Навигация
Решение нелинейных уравнений
13319
знаков
0
таблиц
7
изображений
Содержание
Введение
1. Теоретическая часть
2. Метод половинного деления
3. Метод хорд
4. Метод Ньютона (касательных)
5. Метод простой итерации
Заключение
Список использованных источников
Введение
Основной целью реферата является изучение и сравнительный анализ итерационных методов решения нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений; реализация этих методов в виде машинных программ на языке высокого уровня и практическое решение уравнений на ЭВМ.
При разработке алгоритмов, входящих в состав математического обеспечения САПР, часто возникает необходимость в решении нелинейных уравнений вида
f(x) = 0, (1)
где функция f(x) определена и непрерывна на некотором конечном или бесконечном интервале a < x < b. В частности, в форме нелинейных уравнений представляются математические модели анализа статических свойств объектов проектирования или их элементов.
1. Теоретическая часть
Если функция f(x) представляет собой многочлен n-й степени вида
a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn,
то уравнение (1) называется алгебраическим. Когда x находится под знаком трансцендентной функции (показательной, логарифмической, тригонометрической и т.п.), уравнение называется трансцендентным. Значение аргумента x*, при котором функция f(x) обращается в нуль, т.е. f(x*) = 0, называется корнем уравнения.
В общем случае для функции f(x) не существует аналитических формул для нахождения корней. Более того, их точное вычисление не всегда является необходимым. Это объясняется тем, что встречающиеся в инженерной практике уравнения часто содержат коэффициенты, величины которых имеют приближенные значения. В таких случаях решается задача определения корней с некоторой заранее заданной степенью точности.
В дальнейшем предполагаем, что уравнение (1) имеет только изолированные корни, т.е. для каждого из них существует некоторая окрестность, не содержащая других корней этого уравнения. Процесс нахождения изолированных действительных корней нелинейного уравнения включает два этапа:
1) отделение корней, т.е. нахождение интервалов [a, b], внутри которых содержится один и только один корень уравнения;
2) уточнение приближенных значений отдельных корней до заданной степени точности.
Этап отделения корней может быть выполнен различными способами. Во-первых, приближенное значение корня иногда бывает известно из физического смысла задачи. Во-вторых, для отделения корней может использоваться графический способ, основанный на построении графика функции y = f(x), где приближенные значения действительных корней уравнения f(x) = 0 соответствуют абсциссам точек пересечения или касания графика с осью 0x (y = 0).
Наиболее часто применяется метод отделения корней, основанный на следующем положении: если на концах некоторого интервала [a, b] значения непрерывной функции f(x) имеют разные знаки, т.е. f(a)f(b) < 0, то на этом интервале уравнение (1) имеет хотя бы один корень. При этом корень является единственным, если производная функции f'(x) существует и сохраняет постоянный знак внутри интервала [a, b].
Рассмотрим простейший алгоритм отделения корней нелинейных уравнений, ориентированный на использование ЭВМ. Исходный интервал [a, b], на котором определена и непрерывна функция f(x), разбивается на n отрезков равной длины
(x0, x1), (x1, x2), ..., (xn -1, xn),
где x0 < x1< ...< xn и x0 = a, xn = b. Затем вычисляются значения функции f(xj) в точках xj (j =
) и выбирается отрезок (xi, xi+1), на концах которого функция имеет разные знаки, т.е. f(xi)f(xi+1) < 0. Если длина этого отрезка достаточно мала (можно предположить единственность корня), то считается, что корень отделен на интервале [a, b], где a = xi, b = xi+1. В противном случае границы исходного интервала сдвигаются, т.е. a = xi, b = xi + 1, и процедура повторяется.
Необходимо отметить, что длина исходного интервала [a, b], на котором определена функция f(x), может изменяться в широких пределах. Поэтому число отрезков n, а также длина искомого интервала [a, b] являются переменными величинами, которые должны задаваться в каждом конкретном случае с учетом физического смысла решаемой задачи.
На втором этапе решения нелинейных уравнений полученные приближенные значения корней уточняются различными итерационными методами до некоторой заданной погрешности. Наиболее эффективные методы уточнения корней уравнения рассмотрены ниже.
2. Метод половинного деления
Для этого метода существенно, чтобы функция f(x) была непрерывна и ограничена в заданном интервале [a, b], внутри которого находится корень. Предполагается также, что значения функции на концах интервала f(a) и f(b) имеют разные знаки, т.е. выполняется условие f(a)f(b) < 0.
Обозначим исходный интервал [a, b] как [a0, b0]. Для нахождения корня уравнения f(x) = 0 отрезок [a0, b0] делится пополам, т.е. вычисляется начальное приближение x0 = (a0 + b0)/2. Если f(x0) = 0, то значение x0 = x* является корнем уравнения. В противном случае выбирается один из отрезков [a0, x0] или [x0, b0], на концах которого функция f(x) имеет разные знаки, так как корень лежит в этой половине. Далее выбранный отрезок обозначается как [a1, b1], вновь делится пополам точкой x1 = (a1 + b1)/2 и т.д. В результате на некоторой итерации получается точный корень x* уравнения f(x) = 0, либо бесконечная последовательность вложенных отрезков [a0, b0], [a1, b1], ..., [ai, bi], ..., таких, что f(ai)f(bi) < 0 (i =1, 2, ...), сходящихся к корню x*.
Если требуется определить корень x* с погрешностью e, то деление исходного интервала [a, b] продолжают до тех пор, пока длина отрезка [ai, bi] не станет меньше 2e, что записывается в форме условия
çbi - ai ç< 2e.
В этом случае середина последнего интервала [ai, bi] с требуемой степенью точности дает приближенное значение корня
x* » (ai + bi) / 2.
Метод половинного деления легко реализуется на ЭВМ и является наиболее универсальным среди итерационных методов уточнения корней. Его применение гарантирует получение решения для любой непрерывной функции f(x), если найден интервал, на котором она изменяет знак. В том случае, когда корни не отделены, будет найден один из корней уравнения. Метод всегда сходится, но скорость сходимости является небольшой, так как за одну итерацию точность увеличивается примерно в два раза. Поэтому на практике метод половинного деления обычно применяется для грубого нахождения корней уравнения, поскольку при повышении требуемой точности значительно возрастает объем вычислений.
Похожие работы
... точке приближенного решения, т. е. Последовательные приближения (4) строятся по формулам: , (9) где – начальное приближение к точному решению . 4.5 Метод Зейделя на основе линеаризованного уравнения Итерационная формула для построения приближенного решения нелинейного уравнения (2) на основе линеаризованного уравнения (7) имеет вид: 4.6 Метод наискорейшего спуска Методы ...
... . Ван-дер-Поль показал, что для этой цели можно использовать малые нелинейности, однако даже при малых нелинейностях получившаяся задача не допускала интегрирования колебаний в квадратурах. Ван-дер-Поль разработал приближенный асимптотический метод интегрирования дифференциальных уравнений второго порядка подобного рода. 1.1. Метод усреднения Ван-дер-Поля. В своих исследованиях Ван-дер-Поль ...
... y=x+c*(exp(x)+x);z=x; printf(“%d %.4f %.4f %.4f %.4fn”,n++,x,y,fabs(y-x), fabs(exp(y)+y)); x=y; } while(fabs(z-x)>e || fabs(exp(x)+x)>d; getch(); } Решение: в результате решения нелинейного уравнения (1) на указанном отрезке тремя методами при начальном приближении с точностью и получены следующие результаты: методом простых итераций ; методом Ньютона ; модифицированным ...
... быть перечислены через запятую). Всякое уравнение с одним неизвестным может быть записано в виде, f(x)=0, где f(x) – нелинейная функция. Решение таких уравнений заключается в нахождении корней, т.е. тех значений неизвестного x, которые обращают уравнение в тождество. Точное решение нелинейного уравнения далеко не всегда возможно. На практике часто нет необходимости в точном решении уравнения. ...
0 комментариев