Построение приближенного решения нелинейного уравнения методом Ван-дер-Поля

Министерство науки и образования Украины

Днепропетровский национальний университет

механико-математический факультет

кафедра дифференциальних уравнений

КУРСОВАЯ РАБОТА

“ПОСТРОЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

МЕТОДОМ ВАН-ДЕР-ПОЛЯ”

Допускается к защите Исполнитель

Заведующий кафедрой ДР студентка гр. МЕ-98-2

Поляков М.В. Билан О.Ф.

«____» ________ 2002г. подпись ___________

подпись ___________

Научный руководитель

Профессор Остапенко В.А.

 «____» ________ 2002г.

подпись ___________

Рецензент

Доцент Бойцун Л.Г.

«____» ________ 2002г.

подпись ___________

Днепропетровск

2002

Содержание

Содержание ……………………………………………………………………….….2

Реферат ……………………………………………………………………………….3 Annotation …………………………………………………………………………….4

Введение ……………………………………………………………………………...5

1.         Метод Ван-Дер-Поля …………………………………………………………7

1.1.        Метод усреднения Ван-дер-Поля …………………………………………...7

1.2.        Обоснование метода Ван-дер-Поля

Л. И. Мандельштамом и Н. Д. Папалекси ……………………………………….13

2. Решение уравнения ……………………………………………………………...22

Выводы ……………………………………………………………………………...29

Список использованной литературы ……………………………………………...30

Реферат

 

Выпускная работа 30 стр., 5 источников.

Выпускная работа «Построение приближеного решения нелинейного уравнения методом Ван-дер-Поля» посвящена эффективному способу решения нелинейных задач теории колебаний с одной степенью свободы. Метод Ван-дер-Поля обладает большой наглядностью и удобен для проведения расчетов.

Работа содержит теоретические выкладки по методу Ван-дер-Поля, обоснование метода Мандельштамом и Папалекси и построение приближенного решения уравнения:

.

Работа интересна для специалистов в области прикладной математики, механики, физики и для студентов старших курсов.

Annotation.

The graduation paper “Approximated solution building of nonlinear equation by Van-der-Pol’s method” is dedicated to very effective way of nonlinear problems solution of oscillations theory with one degree of freedom. Van-der-Pol’s method possesses the great visuality and is comfortable for calculations.

The work contains theoretical part by Van-der-Pol’s method, the validation of Mandelshtam and Papalexy method and approximated solution building of the equation:

.

This work is very interesting for the experts in domain of applied mathematics, mechanics, physics and for students of senior courses.

Введение.

Методы возмущений или асимптотические методы малого параметра для решения дифференциальных уравнений представляют собой одно из наиболее мощных средств современной прикладной математики. Они позволяют получать приближенные аналитические представления решений весьма сложных линейных и нелинейных краевых задач как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для уравнений в частных производных.

Суть асимптотических методов заключается в том, что при их применении достигается синтез простоты и точности за счет локализации: в окрестности некоторого предельного состояния находится упрощенное решение задачи, которое тем точнее, чем меньше эта окрестность.

Аналитические методы обычно делятся на эвристические и точные. Совмещая в себе простоту эвристических представлений с точностью аналитических оценок, асимптотические методы не ограничиваются ролью «золотой середины». В математике они занимают особое место. Главное отличие от классической математики состоит в том, что уровень точности конкурирует с размерами области действия; в заданной области точность асимптотического разложения всегда ограничена. Такая плата за эффективность оказывается вполне приемлемой не только на практике, но и в теории, если этот «принцип неопределенности» допустить хотя бы в ту область математики, которая занимается асимптотическими методами. Жизненность и перспективность асимптотических методов подтверждается также тем фактом, что активное взаимодействие численных методов с аналитическими происходит также через асимптотику.

Эффективность асимптотических методов признана всеми в самых разных областях прикладной математики.

Многие задачи, с которыми сталкиваются сегодня физики, инженеры и специалисты по прикладной математике, не поддаются точному решению. Среди причин, затрудняющих точное решение, можно указать, например, нелинейные уравнения движения, переменные коэффициенты и нелинейные граничные условия на известных или неизвестных границах сложной формы. Для решения подобных задач мы вынуждены пользоваться различного рода приближениями, комбинируя численные и аналитические методы. Среди аналитических методов весьма мощными являются методы возмущений (асимптотических разложений) по большим или малым значениям параметра или координаты.

В большинстве задач гидромеханики, динамики твердого тела и других разделов физики крайне редко оказывается возможным получить точные решения — причиной этого служат обычно различного рода нелинейности, неоднородности или сложные граничные условия. Поэтому инженеры, физики и специалисты по прикладной математике вынуждены обращаться к приближенным решениям, которые могут строиться либо численными методами, либо аналитическими, либо путем комбинации численных и аналитических подходов.

В настоящее время, в эпоху быстрого развития вычислительной техники, асимптотические методы отнюдь не утрачивают своего значения. Они служат для выяснения качественных особенностей задач, для получения асимптотик и анализа особых точек, для построения опорных «тестовых» решений, а в ряде случаев являются также основой для разработки вычислительных методов.

1. МЕТОД ВАН-ДЕР-ПОЛЯ

Метод Ван-дер-Поля возник в 1920-1923гг. в связи с быстрым развитием радиотехники после изобретения электронной лампы. В связи с созданием различных радиотехнических устройств необходимо было создать генератор устойчивых колебаний постоянной амплитуды. Для решения этой задачи необходимо было перейти от линейного генератора колебаний к нелинейному. Ван-дер-Поль показал, что для этой цели можно использовать малые нелинейности, однако даже при малых нелинейностях получившаяся задача не допускала интегрирования колебаний в квадратурах. Ван-дер-Поль разработал приближенный асимптотический метод интегрирования дифференциальных уравнений второго порядка подобного рода.