Рух механічної системи із двома ступенями волі

Курсова робота з теоретичної механіки:

«Рух механічної системи із двома ступенями волі»

Зміст

Введення

1. Вихідні дані

2. Дослідження відносного руху матеріальної крапки

3. Застосування загальних теорем динаміки до дослідження руху механічної системи

3.1 Складання рівняння руху твердого тіла за допомогою теореми про зміну кінетичного моменту

3.2 Визначення закону зміни зовнішнього моменту, що забезпечує сталість кутової швидкості

4. Визначення реакцій в опорах обертового тіла

5. Дослідження руху механічної системи із двома ступенями волі за допомогою рівнянь Лагранжа II роду

5.1 Складання рівнянь руху системи методом Лагранжа

5.2 Одержання диференціального рівняння відносного руху матеріальної крапки

5.3 Визначення закону зміни зовнішнього моменту, що забезпечує сталість кутової швидкості

6. Визначення положень рівноваги механічної системи й дослідження їхньої стійкості

Висновок

Список джерел

Введення

Вивчення теоретичної механіки як однієї з фундаментальних фізико-математичних дисциплін відіграє важливу роль у підготовці фахівців з механіко-математичних і інженерних механічних напрямків. Воно дозволяє майбутнім фахівцям не тільки одержати глибокі знання про природу, але й виробляє в них необхідні навички для рішення складних наукових і технічних задач, для яких потрібне побудова математичних моделей різноманітних механічних систем, розвиває здатності до наукових узагальнень і висновків.

Для закріплення навичок самостійного рішення задач механіки студенти виконують курсову роботу, у якій необхідно провести комплексний аналіз руху системи із двома ступенями волі, користуючись різними методами теоретичної механіки.

Теоретична механіка, як частина природознавства, що використовує математичні методи, має справа не із самими матеріальними об'єктами, а їхніми математичними моделями. Такими моделями є матеріальні крапки, системи матеріальних крапок, тверді тіла й суцільне середовище. У курсовій роботі розглядаються найпростіші системи, які складаються із твердих тіл, що роблять найпростіші рухи, і матеріальної крапки, що переміщається по тілу.

1. Вихідні дані

Суцільний рівносторонній трикутник  зі стороною , що має масу  обертається навколо шарніра . У крапці  – середині каналу , на пружині твердістю  закріплена кулька масою . При обертанні трикутника кулька може робити коливальні рухи уздовж каналу .

Малюнок 1.1. Схема механічної системи

2. Дослідження відносного руху матеріальної крапки

Рух матеріальної крапки в рухливій системі відліку описується диференціальним рівнянням відносного руху:

 (1.1)

Тут  – відносне прискорення матеріальної крапки;  – сума всіх зовнішніх і внутрішніх сил;  і  – переносна й кориолисова сили інерції відповідно.

Зв'яжемо рухливу систему відліку  з  кулькою, що рухається уздовж каналу. Вісь  проведемо уздовж каналу, причому зростання координати  спрямовано з рухом кульки щодо трубки; а вісь  направимо перпендикулярно їй. Обертання трикутника  разом із системою координат  навколо шарніра є переносним рухом для кульки. Відносним рухом є його переміщення уздовж каналу .

Диференціальне рівняння руху (2.1) для даної системи прийме вид:

 (2.2)

Малюнок 2.1. Дослідження відносного руху матеріальної крапки

Абсолютні значення сил:

;

, де ;

 – при постійній кутовій швидкості обертання , тоді , де  – радіус обертання кульки навколо шарніра ;

, тому що кут між відносною й кутовою швидкостями прямій, звідси , а напрямок визначається за правилом Жуковського.

Візьмемо проекцію диференціального рівняння відносного руху (2.2) на координатну вісь  рухливої системи координат:

 (2.3)

Радіус переносного обертання кульки:

 (2.4)

З урахуванням значень сил і формули (2.4), рівняння (2.3) приймає вид:

Звідси одержуємо значення реакції зв'язку :

 (2.5)

Тепер проектуємо диференціальне рівняння (2.2) на координатну вісь :

 (2.6)

При підстановці відомих значень одержимо:

 (2.7)

Приведемо (2.7) до наступного виду:

 (2.8)

Тут  – це власна частота. Для знаходження залежності  вирішимо дане рівняння.

 – рішення шуканого диференціального рівняння буде складатися із загального рішення відповідного однорідного рівняння  й будь-якого приватного рішення .

Загальне рішення маєте вигляд:  (2.9).

Знайдемо приватне рішення рівняння (2.8), воно буде мати вигляд: . Перша й друга похідні: , .

Підставляючи частка рішення і його похідні в (2.8), одержимо:

Знаходимо значення постійних коефіцієнтів: , .

 (2.10)

Тоді, виходячи з (2.9) і (2.10), рішення вихідного диференціального рівняння:

Для визначення констант інтегрування, використовуємо початкові умови:

,  або ; звідки .

,  або , звідки .

Підставивши значення  й , і згрупувавши доданки, одержимо диференціальні рівняння відносного руху кульки і його швидкості:

 (2.11)

Тут , , , , .