Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции

Содержание

Введение

1. Основные понятия о передаточных функциях БИХ-фильтров

2. Структурная схема БИХ-фильтра

3. Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции

4. Описание метода синтеза фильтра

5. Результаты синтеза

Выводы

Список используемой литературы

Введение

Непрерывно развивающаяся цифровая техника, увеличение скорости вычислений и номенклатуры выполняемых операций приводит к широкому внедрению различных методов цифровой обработки сигналов в радиоэлектронных системах. Применение этих методов позволяет во многих случаях использовать для обработки сигналов точные оптимальные алгоритмы. Такие алгоритмы были получены уже давно, исходя из статистических свойств сигналов и шумов, но их реализация в аналоговом виде была невозможна. Область применения цифровых методов неуклонно расширяется и одной из основных является цифровая фильтрация.

Фильтрацией называется процесс изменения частотного спектра сигнала в некотором желаемом направлении. Этот процесс может привести к усилению или ослаблению частотных составляющих в некотором диапазоне частот. К подавлению или выделению какой-либо частотной составляющей и т.п. Фильтрация нашла многочисленные применения, например, для подавления шума, маскирующего сигнал, для устранения искажения сигнала, для разделения двух или более различных сигналов, для разложения сигналов на частотные составляющие, для демодуляции сигналов, для преобразования дискретных сигналов в аналоговые, для ограничения полосы частот, занимаемой сигналами.

Любой аналоговый сигнал, ограниченный по частоте, можно преобразовать в дискретный, используя теорему Котельникова, проквантовать его и, получив цифровой сигнал, подвергнуть его цифровой фильтрации. Использование цифровых фильтров обусловлено следующими их преимуществами по сравнению с аналоговыми:

1.  Возможность реализации фильтров с любыми импульсными и частотными характеристиками в пределах полосы частот, обеспечиваемой преобразователями АЦП и арифметических устройств. При этом можно построить устройства, реализация которых в аналоговом виде невозможна.

2.  Отсутствие негативных факторов (инерционность энергоемких элементов, влияние паразитных связей между отдельными узлами, несогласование узлов по входному сопротивлению).

3.  Повторяемость характеристик.

4.  Высокая точность воспроизведения операторов преобразования и стабильность характеристик.

5.  Нечувствительность к изменениям внешних условий.

6.  Высокая надежность в работе.

7.  Возможность диагностики и самодиагностики.

8.  Модернизация в процессе эксплуатации.

9.  Простота осуществления устройств памяти.

10.  Малые габариты и вес.

1. Основные понятия о передаточных функциях БИХ-фильтров

Дискретным фильтром называется устройство, точно реализующее следующий алгоритм:

где ) и ) – n-е отсчеты входного и выходного сигналов фильтра соответственно, а a_jи b_l – коэффициенты. Выражение (1) представляет собой разностное уравнение.

Если коэффициенты a_jи b_lзависят только от текущего индекса n (то есть являются функция времени) и не зависят от значений {x_n} и {y_n}, то фильтр называется линейным импульсным фильтром, а уравнение (1) – линейным разностным уравнением. Если же a_jи b_l- просто постоянные коэффициенты, то фильтр называется линейным инвариантным во времени дискретным фильтром, а (1) – линейным разностным уравнением с постоянными коэффициентами.

Для вычисления y_n при n=0,1,2,3, необходимо задать начальные условия – значения y(-Дt), y(-2Дt),..., y(-MДt) и значений x(-Дt), x(-2Дt), ,x(-MДt). В дальнейшем предполагается, что заданы нулевые начальные условия.

Из выражения (1) видно, что для вычисления выходных отсчетов фильтра необходимо выполнять лишь три операции:

·  задержку (запоминание) N и M отсчетов соответственно входного и выходного сигналов;

·  умножение;

·  алгебраическое сложение.

Реализация выражения (1) с малыми погрешностями, не зависящими от температуры, влажности и т.д., возможна только с помощью цифрового устройства.

Цифровое устройство, реализующее алгоритм (1), называется цифровым фильтром. В таких фильтрах входной и выходной сигналы являются цифровыми, представленными двоичными кодами. Поскольку при цифровом представлении сигналов x_n, y_n и коэффициентов a_jи b_lиспользуется конечное число двоичных разрядов, вычисления по алгоритму (1) происходит с погрешностью. Строго говоря, цифровые фильтры представляют собой нелинейные устройства, к которым не применимы методы анализа и синтеза линейных систем. Однако количество разрядов в кодах, как правило, настолько велико, что погрешностью представления указанных величин в цифровой форме можно пренебречь и при анализе считать их точными, то есть представленными бесконечным числом двоичных разрядов. Конечность числа разрядов обычно учитывается при определении точности цифровых фильтров.

Существуют цифровые фильтры двух классов:

·  рекурсивные;

·  нерекурсивные.

Если в выражении (1) хотя бы один из коэффициентов a_jне равен нулю, то реализуемый цифровой фильтр называется рекурсивным. Если же в выражении (1) все коэффициенты a_jравны нулю, то есть то фильтр, реализующий этот алгоритм, называется нерекурсивным.

(2)

Нерекурсивный фильтр является устройством без обратной связи, а рекурсивный фильтр – устройством с обратной связью. Нерекурсивный фильтр принято называть фильтром с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтр), а рекурсивный фильтр - фильтром с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтр).

Так как в курсовой работе рассматривается синтез БИХ-фильтра, то в дальнейшем будем рассматривать только фильтры данного типа.

Анализ свойств цифровых фильтров производится в рамках теории z-преобразования, которое имеет такое же значение, как теория преобразования Лапласа при изучении аналоговых фильтров.

Передаточной функцией H(z) фильтра называется отношение z-образа выходного сигнала {y_n} к z-образу входного сигнала {x_n} при нулевых начальных условиях:

 (3)

Применив к выражению (1) z-преобразование и учтя нулевые начальные условия у_-М=у_-М+1=…=у_-1=х_-N=х_-N+1=…=x_-1=0, получим передаточную функцию рекурсивного цифрового фильтра:

 (4)

Выражение (3) можно преобразовать к следующему виду:

 (5)

Где

 

Y(z) – z-образ вспомогательного дискретного сигнала {y_n}. Из этих соотношений видно, что алгоритм работы фильтра можно задать в виде системы разностных уравнений вместо одного уравнения:

 (6)

Первое уравнение соответствует передаточной функции H₁(z), а второе – передаточной функции H₂(z).

Формы реализации рекурсивного цифрового фильтра, построенные на основании формул (1) и (5), называются прямой и канонической соответственно.

Обычно рекурсивные фильтры большого порядка (при большом М) в прямой и рекурсивной формах не реализуют, так как при этом наблюдается значительный уровень шумов на выходе, обусловленных конечной разрядностью кодов, циркулирующих в фильтре. Поэтому фильтры большого порядка реализуют в виде совокупности отдельных звеньев, каждое из которых соответствует простому разностному уравнению. Универсальным, пригодным для построения любых фильтров, является биквадратный блок с передаточной функцией

фильтр синтез передаточная функция

, (7)

где  и  - постоянные коэффициенты.

Возможны два варианта создания фильтров из отдельных биквадратных блоков: каскадная; параллельная.

Каскадной схеме соответствует разложение передаточной функции (4) на множители типа

 (8)

Реализация рекурсивного фильтра в параллельной форме соответствует представлению передаточной функции (4) в виде суммы простых дробей:

 (9)

Это выражение соответствует случаю отсутствия кратных корней в правой части (4). Каждое слагаемое реализуется в виде биквадратных блоков. Все эти блоки соединяются параллельно. Если же есть кратные корни, то может понабиться последовательное соединение биквадратных звеньев для кратных корней.