Описание метода синтеза фильтра

4. Описание метода синтеза фильтра

При разработке современных систем (в том числе и цифровых фильтров) возникает задача оптимального проектирования. Под этим термином понимается процесс разработки наилучшего, оптимального устройства (в каком-то смысле), как правило с помощью ЭВМ. Большинство методов оптимизации являются итерационными по своей природе.

Как было уже сказано, большинство методов оптимизации, в том числе и методов безусловной оптимизации, носит итерационный характер. Это значит, что начиная с какой-либо точки х₀, называемой начальным приближением, алгоритм оптимизации генерирует последовательность точек х₁, х₂,…х_n, которая в принципе должна сходиться к точке . На практике процесс генерирования точек прекращается после конечного S числа шагов. И точка  выдается в качестве приближения к точке . При этом вычисление очередной точки  называется к-той итерацией, а точку  - к-ым приближением.

Вектор  называется к-тым шагом. Отсюда , к=0,1,2…

В основу всех методов оптимизации положено следующее правило: значение целевой функции от итерации к итерации должно убывать. То есть должно выполняться следующее условие:

Данное условие называется условием спуска.

Методы оптимизации, которые удовлетворяют этому условию, называются допустимыми или методами спуска. Основу всех методов спуска составляет следующая модельная схема:

1.  к=0, выбирается начальное приближение ;

2.  Проверяются критерий останова. Если критерий выполняется, то расчеты прекращаются и точка  выдается как приближение . В противном случае осуществляется переход к следующему пункту.

3.  Рассчитывается ненулевой n-мерный вектор , называемый направлением поиска или направлением шага.

4.  Вычисляется малое положительное число  (длина шага) такое, что должно выполняться условие спуска:

5.  Выполнение к-той итерации , к=к+1 и происходит переход к пункту 2.

Шаг 4 в модельной схеме предполагает решение задачи одномерной минимизации – нахождение длины шага h_k. Чтобы решить эту задачу, необходимо, чтобы вектор  был допустимым направлением поиска или направлением спуска, условием чего является следующее выражение :  , то есть угол между вектором-градиентом и направлением поиска должен быть тупым.

В модельной схеме значение целевой функции F(x) убывает от итерации к итерации. Тем не менее монотонно убывающая последовательность {F(x)} может не сойтись к минимуму по следующим причинам:

1. Как бы хорошо не выбиралось направление , все может испортить неудачный выбор длины шага h_k, при котором величина убывания целевой функции F(x) по итерациям будет слишком быстро стремиться к нулю.

2. Решение не удастся получить, если алгоритм расчета направления поиска  выдает векторы почти касательные к линиям уровня целевой функции, где ее значение постоянно. В результате угол между вектором-градиентом и направлением поиска будет стремиться к 90 градусам, то есть их скалярное произведение будет близким к нулю.

Следовательно, для того, чтобы получить гарантированно сходящуюся последовательность в соответствии с модельной схемой необходимо, чтобы длина шага h_k обеспечивала бы существенное убывание целевой функции от итерации к итерации и, чтобы угол между вектором-градиентом и направлением поиска на каждой итерации был больше 90 градусов.

Помимо этих двух требований для обеспечения сходимости модельной схемы необходимо еще одно условие, которое накладывается на множество уровней целевой функции. Для функции F(x) и числа  множеством уровней называется совокупность всех точек, для которых справедливо выражение F() . Дополнительное условие заключается в том, чтобы данное множество L(F()) было бы ограничено и замкнуто.

Таким образом, если

·  функция F(x) непрерывна и дважды дифференцируема;

·  ее множество уровней ограничено и замкнуто;

·  функция F(x) существенно убывает от итерации к итерации и на каждом шаге угол между вектором-градиентом и направлением поиска всегда не равен 90 градусам на фиксированную положительную величину,

то алгоритм модельной схемы генерирует последовательность точек, для которых справедливо .

Сходимость такого рода называется глобальной, так как она не предполагает близости начального приближения точки  к стационарной точке .

Четвертый шаг модельной схемы предполагает вычисление длины шага, то есть скалярной величины , которая должна удовлетворять условию спуска:

Для того, чтобы выбрать , удовлетворяющий этому условию, необходимо минимизировать значение целевой функции вдоль направления  как функцию одной переменной (скалярной) h. То есть минимизировать функцию:

Чем точнее будет находиться минимум функции , тем быстрее будет сходиться алгоритм модельной схемы. С другой стороны очень точное нахождение минимума  потребует больших вычислений функции, а следовательно вычисления целевой функции.

Для нахождения минимума  используются две группы методов одномерной оптимизации:

Похожие работы

Методы расчета БИХ-фильтров

Скачать

12246

0

2

... - прототипа к ЦФ.   Применение методов оптимизации для расчета БИХ-фильтров В последние годы широкое распространение получил другой класс методов расчета БИХ-фильтров, называемых методами оптимизации. Отличительной чертой этих методов является то, что система уравнений, составленная относительно коэффициентов фильтра, не может быть решена в явной форме. Поэтому для нахождения коэффициентов ...

Основы психологии

Скачать

842354

9

0

... как философ прагматистского направления, социолог и социальный психолог. Это обстоятельство обусловило важную специфическую особенность интеракционизма: в отличие от других теоретических подходов в социальной психологии, в основе которых лежат традиционные психологические школы и направления, интеракцио-нистская ориентация пришла в социальную психологию из социологии. Понятийный аппарат и ...