Показники якості вирішення задачі обробки сигналів

2. Показники якості вирішення задачі обробки сигналів

Показник середнього ризику. У задачах перевірки гіпотез ,  має бути задана матриця втрат . При цьому припускаються відомими ймовірності гіпотез – .

Середній ризик вводиться як математичне сподівання матриці втрат:

,

де  – символ математичного сподівання.

Враховуючи, що імовірності  можна обчислити через функцію правдоподібності

,

остаточно маємо

. (2)

 

Показник середньої імовірності похибки. Середній ризик враховує як похибки, коли номер рішення  не збігається з номером істинної гіпотези , так і правильні рішення, коли . В окремому випадку, якщо матриця втрат проста – , де  – символ Кронекера, з (2) одержуємо ймовірність середньої похибки

. (3)

Замість  можна використовувати еквівалентний показник якості – ймовірність правильного рішення

. (4)

 

Показник апостеріорної ймовірності гіпотези. Матриця втрат  – це додаткова апріорна інформація, що може бути не задана. У цьому разі раціонально вибрати критерій, в якому вона не фігурує. Це може бути апостеріорна ймовірність гіпотези , що обчислюється за формулою Байєса:

. (5)

Використовують й інші показники якості. Досить часто (особливо в задачах оцінювання параметрів) за критерій якості приймають саму функцію правдоподібності.

Розглянуті показники якості рішення використовують для формулювання критеріїв оптимальності рішень при розв’язанні задач обробки сигналів.

3. Критерії оптимальності рішень у задачі перевірки гіпотез

Розглянемо критерії оптимальності рішень при вирішенні задач перевірки гіпотез.

Байєсівський критерій оптимальності використовує середній ризик (2) і вимагає його мінімізації (у загальному випадку забезпечення нижньої границі):

. (6)

Рішення – це гіпотеза , що забезпечує мінімум середнього ризику. Останній шукається у множині  відображень простору спостережень  у простір рішень . Нагадаємо, що аргумент функції правдоподібності – це значення параметра  (або номер гіпотези). Тому зручно (6) записувати також у вигляді

. (7)

 

Критерій мінімуму середньої ймовірності похибки (критерій Зігерта-Котельникова або критерій ідеального спостерігача). У цьому разі використовується показник якості рішення (3). Цей критерій оптимальності вимагає мінімізації величини середньої ймовірності похибки:

, (8)

або

. (8а)

Критерій називають також критерієм „ідеального спостерігача”, тому що можна уявити собі, що деякий спостерігач задає вагову матрицю  так, що вона завжди нульова , коли приймається правильне рішення. А коли виникає похибка, він не цікавиться тим, як саме вона виникла, і завжди задає однаковий вагомий коефіцієнт .

Іноді зручніше використовувати замість  максимум імовірності правильного рішення (4):

. (9)

 

Критерій максимуму апостеріорної ймовірності. Згідно з показником якості (5) критерій оптимальності рішення задається так: серед гіпотез  вибирається такий номер „”, що забезпечується максимум у (5):

. (10)

 

Мінімаксний критерій оптимальності. Введені вище критерії по суті вимагали знання розподілу  переданого сигналу, що дає змогу ввести ймовірності гіпотез . Коли розподіл  невідомий, можна врахувати найгірший випадок – мінімізувати середній ризик в умовах найгіршого (з точки зору величини ризику) розподілу:

. (11)

У теорії статистичних рішень доводиться, що рішення буде таке саме, якщо використовувати умовні ризики

та вимагати, щоб рішення шукалось за умови

. (11а)

Мінімаксний критерій приводить до байєсівського рішення в умовах найгіршого розподілу параметра (переданого сигналу).

Критерій оптимальності Неймана-Пірсона. Спинимося детальніше на ілюстрованому прикладі приймання сигналів амплітудної маніпуляції. Тут задається лише дві гіпотези. Гіпотезу  називають основною, а  – альтернативною. Ставиться задача перевірки гіпотези  проти альтернативи . Часто гіпотези несиметричні і зручно основну увагу приділити одній з них. Саме таку гіпотезу у математичній статистиці називають основною і позначають .

У задачі перевірки гіпотези  проти альтернативи  мають місце дві похибки – умовні ймовірності:

та

.

Ситуація, коли приймається гіпотеза  за істинної гіпотези , означає, що дійсно сигналу немає (існує тільки шум), але приймається рішення про існування сигналу. Тому  називають умовно імовірністю хибної тривоги. У математичній статистиці її називають умовною ймовірністю похибки першого роду. У разі, коли приймається гіпотеза  при істинній гіпотезі  (фізично сигнал існує), то приймається хибне рішення, що сигналу немає. Тому  називають умовною ймовірністю пропуску сигналу, у математичній статистиці її називають умовною ймовірністю похибки другого роду.

Крім імовірностей похибок  та  у задачі перевірки гіпотези  проти альтернативи  розглядають також імовірності правильних рішень

та

.

Критерій оптимальності рішення Неймана-Пірсона використовує два показники якості рішень – умовні ймовірності хибної тривоги та пропуску цілі. У класичній літературі з теорії статистичних рішень ця обставина не підкреслюється. Але на рівні сучасної теорії вибору рішень (чи оптимізації систем і пристроїв) про це треба пам’ятати.

Критерій Неймана-Пірсона вимагає знаходження рішення, що забезпечує мінімальне значення умовної ймовірності пропуску цілі

 (12)

при обмеженні умовної ймовірності хибної тривоги .

Замість (12) часто використовують умову максимізації ймовірності правильного рішення про наявність цілі:

 при обмеженні . (12а)