) и Spec(β) образуют разбиение всех целых положительных чисел.

 Þ

Так как  и  — иррациональны, то  и  — не целые числа, то

и

Отсюда получаем:

 (так как  и  и  — иррациональны, то ).

Получаем, что. Отсюда Spec(α) и Spec(β) образуют разбиение всех натуральных чисел.

Что и требовалось доказать.

Задача 11.

Докажите, что  при целом n.

Доказательство:

·  если  ( или ), то ,

тогда .

Получаем верное равенство .

·  если , тогда .

Правая часть имеет вид: .

Преобразуем левую часть:

.

Получили, что  при любом целом . Что и требовалось доказать.

Задача 12.

Имеется ли аналогичное (16) тождество, в котором вместо «полов» используются «потолки»?

Решение:

Тождество (16)  получается из тождества (15)  заменой n на ëmxû.

Аналогичное тождество для потолков получается из тождества (14)  заменой n на émxù:

émxù ==

==

Итак, получили тождество аналогичное данному:

 émxù =.

Задача 13.

Докажите, что . Найдите и докажите аналогичное выражение для  вида , где ω – комплексное число .

Доказательство:

При делении числа на 2 возможны только два различных остатка: либо 0, либо 1.

·  если , то  и .

·  если ,  и .

Следовательно, равенство  верно для любого натурального n. Что и требовалось доказать.

Найдём аналогичное выражение для , т.е. найдём коэффициенты a, b, c.

Поскольку  — есть корень третьей степени из 1, то  и .

Так как , то .

При делении числа на 3 возможны только три различных остатка: либо 0, либо 1, либо 2.

Если , то .

Если , то .

Если , то .

Решая систему , находим a, b, c.

, , .

Итак, получаем следующую формулу:

.

Задача 14.

Какому необходимому и достаточному условию должно удовлетворять вещественное число , чтобы равенство  выполнялось при любом вещественном ?

Решение:

При любом вещественном  и  равенство  выполняется Û b — целое число.

Если b — целое число, то функция  непрерывная, возрастающая функция (так как ). Пусть  — целое число, т.е. . Тогда , так как  и . Выражая  через , получим  — целое, как натуральное число в неотрицательной целой степени. Поэтому можно применить формулу (6) и получить равенство .

Если b — не целое число, то при  равенство  не будет выполняться, так как

Итак, если , то равенство  выполняется при любом вещественном  тогда и только тогда, когда b — целое число.

Ответ: b — целое число.

Задача 15.

Найдите сумму всех чисел, кратных x, в замкнутом интервале [a, b], при .

Решение:

Числа, кратные  имеют вид , где . Нужно просуммировать те из чисел , для которых . Учитывая, что  и (4), имеем

 Û  Û .

Нам нужно вычислить следующую сумму:

.

В этой сумме  можно вынести за скобки, а в скобке останется сумма всех чисел от  до  включительно. Применяя формулу арифметической прогрессии получаем:

.

 

Задача 16.

Покажите, что n-й член последовательности 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,… равен. (Каждое число m входит в данную последовательность m раз.)

Решение:

В этой последовательности чисел меньших  будет , а чисел не превосходящих  будет . Поэтому, если x_n=m, то

Оценим n:

 Û

Û  Û

Û  Û

Û  Û

Û Û

Û  Û

Û  Þ

Þ .

Следовательно, .

Задача 17.

Найдите и докажите связь между мультимножествами Spec(α) и Spec(α/(α+1)), где α — некоторое положительное вещественное число.

Решение:

Число элементов в Spec(α), которые не превосходят n:

.

Число элементов в Spec(α/(α+1)), которые не превосходят n:

.

Итак, получили, что.

Покажем на основе этого, что чисел равных  в Spec будет на 1 больше, чем в Spec().

При  если , тогда .

Пусть в Spec() элементов не превосходящих  будет , тогда число элементов в Spec() равных  будет . Подсчитаем количество элементов в Spec равных :

Что и требовалось доказать.

Ответ: чисел равных  в Spec будет на 1 больше, чем в Spec().

Задача 18.

На шахматной доске  клеток симметрично начерчена окружность с диаметром  единиц. Через сколько клеток доски проходит данная окружность?

Решение:

Радиус окружности равен .

Горизонтальных прямых, не являющихся сторонами квадрата — ().

Вертикальных прямых, не являющихся сторонами квадрата — ().

Окружность каждую из указанных прямых пересекает в двух точках. Она не проходит через углы клеток. Действительно, если предположить, что данная окружность проходит через какой-нибудь угол клетки, то существуют такие целые числа  и , для которых выполняется теорема Пифагора: , но  — целое число, а  — не целое. Получили противоречие. Следовательно, окружность не проходит через углы клеток.

Каждую клетку окружность пересекает в двух точках, а каждая точка пересечения принадлежит двум клеткам. Следовательно, окружность проходит через столько клеток доски, сколько имеется точек пересечения её с прямыми: .

Ответ:  клеток.

Задача 19.

Говорят, что f(x) является репликативной функцией, если

f() = f() + f  + … + f

при каждом целом положительном m. Укажите, какому необходимому и достаточному условию должно удовлетворять вещественное число c, чтобы функция f(x) = x+c являлась репликативной.

Решение:

f(x) = x+c — репликативна Û

Û  Û

Û  Û

Û  = 0 Û .

Ответ: .

  Литература

Р.Грэхем, Д.Кнут, О.Паташник. Конкретная математика. М.: «Мир» 1998. С 88 - 124.