Пример для теоретической части

4.  Пример для теоретической части

Имеются следующие данные о производстве молочной продукции и стоимости основных производственных фондов по 15 предприятиям Московской области. Произведем синтез адекватной экономико-математической модели между изучаемыми признаками на базе метода наименьших квадратов. С экономической точки зрения сформулируем выводы относительно исследуемой связи.

Зависимость y от x найдем с помощью корреляционно-регрессионного анализа. Рассмотрим прямолинейную форму зависимости y от x:

Таблица 1
Показатели работы предприятий Московской области
Номер предприятия	Молочная продукция (млн. руб.)	Стоимость ОПФ (млн.руб.)
1	6,0	3,5
2	9,2	7,5
3	11,4	5,3
4	9,3	2,9
5	8,4	3,2
6	5,7	2,1
7	8,2	4,0
8	6,3	2,5
9	8,2	3,2
10	5,6	3,0
11	11,0	5,4
12	6,5	3,2
13	8,9	6,5
14	11,5	5,5
15	4,2	8,2
Итого:	120,4	66,0

Параметры этого уравнения найдем с помощью метода наименьших квадратов и, произведя предварительные расчеты, получим:

Получаем следующее уравнение регрессии:

Далее определим адекватность полученной модели. Определим фактические значения t-критерия для a₀ и a₁.

Из полученного уравнения следует, что с увеличением основных производственных фондов на 1 млн. руб., стоимость молочной продукции возрастает в среднем на 1,311 млн. руб.

III.  Расчетная часть

Имеются исходные выборочные данные по организациям одной из отраслей хозяйствования в отчетном году (выборка 20%-ная, бесповторная) о результатах производственной деятельности организаций:

Таблица Х
Исходные данные
№ организации	Среднесписочная численность работников, чел.	Выпуск продукции, млн.руб.	Среднегодовая стоимость ОПФ, млн.руб.	Уровень производительности труда, млн.руб.	Фондоотдача
1	2	3	4	5	6
1	162	36,450	34,714	0,225	1,050
2	156	23,400	24,375	0,150	0,960
3	179	46,540	41,554	0,260	1,120
4	194	59,752	50,212	0,308	1,190
5	165	41,415	38,347	0,251	1,080
6	158	26,860	27,408	0,170	0,980
7	220	79,200	60,923	0,360	1,300
8	190	54,720	47,172	0,288	1,160
9	163	40,424	37,957	0,248	1,065
10	159	30,210	30,210	0,190	1,000
11	167	42,418	38,562	0,254	1,100
12	205	64,575	52,500	0,315	1,230
13	187	51,612	45,674	0,276	1,130
14	161	35,420	34,388	0,220	1,030
15	120	14,400	16,000	0,120	0,900
16	162	36,936	34,845	0,228	1,060
17	188	53,392	46,428	0,284	1,150
18	164	41,000	38,318	0,250	1,070
19	192	55,680	47,590	0,290	1,170
20	130	18,200	19,362	0,140	0,940
21	159	31,800	31,176	0,200	1,020
22	162	39,204	36,985	0,242	1,060
23	193	57,128	48,414	0,296	1,180
24	158	28,440	28,727	0,180	0,990
25	168	43,344	39,404	0,258	1,100
26	208	70,720	55,250	0,340	1,280
27	166	41,832	38,378	0,252	1,090
28	207	69,345	55,476	0,335	1,250
29	161	35,903	34,522	0,223	1,040
30	186	50,220	44,839	0,270	1,120

Задание 1

По исходным данным табл. Х:

1.  Построить статистический ряд распределения организаций по уровню производительности труда, образовав пять групп с равными интервалами.

2.  Постройте графики полученного ряда распределения.

3.  Рассчитайте характеристики ряда распределения: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

4.  Вычислите среднюю арифметическую по исходным данным (табл. Х), сравните её с аналогичным показателем, рассчитанным в п. 3 настоящего задания. Объясните причину их расхождения.

Сделайте выводы по результатам выполнения Задания.

Выполнение Задания 1.

1. Решение:

Для построения интервального ряда распределения определяем величину интервала h по формуле:

 

,

где – наибольшее и наименьшее значения признака в исследуемой совокупности, k – число групп интервального ряда.

При заданных k = 5, x_max = 360 тыс.руб. и x_min = 120 тыс.руб.

При h = 48 тыс. руб. границы интервалов ряда распределения имеют следующий вид (табл. 1):

Таблица 1
Границы интервалов ряда распределения
Номер группы	Нижняя граница, тыс.руб.	Верхняя граница, тыс.руб.
1	2	3
I	120	168
II	168	216
III	216	264
IV	264	312
V	312	360

Определяем количество организаций, входящих в каждую группу, используя принцип полуоткрытого интервала [ ), согласно которому организации со значениями признаков, служащие одновременно верхними и нижними границами смежных интервалов (168, 216, 264, 312 и 360), будем относить ко второму из смежных интервалов.

Для определения числа организаций в каждой группе строим таблицу 2.

Таблица 2
Разработочная таблица для построения интервального ряда распределения
Группы фирм по уровню производительности труда, тыс.руб.	Номер фирмы	Уровень производительности труда, тыс. руб.	Выпуск продукции, тыс.руб.
1	2	3	4
120-168	15	120	14 400
	20	140	18 200
	2	150	23 400
Всего:	3	410	56 000
168-216	6	170	26 860
	24	180	28 440
	10	190	30 210
	21	200	31 800
Всего:	4	740	117 310
216-264	14	220	35 420
	29	223	35 903
	1	225	36 450
	16	228	36 936
	22	242	39 204
	9	248	40 424
	18	250	41 000
	5	251	41 415
	27	252	41 832
	11	254	42 418
	25	258	43 344
	3	260	46 540
Всего:	12	2 911	480 886
264-312	30	270	50 220
	13	276	51 612
	17	284	53 392
	8	288	54 720
	19	290	55 680
	23	296	57 128
	4	308	59 752
Всего:	7	2 012	382 504
312-360	12	315	64 575
	28	335	69 345
	26	340	70 720
	7	360	79 200
Всего:	4	1 350	283 840
ИТОГО:	30	7 423	1 320 540

На основе групповых итоговых строк «Всего» табл. 2 формируем итоговую таблицу 3, представляющую интервальный ряд распределения организаций по уровню производительности труда.

Таблица 3
Распределение фирм по уровню производительности труда
Номер группы	Группы фирм по уровню производительности труда, тыс.руб.	Число фирм
1	2	3
I	120-168	3
II	168-216	4
III	216-264	12
IV	264-312	7
V	312-360	4
	Итого:	30

Приведем еще три характеристики полученного ряда распределения - частоты групп в относительном выражении, накопленные (кумулятивные) частоты S_j, получаемые путем последовательного суммирования частот всех предшествующих (j-1) интервалов, и накопленные частости, рассчитываемые по формуле

.

Таблица 4
Структура фирм по уровню производительности труда
Номер группы	Группы фирм по уровню производительности труда, тыс.руб.	Число фирм		Накопленная частота	Накопленная частость, %
		в абсолютном выражении	в % к итогу
1	2	3	4	5	6
I	120-168	3	10	3	10
II	168-216	4	13	7	23
III	216-264	12	40	19	63
IV	264-312	7	23	26	87
V	312-360	4	13	30	100
	Итого:	30	100

Вывод. Анализ интервального ряда распределения изучаемой совокупности организаций показывает, что распределение организаций по уровню производительности труда не является равномерным: преобладают организации с уровнем производительности труда от 216 до 264 тыс.руб. (это 12 организаций, доля которых составляет 40%); самая малочисленная группа организаций имеет уровень производительности труда от 120 до 168 тыс.руб., которая включает 3 организации, что составляет 10% от общего числа организаций.

2. Решение:

По данным таблицы 3 (графы 2 и 3) строим график распределения организаций по уровню производительности труда.

Рис. 1. График полученного ряда распределения

Мода (Мо) – значение случайной величины, встречающееся с наибольшей вероятностью в дискретном вариационном ряду – вариант, имеющий наибольшую частоту. Наибольшей частотой является число 12. Этой частоте соответствует модальное значение признака, т.е. количество предприятий. Мода свидетельствует, что в данном примере чаще всего встречаются группы предприятий, входящие в интервал от 216 до 264.

В интервальных рядах распределения с равными интервалами мода вычисляется по формуле:

где х_Мo– нижняя граница модального интервала,

h – величина модального интервала,

f_Mo – частота модального интервала,

f_Mo-1 – частота интервала, предшествующего модальному,

f_Mo+1– частота интервала, следующего за модальным.

Вывод. В данном случае наибольший процент предприятий по уровню производительности труда приходится на интервал от 216 до 264, а само значение средней характеризуется 246 (тыс.руб.)

Медиана (Ме) – это вариант, который находится в середине вариационного ряда. Медиана делит ряд на две равные (по числу единиц) части – со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы. Чтобы найти медианы, необходимо отыскать значение признака, которое находится в середине упорядоченного ряда.

Определяем медианный интервал, используя графу 5 табл. 4. Медианным интервалом является интервал 216-264 тыс.руб., т.к. именно в этом интервале накопленная частота S_j=19 впервые превышает полу-сумму всех частот

.

В интервальных рядах распределения медианное значение (поскольку оно делит всю совокупность на две равные по численности ряды) оказывается в каком-то из интервалов признака х. Этот интервал характерен тем, что его кумулятивная частота (накопленная сумма частот) равна или превышает полу-сумму всех частот ряда. Значение медианы вычисляется линейной интерполяцией по формуле:

 

Вывод: Полученный результат говорит о том, что из 30 организаций половина организаций имеют уровень производительности труда менее 247 тыс. руб., а вторая свыше.

3. Решение:

Для расчета характеристик ряда распределения , σ, σ2, V_σ на основе табл. 4 строим вспомогательную таблицу 5 (x’_j – середина интервала).

 

Таблица 5
Расчетная таблица для нахождения характеристик ряда распределения
Группы уровней производитель-ности труда, тыс.руб.	Середина интервала	Число органи-заций
1	2	3	4	5	6	7
120-168	144	3	432	-104	10 816	32 448
168-216	192	4	768	-56	3 136	12 544
216-264	240	12	2 880	-8	64	768
264-312	288	7	2 016	40	1 600	11 200
312-360	336	4	1 344	88	7 744	30 976
Итого:		30	7 440			87 936

 

Средняя арифметическая взвешенная – средняя сгруппированных величин x₁, x₂, …, x_n – вычисляется по формуле:

 

Среднее квадратическое отклонение – это обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности; оно показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от среднего значения; является абсолютной мерой колеблемости признака и выражается в тех же единицах, что и варианты, поэтому экономически хорошо интерпретируется.

Рассчитаем среднее квадратическое отклонение, которое равно корню квадратному из дисперсии:

Рассчитаем дисперсию:

σ2 = 54,1405²=2931,2

Коэффициент вариации представляет собой выраженное в процентах отношение средне квадратического отклонения к средней арифметической.

Рассчитаем коэффициент вариации:

Вывод. Анализ полученных значений показателей  и σ говорит о том, что средняя величина уровня производительности труда составляет 248 тыс.руб. отклонение от этой величины в ту или иную сторону составляет 54,1405 (или 21,83%), наиболее характерный уровень производительности труда находится в пределах от 194 до 302 тыс.руб. (диапазон ).

Значение V_σ = 21,83% не превышает 33%, следовательно, вариация уровня производительности труда в исследуемой совокупности организаций незначительна и совокупность по данному признаку однородна. Расхождение между значениями незначительно (=248 тыс.руб., Мо=246 тыс.руб., Ме=247 тыс. руб.), что подтверждает вывод об однородности совокупности организаций. Таким образом, найденное среднее значение уровня типичной производительности является типичной, надежной характеристикой исследуемой совокупности организаций.

4. Решение:

Для расчета средней арифметической по исходным данным по уровню производительности труда применяется формула средней арифметической простой:

,

Причина расхождения средних величин, рассчитанных по исходным данным (247 тыс.руб.) и по интервальному ряду распределения (248 тыс.руб.), заключается в том, что в первом случае средняя определяется по фактическим значениям исследуемого признака для всех 30-ти организаций, а во втором случае в качестве значений признака берутся середины интервалов х_j’ и, следовательно, значение средней будет менее точным. Вместе с тем, при округлении обеих рассматриваемых величин их значения совпадают, что говорит о достаточно равномерном распределении уровня производительности труда внутри каждой группы интервального ряда.

 

Задание 2

По исходным данным необходимо выполнить следующее:

1. Установить наличие и характер корреляционной связи между признаками фондоотдача и уровень производительности труда, образовав пять групп с равными интервалами по каждому из признаков, используя метод аналитической группировки;

2. Измерить тесноту корреляционной связи, между фондоотдачей и уровнем производительности труда с использованием коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения.

Сделать выводы.

Выполнение Задания 2:

По условию Задания 2 факторным является признак Фондоотдача, результативным – признак Уровень производительности труда.

1. Решение:

Аналитическая группировка строится по факторному признаку Х и для каждой j-ой группы ряда определяется средне групповое значение  результативного признака Y. Если с ростом значений фактора Х от группы к группе средние значения  систематически возрастают (или убывают), между признаками X и Y имеет место корреляционная связь.

Используя разработочную таблицу 2, строим вспомогательную таблицу 6 для проведения в дальнейшем аналитической группировки.

Таблица 6
Вспомогательная таблица для аналитической группировки
№ группы	№ организации	Выпуск продукции, тыс.руб.	Среднегодовая стоимость ОПФ, тыс.руб.	Фондоотдача	Уровень производительности труда, тыс.руб.
А	1	2	3	4	5
I	15	14 400,000	16 000,000	0,900	120,000
	20	18 200,000	19 362,000	0,940	140,000
	2	23 400,000	24 375,000	0,960	150,000
	6	26 860,000	27 408,000	0,980	170,000
Всего:	4			3,780	580,000
II	24	28 440,000	28 727,000	0,990	180,000
	10	30 210,000	30 210,000	1,000	190,000
	21	31 800,000	31 176,000	1,020	200,000
	14	35 420,000	34 388,000	1,030	220,000
	29	35 903,000	34 522,000	1,040	223,000
	1	36 450,000	34 714,000	1,050	225,000
	22	39 204,000	36 985,000	1,059	242,000
Всего:	7			7,189	1 480,000
III	16	36 936,000	34 845,000	1,060	228,000
	9	40 424,000	37 957,000	1,065	248,000
	18	41 000,000	38 318,000	1,070	250,000
	5	41 415,000	38 347,000	1,080	251,000
	27	41 832,000	38 378,000	1,090	252,000
	11	42 418,000	38 562,000	1,100	254,000
	25	43 344,000	39 404,000	1,100	258,000
	3	46 540,000	41 554,000	1,120	260,000
	30	50 220,000	44 839,000	1,120	270,000
	13	51 612,000	45 674,000	1,130	276,000
Всего:	10			10,935	2 547,000
IV	17	53 392,000	46 428,000	1,150	284,000
	8	54 720,000	47 172,000	1,160	288,000
	19	55 680,000	47 590,000	1,170	290,000
	23	57 128,000	48 414,000	1,180	296,000
	4	59 752,000	50 212,000	1,190	308,000
Всего:	5			5,850	1 466,000
V	12	64 575,000	52 500,000	1,230	315,000
	28	69 345,000	55 476,000	1,250	335,000
	26	70 720,000	55 250,000	1,280	340,000
	7	79 200,000	60 923,000	1,300	360,000
Всего:	4			5,060	1 350,000
Итого:	30			32,814	7 423,000

Используя таблицу 6, строим аналитическую группировку, характеризующую зависимость между факторным признаком Х – Фондоотдача и результативным признаком Y – Уровень производительности труда.

Групповые средние значения y_j получаем из таблицы 6 (графа 5), основываясь на итоговых строках «Всего». Построенную аналитическую группировку представляет табл. 7.:

Таблица 7
Зависимость уровня производительности труда от фондоотдачи
Номер группы	Фондоотдача	Число организаций	Уровень производительности труда, тыс. руб.
			всего	в среднем на одну фирму
1	2	3	4	5
I	0,900-0,980	4	580	145
II	0,980-1,060	7	1 480	211
III	1,060-1,140	10	2 547	255
IV	1,140-1,220	5	1 466	293
V	1,220-1,300	4	1 350	338
	Итого:	30	7 423

Вывод. Анализ данных табл. 7 показывает, что с увеличением фондоотдачи от группы к группе систематически возрастает и средний уровень производительности труда по каждой группе организаций, что свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между исследуемыми признаками.

2. Решение:

Коэффициент детерминации  характеризует силу влияния факторного (группировочного) признака Х на результативный признак Y и рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии  признака Y в его общей дисперсии:

где  – общая дисперсия признака Y,  – межгрупповая (факторная) дисперсия признака Y.

Общая дисперсия  характеризует вариацию результативного признака, сложившуюся под влиянием всех действующих на Y факторов (систематических и случайных) и вычисляется по формуле

,

где y_i – индивидуальные значения результативного признака;

– общая средняя значений результативного признака;

n – число единиц совокупности.

Межгрупповая дисперсия  измеряет систематическую вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора Х (по которому произведена группировка) и вычисляется по формуле:

,

где  –групповые средние,

 – общая средняя,

–число единиц в j-ой группе,

k – число групп.

Для расчета показателей  и  необходимо знать величину общей средней , которая вычисляется как средняя арифметическая простая по всем единицам совокупности:

Значения числителя и знаменателя формулы имеются в табл. 7 (графы 3 и 4 итоговой строки). Используя эти данные, получаем общую среднюю :

 

Для расчета общей дисперсии  применяется вспомогательная табл. 8.

Таблица 8
Вспомогательная таблица для расчета общей дисперсии
№ организации	Уровень производительности труда, тыс.руб.
1	2	3	4
1	225	-22	484
2	150	-97	9 409
3	260	13	169
4	308	61	3 721
5	251	4	16
6	170	-77	5 929
7	360	113	12 769
8	288	41	1 681
9	248	1	1
10	190	-57	3 249
11	254	7	49
12	315	68	4 624
13	276	29	841
14	220	-27	729
15	120	-127	16 129
16	228	-19	361
17	284	37	1 369
18	250	3	9
19	290	43	1 849
20	140	-107	11 449
21	200	-47	2 209
22	242	-5	25
23	296	49	2 401
24	180	-67	4 489
25	258	11	121
26	340	93	8 649
27	252	5	25
28	335	88	7 744
29	223	-24	576
30	270	23	529
Итого:	7 423		101 605

Рассчитаем общую дисперсию:

Для расчета межгрупповой дисперсии  строим вспомогательную таблицу 9. При этом используются групповые средние значения  из табл. 7 (графа 5).

Таблица 9
Вспомогательная таблица для расчета межгрупповой дисперсии
Номер группы	Фондоотдача	Число фирм	Среднее значение в группе, тыс.руб.
	1	2	3	4	5
I	0,900-0,980	4	145	-102	41 616
II	0,980-1,060	7	211	-36	9 072
III	1,060-1,140	10	255	8	640
IV	1,140-1,220	5	293	46	10 580
V	1,220-1,300	4	338	91	33 124
	Итого:	30			95 032

Рассчитаем межгрупповую дисперсию:

Определяем коэффициент детерминации:

 

Вывод. 93,53% вариации уровня производительности труда обусловлено вариацией уровня фондоотдачи, а 6,47% – влиянием прочих неучтенных факторов.

Эмпирическое корреляционное отношение  оценивает тесноту связи между факторным и результативным признаками и вычисляется по формуле:

Рассчитаем показатель :

Для оценки тесноты связи с помощью корреляционного отношения используется шкала Чэддока (см. теоретическую часть стр. 14):

Вывод: согласно шкале Чэддока связь между средним уровнем производительности труда и фондоотдачей по организациям является весьма тесной.

 

Задание 3

По результатам выполнения Задания 1 с вероятностью 0,683 определите:

1. ошибку выборки среднего уровня производительности труда и границы, в которых будет находиться средний уровень производительности труда в генеральной совокупности.

2. ошибку выборки доли организаций с уровнем производительности труда 264 тыс. руб. и более и границы, в которых будет находиться генеральная доля.

Выполнение Задания 3.

1. Решение:

Применяя выборочный метод наблюдения, необходимо рассчитать ошибки выборки (ошибки репрезентативности), т.к. генеральные и выборочные характеристики, как правило, не совпадают, а отклоняются на некоторую величину ε.

Принято вычислять два вида ошибок выборки - среднюю  и предельную .

Для расчета средней ошибки выборки  применяются различные формулы в зависимости от вида и способа отбора единиц из генеральной совокупности в выборочную.

Для собственно-случайной и механической выборки с бесповторным способом отбора средняя ошибка  для выборочной средней  определяется по формуле

,

где  – общая дисперсия изучаемого признака,

N – число единиц в генеральной совокупности,

n – число единиц в выборочной совокупности.

Предельная ошибка выборки  определяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная средняя:

,

,

где – выборочная средняя,

 – генеральная средняя.

Предельная ошибка выборки  кратна средней ошибке  с коэффициентом кратности t (называемым также коэффициентом доверия):

Коэффициент кратности t зависит от значения доверительной вероятности Р, гарантирующей вхождение генеральной средней в интервал , называемый доверительным интервалом.

Наиболее часто используемые доверительные вероятности Р и соответствующие им значения t задаются следующим образом (табл. 10):

Таблица 10

Доверительная вероятность P	0,683	0,866	0,954	0,988	0,997	0,999
Значение t	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5

По условию Задания 2 выборочная совокупность насчитывает 30 организаций, выборка 20% бесповторная, следовательно, генеральная совокупность включает 150 организаций. Выборочная средняя , дисперсия  определены в Задании 1 (п. 3). Значения параметров, необходимых для решения задачи, представлены в табл. 11:

 

Таблица 11

Р	t	n	N
0,683	1,0	30	150	248	2931,2

Рассчитаем среднюю ошибку выборки:

Рассчитаем предельную ошибку выборки:

Определим доверительный интервал для генеральной средней:

Вывод. На основании проведенного выборочного обследования с вероятностью 0,683 можно утверждать, что для генеральной совокупности организаций средняя величина среднего уровня производительности труда находится в пределах от 239 до 257 тыс.руб.

2. Решение:

Доля единиц выборочной совокупности, обладающих тем или иным заданным свойством, выражается формулой

,

где m – число единиц совокупности, обладающих заданным свойством;

n – общее число единиц в совокупности.

Для собственно-случайной и механической выборки с бесповторным способом отбора предельная ошибка выборки  доли единиц, обладающих заданным свойством, рассчитывается по формуле

,

где w – доля единиц совокупности, обладающих заданным свойством;

(1-w) – доля единиц совокупности, не обладающих заданным свойством,

N – число единиц в генеральной совокупности,

n– число единиц в выборочной совокупности.

Предельная ошибка выборки  определяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная доля р единиц, обладающих исследуемым признаком:

По условию Задания 3 исследуемым свойством организаций является равенство или превышение среднего уровня производительности труда 264 тыс. руб.

Число организаций с данным свойством определяется из табл. 2 (графа 2):

m=12

Рассчитаем выборочную долю:

Рассчитаем предельную ошибку выборки для доли:

Определим доверительный интервал генеральной доли:

Вывод. С вероятностью 0,683 можно утверждать, что в генеральной совокупности организаций региона доля организаций с средним уровнем производительности труда 264 тыс.руб. и более будет находиться в пределах от 32% до 48%.

 

Задание 4

 

По результатам расчетов заданий 1 и 2 найдите уравнение корреляционной связи между фондоотдачей и производительностью труда, изобразите корреляционную связь графически.

Для определения тесноты корреляционной связи рассчитайте коэффициент корреляции. Сделайте выводы.

Выполнение задания 4.

Имеются данные по 30 предприятиям по уровню производительности труда и фондоотдачи.

Уравнение корреляционной связи (уравнение регрессии, модели) выражает количественное соотношение между факторным (x – фондоотдача) и результативным (y – уровень производительности труда) признаками. Рассмотрим прямолинейную форму зависимости y от x:

Поскольку для установления наличия корреляционной связи между признаками применялся метод аналитической группировки, то параметры для уравнения регрессии рационально определить по сгруппированным данным (табл. 7). В таком случае система нормальных уравнений для уравнения прямой будет иметь вид:

где  – групповые средние результативного признака, x – середина интервалов факторного признака. Используя данные табл. 7 строим расчетную таблицу 10, чтобы получить численные значения параметров уравнения регрессии а₀ и а₁:

Таблица 10
Расчетная таблица для определения численных значений параметров уравнения регрессии
Середина интер-вала	Число органи-заций	Групповые средние		xf		x2f		xy
1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,940	4	145,000	580,000	3,760	545,200	3,534	215,279	136,300
1,020	7	211,000	1 477,000	7,140	1 506,540	7,283	233,474	215,220
1,100	10	255,000	2 550,000	11,000	2 805,000	12,100	251,668	280,500
1,180	5	293,000	1 465,000	5,900	1 728,700	6,962	269,863	345,740
1,260	4	338,000	1 352,000	5,040	1 703,520	6,350	288,057	425,880
Итого:	30	1 242,000	7 424,000	32,840	8 288,960	36,230	1 258,341	1 403,640

Итак, получилось, что а₀=1,494, а а₁=227,431. Нас интересует именно параметр а₁, показывающий изменение результативного признака при изменении факторного признака на единицу.

Итак, уравнение корреляционной связи между фондоотдачей и производительностью труда выглядит так:

График 2. Графическое изображение корреляционной связи

Теперь вычислим линейный коэффициент корреляции, который называется линейным коэффициентом детерминации. Из определения коэффициента детерминации очевидно, что его числовое значение всегда заключено в пределах от 0 до 1, т.е. . Степень тесноты связи полностью соответствует теоретическому корреляционному отношению, которое является более универсальным показателем тесноты связи по сравнению с линейным коэффициентом корреляции.

Составим расчетную таблицу 11, которая будет иметь вид:

Таблица 11
Расчетная таблица для вычисления коэффициента
Середина интервала	Число организаций	Групповые средние	xy	х2	у2
1	2	3	4	5	6
0,940	4	145,000	136,300	0,884	21 025,000
1,020	7	211,000	215,220	1,040	44 521,000
1,100	10	255,000	280,500	1,210	65 025,000
1,180	5	293,000	345,740	1,392	85 849,000
1,260	4	338,000	425,880	1,588	114 244,000
5,500	30	1 242,000	1 403,640	6,114	330 664,000

Для практических вычислений линейный коэффициент корреляции удобнее исчислять по формуле:

Вывод: Факт совпадения и несовпадения значений теоретического корреляционного отношения  и линейного коэффициента корреляции  используется для оценки формы связи. В нашем случае несовпадение этих величин говорит о том, что связь между изучаемыми признаками не прямолинейна, а криволинейна. Итак, можно сделать вывод, что связь между уровнем производительности труда и фондоотдачей по организациям является весьма тесной криволинейной.

IV.  Заключение

 

Итак, в заключение хочется отметить, что понятия «корреляция» и «регрессии» тесно связаны между собой. В экономических исследованиях корреляционный и регрессионный анализ нередко объединяют в один – корреляционно-регрессионный анализ. Подразумевается, что в результате такого анализа будет построена регрессионная зависимость (т.е. проведен регрессионный анализ) и рассчитаны коэффициенты ее тесноты и значимости (т.е. проведен корреляционный анализ).

Практическая реализация корреляционно-регрессионного анализа включает следующие этапы:

1. Постановка задачи – определяются показатели, зависимость между которыми подлежит оценке, формулируется экономически осмысленная и приемлемая гипотеза о зависимости между ними;

2. Формирование перечня факторов, их логический анализ – выбирается оптимальное число наиболее существенных переменных факторов, влияющих на зависимый показатель;

3. Спецификация функции регрессии – дается конкретная формулировка гипотезы о форме зависимости;

4. Оценка функции регрессии и проверка адекватности модели – определяются числовые значения параметров регрессии, вычисляется ряд показателей, характеризующих точность проведенного анализа;

5. Экономическая интерпретация – результаты анализа сравниваются с гипотезами, сформулированными на первом этапе исследования, оценивается их правдоподобие с экономической точки зрения, делаются аналитические выводы.

Следует заметить, что традиционные методы корреляции и регрессии широко представлены в разного рода статистических пакетах программ для ЭВМ. Исследователю остается только правильно подготовить информацию, выбрать удовлетворяющий требованиям анализа пакет программ и быть готовым к интерпретации полученных результатов. Алгоритмов вычисления параметров связи существует множество, и в настоящее время вряд ли целесообразно проводить такой сложный вид анализа вручную. Вычислительные процедуры представляют самостоятельный интерес, но знание принципов изучения взаимосвязей, возможностей и ограничений тех или иных методов интерпретации результатов является обязательным условием исследования.

Анализ отчетности не замыкается на специфических, разработанных в его рамках приемах, но активно использует самые разнообразные методики, творчески переработав их применительно к собственным требованиям. В частности, использование корреляционно-регрессионного анализа позволяет более эффективно решать задачи прогнозирования доходов организации и планирования ее будущего финансового состояния, в связи с чем, данный математический метод рекомендуется использовать более активно.

V.  Список использованной литературы

1. Бараз В.Р. Корреляционно-регрессионный анализ связи показателей коммерческой деятельности с использованием программы Exel: Учебное пособие – Екатеринбург: ГОУ ВПО «УГТУ-УПИ», 2005;

2. Курс социально-экономической статистики: Учебник для вузов/Под ред. проф. М.Г. Назарова. — М.: Финстатинформ, ЮНИТИ-ДАНА, 2000;

3. Алесинская Т.В. Учебное пособие по решению задач по курсу «Экономико-математические методы и модели» – Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2002

4. Сергеева С.А. «Применение корреляционно-регрессионного метода в анализе финансового состояния организации» Белгородский университет потребительской кооперации. http://www.rusnauka.com/ONG/Economics/ 8_sergeeva%20s.a..doc.htm

5. Грищенко О.В. Анализ и диагностика финансово-хозяйственной деятельности предприятия: Учебное пособие - Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2000.

6. Минашкин В.Г., Шмойлова Р.А. и др. Теория статистики/Московская финансово-промышленная академия, М., – 2004

7. Микроэкономическая статистика: Учебник/Под ред. С.Д. Ильенковой. – М.: Финансы и статистика, 2009

8. Герасимов Б.И. В.В.Дробышева, О.В. Воронкова Статистическое исследование в маркетинге: введение в экономический анализ: учебное пособие – Тамбов: Изд-во ТГТУ, 2006

9. Л.С.Хромцова. Корреляционно-регрессионный анализ основных показателей нефтедобывающей промышленности – Журнал "Экономический анализ: теория и практика", 2007, N 7.

10. Мартьянова М.Н., Сафронова Т.П. Основы статистики промышленности: Учебное пособие. – М.: Финансы и статистика, 1983

11. Гусаров В.М. Теория статистики: Учебное пособие для вузов. – М.: Аудит, ЮНИТИ, 2010