Если необходимо, чтобы зависимость имела непрерывные производные, пользуются сплайнами

4. Если необходимо, чтобы зависимость имела непрерывные производные, пользуются сплайнами.

Сплайн (от англ. spline – рейка) – функция, являющаяся алгебраическим многочленом на каждом отрезке  и непрерывная во всей области вместе со своими производными. Чаще всего пользуются сплайнами третьей степени. Соответствующая зависимость показана на рис. 3.2 курсивом.

Рис. 3.2.

5. При однофакторном эксперименте, когда имеются результаты многократных измерений со случайной погрешностью (см. параграф 2.2 настоящего пособия), проведение зависимости через все экспериментальные точки бессмысленно. Чаще всего в этом случае для построения функциональной зависимости пользуются методом наименьших квадратов (МНК).

Построение функциональной зависимости при помощи метода наименьших квадратов. Данный метод используется тогда, когда число точек i (узлов) велико и построение плавной зависимости

 (3.1.3)

проходящей через все точки  невозможно из-за большого разброса значений. Функция (3.1.3) называется уравнением регрессии y на x. Пусть приближенная функция, описывающая  зависит от трех параметров  Эта функция не будет проходить через все точки с координатами  тогда можно найти сумму квадратов разностей

 (3.1.4)

Задача сводится к отысканию минимума , т.е. к решению системы уравнений

 А именно

(3.1.5)

Решив систему (3.1.5) относительно параметров a, b, c находим конкретный вид искомой функции.

Приближающая (приближенная) функция может иметь любой вид: линейная зависимость, парабола, синусоида и т.д. Чаще всего используются алгебраические многочлены не выше третьего порядка. В большинстве случаев анализируется линейная регрессия, когда

 (3.1.6)

Главная особенность регрессионного анализа состоит в том, что регрессия y на x не соответствует регрессии x на y (см. рис. 3.3).

Рис. 3.3.

Поясним это свойство регрессионных зависимостей. Пусть формула регрессии имеет вид (3.1.6), приведем ее обратную функцию:

 (3.1.7)

Обратим внимание, что в (3.1.7) свободный член  зависит от коэффициента наклона a прямой зависимости (3.1.6). При построении же регрессии прямая проходит приблизительно через середину области, охватывающей экспериментальные точки и ее наклон определяется отношением разброса значений по осям x и y (пересечение функций  и  находится в середине области экспериментальных значений). Таким образом, регрессия x(y), построенная по экспериментальным данным, не будет совпадать с (3.1.7) из-за наличия свободного члена.

Рис. 3.4

Графически это поясняется на рис. 3.4, где по трем экспериментальным точкам построены регрессии y(x) и x(y), которые не совпадают. Для минимизации СКО трех экспериментальных точек от прямой, зависимость должна проходить через одну из них и в середине между двумя другими точками. Как видно из рис. 3.4, линейные регрессии, построенные из этих соображений пресекаются в центре области экспериментальных значений и имеют разный наклон.

Быстрые методы построения функциональных зависимостей

Задача выбора вида функциональной зависимости – задача неформализуемая, так как одна и та же экспериментальная зависимость может быть описана разными аналитическими выражениями приблизительно с одинаковой точностью. Например, U – образная кривая может быть описана как параболой, так и куском синусоиды.

Основное требование к математической модели – компактность и удобство использования, потому чаще всего пользуются алгебраическими многочленами, экспоненциальными и тригонометрическими функциями. Другое требование – интерпретируемость. Например, если экспериментальная зависимость описывает изменение амплитуды затухающих колебаний, то функциональная зависимость может быть построена в виде  или  В этом случае, из знания природы зависимости (теоретической модели затухающих колебаний), будет выбрана экспоненциальная зависимость .

Погрешность в выборе функциональной зависимости называется погрешностью адекватности модели. Для ее устранения надо рассматривать теоретическую модель описываемого явления или процесса.

Быстрые методы установления графического вида однофакторных зависимостей. Простейший экспресс-метод статистической обработки – метод контура (рис. 3.5, а, б).

Его суть – обведение экспериментальных точек плавными границами. Требование плавности подразумевает, что некоторые точки могут оказаться вне контура (рис. 3.5, а). Метод контура можно использовать тогда, когда разброс экспериментальных точек не слишком велик (рис. 3.5, б).

а б в

Рис. 3.5

На рисунке 3.5, в показано построение экспериментальной зависимости более строгим экспресс-методом, – методом медианных центров. Для этого область экспериментальных данных разбивается вертикальными линиями на несколько областей (в данном случае – три области), в каждой из которых находится равное количество экспериментальных точек. Медианными центрами каждой из этих областей по координате x являются точки, справа и слева от которых находится равное количество экспериментальных отсчетов. Найдя таким образом координаты  медианных центров, аналогичным образом в каждой области находят их вертикальные координаты  выше и ниже которых находилось бы равное количество точек. Затем по точкам с координатами  строится плавная экспериментальная кривая. Необходимо помнить, что координаты () медианных центров не совпадают со средними значениями экспериментальных данных.

Связь коэффициента линейной регрессии, коэффициента корреляции и относительной погрешности. Пусть по результатам однофакторного эксперимента строится линейная регрессия  тогда из системы (3.1.5) следует:

  (3.2.1)

С другой стороны коэффициент корреляции, характеризующий связь между  и , по определению

 (3.2.2)

Сопоставляя (3.2.1) и (3.2.2), найдем связь между коэффициентом регрессии a и коэффициентом корреляции R:

 (3.2.3)

где  – среднеквадратичные отклонения  и  Таким образом, коэффициент корреляции связан с разбросом значений по осям x, y и определяет возможную степень отклонения линии регрессионной зависимости по наклону. Пусть величина  фиксирована,

Рис. 3.6

тогда возможное отклонение по оси y от среднего значения  составляет  где  среднеквадратичное отклонение от линии регрессии (см. рис. 3.6). В связи с этим, учитывая (3.2.3), коэффициент корреляции очень часто определяют как

 (3.2.4)

где  – ширина полосы погрешностей по y;  – разброс значений  который определяется диапазоном изменения величины .

Поскольку в практических случаях  то формулу (3.2.4) с учетом приближенного разложения до первого члена в ряд Тейлора приводят к виду

 (3.2.5)

Где  приведенная погрешность. Таким образом, в большинстве практических случаев связь между коэффициентом корреляции и приведенной погрешностью может быть установлена при помощи простейшей приближенной формулы (3.2.5).

Быстрая оценка коэффициента корреляции исходных данных. Быструю оценку коэффициента корреляции и погрешности исходных данных можно провести также методом медианных центров (рис. 3.7).

Разобьем поле экспериментальных точек вертикальной чертой на две равные по числу точек области ( точек). В левой и правой частях найдем медианные центры. Проведенная через эти медианные центры, обозначенные звездочкой, прямая a регрессия y на x Теперь разобьем экспериментальную область на равное количество точек по вертикали горизонтальной чертой и, после нахождения соответствующих медианных центров, получим прямую b – регрессию x на y. Прямые a и b совпадут только в том случае, когда коэффициент корреляции между  и  равен единице, то есть R = 1.

Рис. 3.7

По различию прямых a и b можно с учетом (3.2.3) оценить коэффициент корреляции:

 (3.2.6)

где  определяется отношением углов их наклона. Для быстрой оценки относительной погрешности подставим величину R из (3.2.6) в обращенную формулу (3.2.5):

 (3.2.7)

Таким образом, быстрая оценка коэффициента корреляции и значения относительной погрешности основывается на том, что прямые a и b обязательно проходят через точку пересечения границ О. При этом, чем выше разброс экспериментальных данных (невытянутая область), тем больше будет угол между прямыми a и b.

При построении регрессионных зависимостей методом медианных центров, необходимо помнить, что полученные линии регрессии в общем случае отличаются от соответствующих зависимостей, полученных при помощи МНК. Их различия будут уменьшаться при увеличении количества экспериментальных точек, если разброс экспериментальных данных подчиняется нормальному закону распределения.

Классификация погрешностей измерений

 

Погрешность средств измерения и результатов измерения. В первую очередь погрешность измерений следует разделить на погрешность средств измерений и погрешность результатов измерений.

Погрешности средств измерений – отклонения метрологических свойств или параметров средств измерений от номинальных, влияющие на погрешности результатов измерений (создающие так называемые инструментальные ошибки измерений).

Погрешность результата измерения – отклонение результата измерения х изм. от действительного (истинного) значения измеряемой величины  определяемая по формуле  – погрешность измерения.

В свою очередь погрешности средств измерений можно разделить на инструментальную и методическую погрешности.

Инструментальные и методические погрешности. Методическая погрешность обусловлена несовершенством метода измерений или упрощениями, допущенными при измерениях. Так, она возникает из-за использования приближенных формул при расчете результата или неправильной методики измерений. Выбор ошибочной методики возможен из-за несоответствия (неадекватности) измеряемой физической величины и ее модели.

Причиной методической погрешности может быть не учитываемое взаимное влияние объекта измерений и измерительных приборов или недостаточная точность такого учета. Например, методическая погрешность возникает при измерениях падения напряжения на участке цепи с помощью вольтметра, так как из-за шунтирующего действия вольтметра измеряемое напряжение уменьшается. Механизм взаимного влияния может быть изучен, а погрешности рассчитаны и учтены.

Инструментальная погрешность обусловлена несовершенством применяемых средств измерений. Причинами ее возникновения являются неточности, допущенные при изготовлении и регулировке приборов, изменение параметров элементов конструкции и схемы вследствие старения. В высокочувствительных приборах могут сильно проявляться их внутренние шумы.

Статическая и динамическая погрешности. Статическая погрешность измерений – погрешность результата измерений, свойственная условиям статического измерения, то есть при измерении постоянных величин после завершения переходных процессов в элементах приборов и преобразователей.

Динамическая погрешность измерений – погрешность результата измерений, свойственная условиям динамического измерения. Динамическая погрешность появляется при измерении переменных величин и обусловлена инерционными свойствами средств измерений.

Статические и динамические погрешности относятся к погрешностям результата измерений. В большей части приборов статическая и динамическая погрешности оказываются связаны между собой, поскольку соотношение между этими видами погрешностей зависит от характеристик прибора и характерного времени изменения величины. Более подробно соотношение между этими погрешностями рассмотрено в главе 4, где описаны виды регистрирующей аппаратуры.

Систематические и случайные погрешности. Систематическая погрешность измерения – составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же физической величины. Систематические погрешности являются в общем случае функцией измеряемой величины, влияющих величин (температуры, влажности, напряжения питания и пр.) и времени. В функции измеряемой величины систематические погрешности входят при поверке и аттестации образцовых приборов.

Случайными называют составляющие погрешности измерений, изменяющиеся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. Случайные погрешности определяются совместным действием ряда причин: внутренними шумами элементов электронных схем, наводками на входные цепи средств измерений, пульсацией постоянного питающего напряжения, дискретностью счета. Случайные погрешности будут более подробно рассмотрены в следующем параграфе данной главы.

Погрешности адекватности и градуировки. Погрешность градуировки средства измерений – погрешность действительного значения величины, приписанного той или иной отметке шкалы средства измерений в результате градуировки.

Погрешностью адекватности модели называют погрешность при выборе функциональной зависимости. Характерным примером может служить построение линейной зависимости по данным, которые лучше описываются степенным рядом с малыми нелинейными членами.

Погрешность адекватности относится к измерениям для проверки модели. Если зависимость параметра состояния от уровней входного фактора задана при моделировании объекта достаточно точно, то погрешность адекватности оказывается минимальной. Эта погрешность может зависеть от динамического диапазона измерений, например, если однофакторная зависимость  задана при моделировании параболой, то в небольшом диапазоне она будет мало отличаться от экспоненциальной зависимости. Если диапазон измерений увеличить, то погрешность адекватности сильно возрастет.

В целом в теории планирования эксперимента погрешность адекватности может иметь большое значение, поскольку в многофакторных экспериментах чаще всего рассматривается линейная зависимость параметров состояния от факторов.

Абсолютная, относительная и приведенная погрешности. Под абсолютной погрешностью понимается алгебраическая разность между номинальным и действительным значениями измеряемой величины.  – абсолютные погрешности (см. рис. 2.1). Однако в большей степени точность средства измерений характеризует относительная погрешность, т.е. выраженное в процентах отношение абсолютной погрешности к действительному значению измеряемой или воспроизводимой данным средством измерений величины.

 относительные погрешности.

Если диапазон измерения прибора охватывает и нулевое значение измеряемой величины, то относительная погрешность обращается в бесконечность в соответствующей ему точке шкалы. В этом случае пользуются понятием приведенной погрешности, равной отношению абсолютной погрешности измерительного прибора к некоторому нормирующему значению. В качестве нормирующего значения принимается значение, характерное для данного вида измерительного прибора. Это может быть, например, диапазон измерений, верхний предел измерений, длина шкалы и т.д.  – приведенные погрешности, где X и Y – диапазон изменения величин. Выбор X и Y в каждом конкретном случае разный из-за нижнего предела (чувствительности) прибора.

Рис. 2.1

Класс точности прибора – предел (нижний) приведенной погрешности.

Аддитивные и мультипликативные погрешности. Аддитивной погрешностью называется погрешность, постоянная в каждой точке шкалы.

Мультипликативной погрешностью называется погрешность, линейно возрастающая или убывающая с ростом измеряемой величины.

Различать аддитивные и мультипликативные погрешности легче всего по полосе погрешностей (рис. 2.2).

Если абсолютная погрешность не зависит от значения измеряемой величины, то полоса определяется аддитивной погрешностью (рис. 2.2, а). Иногда аддитивную погрешность называют погрешностью нуля.

а б

Рис. 2.2

Если постоянной величиной является относительная погрешность, то полоса погрешностей меняется в пределах диапазона измерений и погрешность называется мультипликативной (рис. 2.2, б).

Ярким примером аддитивной погрешности является погрешность квантования (оцифровки).

Класс точности измерений зависит от вида погрешностей. Рассмотрим класс точности измерений  для аддитивной и мультипликативной погрешностей:

-  для аддитивной погрешности:

Где X – верхний предел шкалы,  – абсолютная аддитивная погрешность.

– для мультипликативной погрешности

 – это условие определяет порог чувствительности прибора (измерений).

Абсолютная величина погрешности для обоих типов погрешностей может быть выражена одной формулой:

 (2.1.1)

Где  – аддитивная погрешность,  – мультипликативная погрешность.

Относительная погрешность с учетом (2.1.1) выражается формулой  и, при уменьшении измеряемой величины, возрастает до бесконечности. Приведенное значение погрешности

 возрастает с увеличением измеряемой величины.

Нормирование погрешности средств измерений. Кроме нормирования погрешностей в виде класса точности возникает необходимость нормировать их некоторыми особыми способами. Например, нормирование погрешности цифрового частотомера или моста для измерения сопротивлений. Особенность этих приборов состоит в том, что кроме нижнего порога чувствительности мосты для измерения сопротивлений имеют верхний порог, а для цифрового частотомера погрешность зависит не только от измеряемой величины, но и от времени измерений.

Вопрос об измерении частот и временных интервалов будет рассмотрен ниже.

Нормировка при измерении сопротивлений имеет вид:

Где  – нижний и верхний пороги измеряемых сопротивлений.

Округление погрешностей обычно осуществляется до десятичного знака, соответствующего погрешности.

Метрологические характеристики средств измерений

 

Все средства измерений, независимо от их конкретного исполнения, обладают рядом общих свойств, необходимых для выполнения ими их функционального назначения. Технические характеристики, описывающие эти свойства и оказывающие влияние на результаты и на погрешности измерений, называются метрологическими характеристиками [9,10]. Перечень важнейших из них регламентируется ГОСТ «Нормируемые метрологические характеристики средств измерений». Комплекс нормируемых метрологических характеристик устанавливается таким образом, чтобы с их помощью можно было оценить погрешность измерений, осуществляемых в известных рабочих условиях эксплуатации посредством отдельных средств измерений или совокупности средств измерений, например автоматических измерительных систем.

Одной из основных метрологических характеристик измерительных преобразователей является статическая характеристика преобразования (иначе называемая функцией преобразования или градуировочной характеристикой). Она устанавливает зависимость  информативного параметра у выходного сигнала измерительного преобразователя от информативного параметра х входного сигнала.

Статическая характеристика нормируется путем задания в форме уравнения, графика или таблицы. Понятие статической характеристики применимо и к измерительным приборам, если под независимой переменной х понимать значение измеряемой величины или информативного параметра входного сигнала, а под зависимой величиной – показание прибора.

Если статическая характеристика преобразования линейна, т.е.  то коэффициент К называется чувствительностью измерительного прибора (преобразователя). В противном случае под чувствительностью следует понимать производную от статической характеристики.

Важной характеристикой шкальных измерительных приборов является цена деления, т.е. то изменение измеряемой величины, которому соответствует перемещение указателя на одно деление шкалы. Если чувствительность постоянна в каждой точке диапазона измерения, то шкала называется равномерной. При неравномерной шкале нормируется наименьшая цена деления шкалы измерительных приборов. У цифровых приборов шкалы в явном виде нет, и на них вместо цены деления указывается цена единицы младшего разряда числа в показании прибора.

Важнейшей метрологической характеристикой средств измерений является погрешность.

Под абсолютной погрешностью меры понимается алгебраическая разность между ее номинальным  и действительным  значениями:

Под абсолютной погрешностью измерительного прибора – разность между его показанием  и действительным значением  измеряемой величины:

Абсолютная погрешность измерительного преобразователя может быть выражена в единицах входной или выходной величины. В единицах входной величины абсолютная погрешность преобразователя определяется как разность между значением входной величины X, найденной по действительному значению выходной величины и номинальной статической характеристике преобразователя, и действительным значением  входной величины:

Однако в большей степени точность средства измерений характеризует относительная погрешность, т.е. выраженное в процентах отношение абсолютной погрешности к действительному значению измеряемой или воспроизводимой данным средством измерений величины:

Обычно  поэтому в формулу вместо действительного значения часто может быть подставлено номинальное значение меры или показание измерительного прибора.

Если диапазон измерения прибора охватывает и нулевое значение измеряемой величины, то относительная погрешность обращается в бесконечность в соответствующей ему точке шкалы. В этом случае пользуются понятием приведенной погрешности, равной отношению абсолютной погрешности измерительного прибора к некоторому нормирующему значению :

В качестве нормирующего значения принимается значение, характерное для данного вида измерительного прибора. Это может быть, например, диапазон измерений, верхний предел измерений, длина шкалы и т.д.

Погрешности измерительных средств принято подразделять на статические, имеющие место при измерении постоянных величин после завершения переходных процессов в элементах приборов и преобразователей, и динамические, появляющиеся при измерении переменных величин и обусловленные инерционными свойствами средств измерений.

Согласно общей классификации, статические погрешности измерительных средств делятся на систематические и случайные.

Систематические погрешности являются в общем случае функцией измеряемой величины, влияющих величин (температуры, влажности, напряжения питания и пр.) и времени. В функции измеряемой величины систематические погрешности находят при поверке и аттестации образцовых приборов, например, измерением наперед заданных значений измеряемой величины в нескольких точках шкалы. В результате строится кривая или создается таблица погрешностей, которая используется для определения поправок. Поправка в каждой точке шкалы численно равна систематической погрешности и обратна ей по знаку, поэтому при определении действительного значения измеряемой величины поправку следует прибавить к показанию прибора. Так, если поправка к показанию динамометра 120 Н равна +0.6 Н, то действительное значение измеряемой силы составляет 120+0.6=120.6 Н. Удобнее пользоваться поправкой, чем систематической погрешностью, поэтому приборы чаще снабжают кривыми или таблицами поправок.

Систематическую погрешность в функции измеряемой величины можно представить в виде суммы погрешности схемы, определяемой самой структурной схемой средства измерений, и технологических погрешностей, обусловленных погрешностями изготовления его элементов.

Как те, так и другие виды погрешностей можно рассматривать в качестве систематических лишь при измерении постоянной величины с помощью одного экземпляра измерительного прибора. В массе же измерений различных значений физической величины, осуществляемых одним или многими приборами того же типоразмера, эти систематические погрешности приходится относить к классу случайных.

Между погрешностями схемы и технологическими погрешностями средств измерений существует принципиальная разница. Если первые накладывают свой отпечаток на характер изменения по шкале суммарной погрешности всех средств измерений данного типоразмера, то технологические погрешности индивидуальны для каждого экземпляра, т.е. их значения в одних и тех же точках шкалы различны для различных экземпляров приборов. На рис. 15, а показано взаимное положение статических характеристик реального  и идеального приборов при наличии только погрешностей схемы. Технологические погрешности в большой степени искажают эту картину.

Результатом их проявления является:

а) поступательное смещение статической характеристики относительно характеристики идеального прибора и возникновение погрешности, постоянной в каждой точке шкалы; эта погрешность называется аддитивной (рис. 15, б);

б) поворот статической характеристики и появление погрешности, линейно возрастающей или убывающей с ростом измеряемой величины и называемой мультипликативной погрешностью (рис. 15, в);

в) нелинейные искажения статической характеристики (рис. 15, г);

г) появление погрешности обратного хода, выражающейся в несовпадении статических характеристик прибора при увеличении и уменьшении измеряемой величины (рис. 15, д).

Динамические погрешности обусловливаются инерционными свойствами средств измерений и появляются при измерении переменных во времени величин. Типичным случаем является измерение с регистрацией сигнала, изменяющегося со временем. Если и  – сигналы на входе и на выходе средства измерений с чувствительностью К, то динамическая погрешность

Для средств измерений, являющихся линейными динамическими системами с постоянными во времени параметрами, наиболее общая характеристика динамических свойств – это дифференциальное уравнение. В этом случае уравнение линейное с постоянными коэффициентами:

где  и  – i-e и j-e производные входного и выходного сигналов;  и  – постоянные коэффициенты, n и m – порядок левой и правой частей уравнения, причем n < m. Дифференциальное уравнение является метрологической характеристикой средств измерения, поскольку позволяет при известном сигнале на входе x(t) найти выходной сигнал y(t) и после подстановки их в выражение вычислить динамическую погрешность.

Для нормирования динамических свойств средств измерения часто указывают на дифференциальное уравнение, а другие, производные от него динамические характеристики, находятся экспериментальным путем. Сюда относятся передаточная функция, амплитудная и фазовая частотные характеристики, переходная и импульсная переходная функции.

К числу метрологических характеристик средств измерения относятся и неинформативные параметры выходного сигнала измерительного преобразователя, поскольку они могут оказывать существенное влияние на погрешность средства измерений. Например, непостоянство амплитуды колебаний баланса наручных часов (неинформативный параметр) приводит к изменению частоты его колебаний (информативный параметр).

При восприятии измеряемой величины или измерительного сигнала средство измерений оказывает некоторое воздействие на объект измерения или на источник сигнала. Результатом этого воздействия может быть некоторое изменение измеряемой величины относительно того значения, которое имело место при отсутствии средства измерений. Такое обратное воздействие средства измерений на объект измерений особенно четко просматривается при измерении электрических величин. Так, ЭДС нормального элемента определяется как напряжение на его зажимах в режиме холостого хода. При измерении этого напряжения вольтметром с некоторым конечным входным сопротивлением результат измерения будет зависеть от соотношения между внутренним сопротивлением нормального элемента (его выходное сопротивление) и входным сопротивлением вольтметра. Для оценки возникающей при этом погрешности необходимо знать значения этих сопротивлений, поэтому их следует рассматривать как метрологические характеристики.

Влияние внешних воздействий и неинформативных параметров сигналов (влияющих величин) описывается с помощью метрологических характеристик, называемых функциями влияния.

Функция влияния  – это зависимость соответствующей метрологической характеристики из числа вышеперечисленных от влияющих величин  (температуры внешней среды, параметров внешних вибраций и т.д.). В большинстве случаев можно ограничиться набором функций влияния каждой из влияющих величин  но иногда приходится использовать функции совместного влияния нескольких величин, если изменение одной из влияющих величин приводит к изменению функции влияния другой.

Нормирование метрологических характеристик средств измерений

 

Под нормированием понимается установление границ на допустимые отклонения реальных метрологических характеристик средств измерений от их номинальных значений. Только посредством нормирования метрологических характеристик можно добиться их взаимозаменяемости и обеспечить единство измерений в государстве. Реальные значения метрологических характеристик определяют при изготовлении средств измерений и затем проверяют периодически во время эксплуатации. Если при этом хотя бы одна из метрологических характеристик выходит за установленные границы, то такое средство измерений либо подвергают регулировке, либо изымают из обращения [11].

Нормы на значения метрологических характеристик устанавливаются стандартами на отдельные виды средств измерения. При этом делается различие между нормальными и рабочими условиями применения средств измерения.

Нормальными считаются такие условия применения средств измерений, при которых влияющие на процесс измерения величины (температура, влажность, частота, напряжение питания, внешние магнитные поля и т.д.), а также неинформативные параметры входных и выходных сигналов находятся в нормальной для данных средств измерений области значений, т.е. в такой области, где их влиянием на метрологические характеристики можно пренебречь. Нормальные области значений влияющих величин указываются в стандартах или технических условиях на средства измерений данного вида в форме номиналов с нормированными отклонениями, например, температура должна составлять 20±2 °С, напряжение питания – 220 В±10% или в форме интервалов значений (влажность 30 – 80%).

Рабочая область значений влияющих величин шире нормальной области значений. В ее пределах метрологические характеристики существенно зависят от влияющих величин, однако их изменения нормируются стандартами на средства измерений в форме функций влияния или наибольших допустимых изменений. За пределами рабочей области метрологические характеристики принимают неопределенные значения.

Для нормальных условий эксплуатации средств измерений должны нормироваться характеристики суммарной погрешности и ее систематической и случайной составляющих. Суммарная погрешность  средств измерений в нормальных условиях эксплуатации называется основной погрешностью и нормируется заданием предела допускаемого значения  т.е. того наибольшего значения, при котором средство измерений еще может быть признано годным к применению.

Перечисленные выше метрологические характеристики следует нормировать не только для нормальной, но и для всей рабочей области эксплуатации средств измерений, если их колебания, вызванные изменениями внешних влияющих величин и неинформативных параметров входного сигнала в пределах рабочей области, существенно меньше номинальных значений. В противном случае эти характеристики нормируются только для нормальной области, а в рабочей области нормируются дополнительные погрешности путем задания функций влияния  или наибольших допустимых изменений  раздельно для каждого влияющего фактора; в случае необходимости – и для совместного изменения нескольких факторов. Функции влияния нормируются формулой, числом, таблицей или задаются в виде номинальной функции влияния и предела допускаемых отклонений от нее.

Для используемых по отдельности средств измерений, точность которых заведомо превышает требуемую точность измерений, нормируются только пределы  допускаемого значения суммарной погрешности и наибольшие допустимые изменения метрологических характеристик. Если же точность средств измерений соизмерима с требуемой точностью измерений, то необходимо нормировать раздельно характеристики систематической и случайной погрешности и функции влияния. Только с их помощью можно найти суммарную погрешность в рабочих условиях применения средств измерений.

Динамические характеристики нормируются путем задания номинального дифференциального уравнения или передаточной, переходной, импульсной весовой функции. Одновременно нормируются наибольшие допустимые отклонения динамических характеристик от номинальных.

Класс точности – это обобщенная характеристика средств измерений, определяемая пределами допускаемых основных и дополнительных погрешностей, а также рядом других свойств, влияющих на точность осуществляемых с их помощью измерений. Классы точности регламентируются стандартами на отдельные виды средств измерения с использованием метрологических характеристик и способов их нормирования, изложенных в предыдущих главах.

Стандарт не распространяется на средства измерений, для которых предусматриваются раздельные нормы на систематическую и случайные составляющие, а также на средства измеререний, для которых нормированы номинальные функции влияния, а измерения проводятся без введения поправок на влияющие величины. Классы точности не устанавливаются и на средства измерений, для которых существенное значение имеет динамическая погрешность.

Для остальных средств измерений обозначение классов точности вводится в зависимости от способов задания пределов допускаемой основной погрешности.

Пределы допускаемой абсолютной основной погрешности могут задаваться либо в виде одночленной формулы

либо в виде двухчленной формулы

где  и X выражаются дновременно либо в единицах измеряемой величины, либо в делениях шкалы измерительного прибора.

Более предпочтительным является задание пределов допускаемых погрешностей в форме приведенной или относительной погрешности.

Пределы допускаемой приведенной основной погрешности нормируются в виде одночленной формулы

где число (n = 1, 0, -1, -2…).

Пределы допускаемой относительной основной погрешности могут нормироваться либо одночленной формулой

либо двухчленной формулой

где  – конечное значение диапазона измерений или диапазона значений воспроизводимой многозначной мерой величины, а постоянные числа q, с и d выбираются из того же ряда, что и число р.

В обоснованных случаях пределы допускаемой абсолютной или относительной погрешности можно нормировать по более сложным формулам или даже в форме графиков или таблиц.

Средствам измерений, пределы допускаемой основной погрешности которых задаются относительной погрешностью по одночленной формуле, присваивают классы точности, выбираемые из ряда чисел р и равные соответствующим пределам в процентах. Так для средства измерений с  класс точности обозначается

Если пределы допускаемой основной относительной погрешности выражаются двухчленной формулой (94), то класс точности обозначается как c/d, где числа с и d выбираются из того же ряда, что и р, но записываются в процентах. Так, измерительный прибор класса точности  характеризуется пределами допускаемой основной относительной погрешности

Классы точности средств измерений, для которых пределы допускаемой основной приведенной погрешности нормируются по формуле (92), обозначаются одной цифрой, выбираемой из ряда для чисел р и выраженной в процентах. Если, например,  то класс точности обозначается как 0.5 (без кружка).

Классы точности обозначаются римскими цифрами или буквами латинского алфавита для средств измерений, пределы допускаемой погрешности которых задаются в форме графиков, таблиц или сложных функций входной, измеряемой или воспроизводимой величины. К буквам при этом допускается присоединять индексы в виде арабской цифры. Чем меньше пределы допускаемой погрешности, тем ближе к началу алфавита должна быть буква и тем меньше цифра. Недостатком такого обозначения класса точности является его чисто условный характер.

В заключение следует отметить, что никакое нормирование погрешностей средств измерений само по себе не может обеспечить единства измерений. Для достижения единства измерений необходима регламентация самих методик проведения измерений.

Список литературы

1.  Новицкий П.В., Зограф Э.Н. Оценка погрешностей измерений. – Л.: Энергия, 1983, 380 с.

2.  Электрические измерения неэлектрических величин // Под ред. П.В. Новицкого. 5-е изд., перераб. и доп.-Л.: Энергия, Ленингр. отделение, 1975, 576 с.

3.  Планирование эксперимента в исследовании технологических процессов // К. Хартман, Э. Лецкий, В. Шефер и др.-М.: Мир, 1977, 552 с.

4.  Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. - М.: Наука, 1976, 279 с.

5.  Ахманов С.А., Дьяков Ю.Е., Чиркин А.С. Введение в статистическую радиофизику и оптику. – М.: Наука, 1981.

6.  Стрелков С.П. Введение в теорию колебаний. – М.: Наука, 1964.

7.  Гудмен Дж. Введение в Фурье-оптику / Пер. с англ. под ред. Г.И. Косоурова. – М.: Мир, 1970.

8.  Оптическая обработка информации / Под ред. Д. Кейсесента; Пер с англ. под ред. С.Б. Гуревича. – М.: Мир, 1980.

9.  Бурсиан Э.В. Физические приборы. – М.: Просвещение, 1984, 270 с.

10.  Куликовский К.Р., Купер В.Я. Методы и средства измерений. – М.: Энергоатомиздат, 1986.

11.  Аналоговые электроизмерительные приборы // Под ред. А.А. Преображенского. – М.: Высшая школа, 1979, 351 с.