2. Властивості централізаторів конгруенції універсальних алгебр
Нагадаємо, що клас алгебр сигнатури
називається різноманіттям, якщо існує множина
тотожностей сигнатури
таке, що алгебра сигнатури
належить класу
тоді й тільки тоді, коли в ній виконуються всі тотожності із множини
.
Різноманіття називається мальцевським, якщо воно складається з алгебр, у яких всі конгруенції перестановочні.
Усе алгебри вважаються приналежними деякому фіксованому мальцевському різноманіттю. Використовуються стандартні позначення й визначення з[2].
У даній роботі конгруенції довільної алгебри будемо позначати грецькими буквами.
Якщо – конгруенція на алгебрі
, то
суміжний клас алгебри по конгруенції
.
або
– діагональ алгебри
.
Для довільні конгруенції й
на алгебрі
будемо позначати
множину всіх конгруенції на алгебрі
таких, що
тоді й тільки тоді, коли
Тому що , та множина
не порожньо.
Наступне визначення дається в роботі[2].
Визначення 2.1. Нехай і
– конгруенції на алгебрі
. Тоді
централізує
(записується:
), якщо на
існує така конгруенція
, що:
1) з
завжди треба
2) для будь-якого елемента
завжди виконується
3) якщо
те
Під терміном «алгебра» надалі будемо розуміти універсальну алгебру. Всі розглянуті алгебри передбачаються вхідними у фіксоване мальцевське різноманіття .
Наступні властивості отримані Смітом[3], сформулюємо у вигляді леми.
Лема 2.1. Нехай . Тоді:
1) існує єдина конгруенція , що задовольняє визначенню 2.1;
2) ;
3) якщо
те
З леми 2.1. і леми Цорна треба, що для довільної конгруенції на алгебрі
завжди існує найбільша конгруенція, що централізує
. Вона називається централізатором конгруенції
в
і позначається
.
Зокрема, якщо , те централізатор
у
будемо позначати
.
Лема 2.2. Нехай ,
– конгруенції на алгебрі
,
,
,
. Тоді справедливі наступні твердження:
1) ;
2) , де
;
3) якщо виконується одне з наступних відносин:
4) із завжди треба
Доказ:
1) Очевидно, що – конгруенція на
, що задовольняє визначенню 2.1. У силу пункту 1) леми 2.1. і
.
2) – конгруенція на
, що задовольняє визначенню 2.1. Значить
3) Нехай . Тоді
Застосуємо до останнього трьох співвідношенням мальцевський оператор такий, що
Тоді одержимо
Аналогічним образом показуються інші випадки з пункту 3).
4) Нехай
Тоді справедливі наступні співвідношення:
Отже,
де – мальцевський оператор.
Тоді
тобто .
Тому що
те .
У такий спосіб . Лема доведена.
Наступний результат виявляється корисним при доказі наступних результатів.
Лема. 2.3. Будь-яка підалгебра алгебри , що містить діагональ
, є конгруенцією на алгебрі
.
Доказ:
Нехай
Тоді з
треба, що
Аналогічним образом з
одержуємо, що
Отже, симетрично й транзитивне. Лема доведена.
Доказ наступного результату роботи [1] містить пробіл, тому доведемо його.
Лема 2.4. Нехай . Тоді
для будь-якої конгруенції
на алгебрі
.
Доказ:
Позначимо й визначимо на алгебрі
бінарне відношення
в такий спосіб:
тоді й тільки тоді, коли
де
Використовуючи лему 2.3, неважко показати, що – конгруенція на алгебрі
, причому
Нехай
Тобто
Тоді
і, значить
Нехай, нарешті, має місце
Тоді справедливі наступні співвідношення:
застосовуючи мальцевський оператор до цим трьох співвідношенням, одержуємо
З леми 2.2 треба, що
Тому що
те
Виходить,
Але , отже,
.
Отже,
і задовольняє визначенню 2.1. Лема доведена.
Лема 2.5. Нехай ,
– конгруенції на алгебрі
,
і
– ізоморфізм, певний на
.
Тоді для будь-якого елемента відображення
визначає ізоморфізм алгебри
на алгебру
, при якому
.
Зокрема, .
Доказ.
Очевидно, що – ізоморфізм алгебри
на алгебру
, при якому конгруенції
,
ізоморфні відповідно конгруенціям
і
.
Тому що
те визначена конгруенція
задовольняючому визначенню 2.1.
Ізоморфізм алгебри
на алгебру
індуцирує у свою чергу ізоморфізм
алгебри
на алгебру
такий, що
для будь-яких елементів і
, що належать
. Але тоді легко перевірити, що
– конгруенція на алгебрі
, ізоморфна конгруенції
.
Це й означає, що
Лема доведена.
Визначення 2.2. Якщо й
– фактори на алгебрі
такі, що
те конгруенцію позначимо через
і назвемо централізатором фактору
в.
Нагадаємо, що фактори й
називаються перспективними, якщо або
або
Доведемо основні властивості централізаторів конгруенції.
Теорема 6 Нехай ,
,
,
– конгруенції на алгебрі
. Тоді:
1) якщо , те
2) якщо , те
3) якщо ,
і фактори
,
перспективні, те
4) якщо – конгруенції на
й
, те
де ,
.
Доказ.
1) Тому що конгруенція централізує будь-яку конгруенцію й
, те
2) З першого пункту леми 2.2 треба, що
а в силу леми 2.4 одержуємо, що
Нехай – ізоморфізм
. Позначимо
По лемі 2.5 , а по визначенню
Отже,
3) Очевидно, досить показати, що для будь-яких двох конгруенції й
на алгебрі
має місце рівність
Покажемо що
Позначимо . Тоді, відповідно до визначення 2.1. на алгебрі
існує така конгруенція
, що виконуються наступні властивості:
а) якщо , те
б) для будь-якого елемента ,
в) якщо
те
Побудуємо бінарне відношення на алгебрі
в такий спосіб:
тоді й тільки тоді, коли
Покажемо, що – конгруенція на
. Нехай
для . Тоді
Тому що – конгруенція, то для кожної
-арної операції
маємо
Очевидно, що
Отже,
Очевидно, що для будь-якої пари
Виходить,
Отже, по лемі 2.3, – конгруенція на
. Покажемо тепер, що
задовольняє визначенню 2.1, тобто
централізує
. Нехай
(1)
Тоді
Тому що ,
і
, те
. Отже,
задовольняє визначенню 2.1.
Якщо , то
виходить,
Нехай, нарешті, має місце (1) і
(2)
Тоді
Тому що й
, те
, отже,
. З (2) треба, що
, а за умовою
. Виходить,
і тому
Тим самим показано, що конгруенція задовольняє визначенню 2.1, тобто
централізує
.
Доведемо зворотне включення. Нехай
Тоді на алгебрі визначена конгруенція
задовольняючому визначенню 2.1. Побудуємо бінарне відношення на алгебрі
в такий спосіб:
(3)
тоді й тільки тоді, коли
(4)
і ,
.
Аналогічно, як і вище, неважко показати, що – конгруенція на алгебрі
. Помітимо, що з доведеного включення в одну сторону треба, що
. Покажемо тому, що
централізує
.
Тому що
те
тобто задовольняє умові 1) визначення 2.1.
Якщо , то
отже,
Нехай має місце (3) і .
Тому що
те
З (4) треба, що , отже,
тобто
На підставі леми 2.2 містимо, що
Отже, .
А тому що , те
, тобто
4) Позначимо . Нехай
і задовольняє визначенню 2.1.
Визначимо бінарне відношення на
в такий спосіб
тоді й тільки тоді, коли
Аналогічно, як і вище, неважко показати, що – конгруенція, що задовольняє визначенню 2.1.
Це й означає, що
Теорема доведена.
Як наслідку, з доведеної теореми одержуємо аналогічні властивості централізаторів у групах і мультікільцях.
... общин, де кожний буде зобов'язаний трудитися. М.А. Бакунін дотримувався ідей анархізму, бачивши у владі причину експлуатації. Один з феноменів російської науки - плідна розробка ідей економіко-математичного моделювання, заснована на базі як „чистих” математиків, що направили свої зусилля в економіку, так і розробок професійних економістів. Перші російські економісти-математики (Ю.Г. Жуковській, ...
0 комментариев