Определяется общее среднее (константа дискриминации) для дискриминантных функций

9. Определяется общее среднее (константа дискриминации) для дискриминантных функций

10. Выполняется распределение (дискриминация) объектов подмножества М₀ подлежащих дискриминации по обучающим выборкам М₁ и М₂. С этой целью рассчитанные и п. 7 по каждому i-му объекту значения дискриминантных функций

сравниваются с величиной общего среднего. На основе сравнения данный объект относят к одному из обучающих подмножеств.

Если , то i-й объект подмножества М₀ относят к подмножеству М₁, при >0 и к подмножеству М₂ при <0. Если же <, то заданный объект относят к подмножеству М₁, при < 0 и к подмножеству М₂ в противном случае.

11. Далее делается оценка качества распределения новых объектов, для чего оценивается вклад переменных в дискриминантную функцию.

Влияние признаков на значение дискриминантной функции и результаты классификации может оцениваться по дискриминантным множителям (коэффициентам дискриминации), по дискриминантным нагрузкам признаков или по дискриминантной матрице.

Дискриминантные множители зависят от масштабов единиц измерения признаков, поэтому они не всегда удобны для оценки.

Дискриминантные нагрузки более надежны в оценке признаков, они вычисляются как парные линейные коэффициенты корреляции между рассчитанными уровнями дискриминантной функции F и признаками, взятыми для ее построения.

Дискриминантная матрица характеризует меру соответствия результатов классификации фактическому распределению объектов по подмножествам и используется для оценки качества анализа. В этом случае дискриминантная функция F формируется по данным объектов (с измеренными p признаками) обучающих подмножеств, а затем проверяется качество этой функции путем сопоставления фактической классовой принадлежности объектов с той, что получена в результате формальной дискриминации.

3.  ПРИМЕРЫ ДИСКРИМИНАНТНОГО АНАЛИЗА

 

3.1 Применение дискриминантного анализа при наличии двух обучающих выборок (q=2)

Имеются данные по двум группам промышленных предприятий отрасли: Х₁ - среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн. д.ед.; Х₂ — среднесписочная численность персонала, тыс. чел.; Х₃ — балансовая прибыль млн. д.ед.

Исходные данные представлены в таблице 2.

Таблица 2

Номер группы Mk (k =1, 2)	Номер предприятия, i (i = 1, 2, ..., nk)	Свойства (показатель), j (j = 1, 2, ..., p)
		Х1		Х2	Х3
Группа 1, M1 (k = 1)	1	224,228		17,115	22,981
	2	151,827		14,904	21,481
	3	147,313		13,627	28,669
	4	152,253		10,545	10,199
Группа 2, M2 (k = 2)	1	46,757		4,428	11,124
	2	29,033		5,51	6,091
	3	52,134		4,214	11,842
	4	37,05		5,527	11,873
	5	63,979		4,211	12,860
Группа предприятий M0, подлежащих дискриминации	1	55,451	9,592		12,840
	2	78,575	11,727		15,535
	3	98,353	17,572		20,458

Необходимо провести классификацию (дискриминацию) трех новых предприятий, образующих группу М₀ с известными значениями исходных переменных.

Решение:

1. Значения исходных переменных для обучающих подмножеств M₁ и M₂ (групп предприятий) записываются в виде матриц X⁽¹⁾ и X⁽²⁾ :

 

и для подмножества M₀ группы предприятий, подлежащих классификации в виде матрицы X⁽⁰⁾:

Общее количество предприятий, составляющих множество М, будет равно N = 3+4+5 = 12 ед.

2. Определяются элементы векторов средних значений по j признакам для i-х объектов по каждой k-й выборке (k = 1, 2), которые представляются в виде двух векторов (по количеству обучающих выборок):

3. Для каждого обучающего подмножества M₁ и M₂ рассчитываются ковариационные матрицы S_k (размером р×р):

4. Рассчитывается объединенная ковариационная матрица:

5. Рассчитывается матрица обратная к объединенной ковариационной матрице:

6. Рассчитываются дискриминантные множители (коэффициенты дискриминантной функции) по всем элементам обучающих подмножеств:

7. Для каждого i-го объекта k-го подмножества М определяется значение дискриминантной функции:

 

F₁⁽¹⁾=0,104743×224,228+2,046703×17,115+(-0,13635)×22,981=55,38211;

F₂⁽¹⁾=0,104743×151,827+2,046703×14,904+(-0,13635)×21,481=43,47791;

F₃⁽¹⁾=0,104743×147,313+2,046703×13,627+(-0,13635)×28,669=39,41138;

F₄⁽²⁾=0,104743×152,253+2,046703×10,545+(-0,13635)×10,199=36,13924;

F₁⁽²⁾=0,104743×46,757+2,046703×4,428+(-0,13635)×11,124=12,44351;

………………………………………………………………………………..

F₅⁽²⁾=0,104743×63,979+2,046703×4,211+(-0,13635)×12,860=13,56655.

8. По совокупности найденных значений F^(k) рассчитываются средние значения для каждого подмножества M_k:

9. Определяется общее среднее (константа дискриминации) для дискриминантных функций:

10. Выполняется распределение объектов подмножества М₀ по обучающим подмножествам М₁ и М₂, для чего по каждому объекту (i = 1, 2, 3) рассчитываются дискриминантные функции:

F₁⁽⁰⁾=0,104743×55,451+2,046703×9,592+(-0,13635)×12,840=23,68661

F₂⁽⁰⁾=0,104743×78,575+2,046703×11,727+(-0,13635)×15,535=30,11366

F₃⁽⁰⁾=0,104743×98,353+2,046703×17,572+(-0,13635)×20,458=23,68661

Затем рассчитанные значения дискриминантных функций F⁽⁰⁾ сравниваются с общей средней F=28,3556.

Поскольку , то i-й объект подмножества М₀ относят к подмножеству М₁ при> 0 и к подмножеству М₂ при <0. С учетом этого в данном примере предприятия 2 и 3 подмножества М₀ относятся к М₁, а предприятие 1 относится к М₂.

Если бы выполнялось условие , то объекты М₀ относились к подмножеству М₁, при  и к подмножеству М₂ в противном случае.

11. Оценку качества распределения новых объектов выполним путем сравнения с константой дискриминации F значений дискриминантных функций F_i^(k)=обучающих подмножеств М₁ и М₂. Поскольку для всех найденных значений выполняются неравенства, и , то можно предположить о правильном распределении объектов и уже существующих двух классах и верно выполненной классификации объектов подмножества М₀.