Область определения функции

Федеральное агентство по образованию

Среднего профессионального образования

«Профессиональный лицей №15»

Кафедра: Станочник (металлообработка)

Контрольная работа

по курсу: «Математика»

на тему: «Область определения функции»

Выполнил студент гр. Т 102

Бахирев Я.А.

Проверил: Корнилова Н.Г.

Воткинск

2010

1. Решить неравенство

 

x² – 3x+5

x-1

 

Решение.

Для решения неравенств, правая часть которых – нуль, а левая – алгебраическая дробь, т.е., неравенств вида используем метод интервалов.

Обозначим f(x) x²-3x+5 и найдем область определения

x-1

D(f) функция f (x). Для этого определим нули знаменателя функции:

 

x-1=0, x=1, D(f)=(-; 1) (1;).

 

Найдем нули функции f (x). Для этого решим уравнение:

 

x²- 3x+5 x²-3x+5=0 (1)

x-1x-1=0 (2)

Решая уравнение (1), получим:

 

x²- 3x+5=0, D= (-3)²-4 1 5=9-20<0 – уравнение не имеет решений.

Функция f(x) непрерывна на множестве D (f) и не имеет нулей. Точка 1 разбивает область определения на промежутки знакопостоянства значений функции. Определим знак значения функции f (x) на каждом промежутке знакопостоянства.

Для этого достаточно определить знак значения функции в любой точке промежутка:

f(0) 0²-3 0+5 f (2)= 2²-3 2+5

 

0-1   2-1

Отметим, для наглядности, на рисунке промежутки знакопостоянства значений функции f (x) и запишем решения данного неравенства:

f (x) < 0 f (x)>0

f (x) > 0, x c (1;).

Ответ: (1;).

 

2. Решить неравенство

 

Log₅(3x+1)<2

 

Решение.

Используя свойства логарифмов положительных чисел

 

loga a=1
m loga b =loga bm

преобразуем неравенство к простейшему логарифмическому неравенству вида

 

loga f (x) < loga g(x)

 

Log₅(3x+1)<2, log₅(3x+1)<2log₅5, log₅(3x+1)<log₅5².

При a>1 функция y=log_at в области определения D(log_a), задаваемой неравенством t > 0, монотонно возрастает, то есть, если t₁>t₂>0, то log_a t₁ > log_a t_2. Учитывая это, запишем затем, используем формулу перехода от простейшего логарифмического неравенства к двойному неравенству:

 

Если a > 1, то Loga f(x) < loga g(x) ó 0 < f(x) < g(x)

 

log₅(3x+1) < log₅5^2, 0 < 3x + 1 < 5², -1 < 3x < 25 - 1,

11

3 < x < 8, x с 3; 8.

1

Ответ: 3; 8.

 

3. Найдите все решения уравнения

sinx cosx – v3cosx = 0, принадлежащие отрезку |0; 2 п|.

 

Решение.

Разложим на множители левую часть уравнения и, учитывая условие задачи, что x с |0; 2п|, в результате получим следующую систему:

sinx cosx – v3cosx=0, cosx(sinx-v3)=0.

|cosx=0

|sinx-v3=0

0<x<2п

Используя формулу решения простейшего тригонометрического уравнения

 

cosf(x)=0ó f(x)=п +пn, n c Z 2

Решим уравнение (1):

cosx=0, x=п+пn, n с Z

Подставляя (4) в двойное неравенство (3), получим:

0< п +пn<2п, п <пn<2п п

222, п < пn < 3п 1 < n < 3

2 п п 2 п, 2 2.

Так как n с Z, то n=0 и n =1. Подставляя n=0 и n=1

в уравнение (4), получим:

sinx=v3 – решений нет, так как - 1<sinx<1 при любых значениях x.

Ответ: п 3п

2, 2.

 

4. Найдите наименьшее значение функции

 

f(x)=3x²-18x+7 на промежутке [-5; -1].

Решение.

Функция непрерывна и дифференцируема в каждой точке промежутка |-5; -1|.

Наименьшее (и наибольшее) значения непрерывной на отрезке функции могут достигаться либо на концах отрезка, либо в критических точках, принадлежащих этому отрезку.

Найдем производную f(x) функции f(x), используя свойства производной (теоремы о дифференцировании суммы функций и о вынесении постоянного множителя за знак производной) и формулу дифференцирования степенной функции:

(f(x) +g(x)) =f (x) + g (x)
(xm) = mxm-1
C=0

f(x)=(3x²-18x+7) =3 (x²)-18 x +7=3 2x^2-1-18 x^1-1 +0=6x-18.

Для нахождения критических точек составим и решим уравнение:

f(x)=0

6x-18=0, x=3 c [-5; -1].

Так как критическая точка не принадлежит отрезку [-5; -1], то вычислим значения функции f(x) только на концах отрезка [-5; -1] и из них выберем наименьшее значение:

f(x)=3x²-18x+7,

f(-5)=3 (-5)²-18 (-5)+7=75+90+7=172,

f(-1)=3 (-1)²-18 (-1)+7=3+18+7=28.

Наименьшим из вычисленных значений функции является число 28:

min f(x)=f(-1)=28.

[-5; -1]

Ответ: min f(x)=f(-1)=28.

[-5; -1]

 

5. Найдите все функции, которые имеют одну и ту же производную: f(x)=x+5sinx

Решение.

Найдем область определения D(f) функции f(x):

D(f)=(- ~;~).

 

Все функции, имеющие производную, равную f(x), называют множеством всех первообразных F(x) функции f(x) на некотором промежутке (в данном случае, на области определения D(f)=(- ~;~)) или, как это общепринято в математике, неопределенным интегралом функции f(x) на указанном промежутке и (общепринято) обозначают:

 

| f(x)dx=F(x)+C

Используя свойства неопределенного интеграла

 

|(f(x) + g(x)) dx= |f(x) dx + |g(x)dx
|af(x) dx=a|f(x)dx

и таблицу неопределённых интегралов

 

xm+1 | xmdx=m+1 + C, где m= -1
|sinx dx= -cosx + C

получим:

 

F(x)=| f(x) dx = | (x+5sinx) dx= |xdx + 5| sinx dx= 1+1 + 5 (- cosx) + C=2 -5cosx + C.

x¹⁺¹ x²

 

Ответ: F(x) = 2 -5cosx + C.