Сопротивление материалов

Задача 1

В стержне постоянного сечения площадью А требуется:

1. Построить эпюру N.

2. Выписать выражение наибольшего по модулю нормального напряжения

3. Определить полное удлинение бруса

4. Определить потенциальную энергию бруса

Рис. 1. Расчетная схема

Исходные данные: а = 2,4 м; F = 18 кН; A = 10 см²; E = 120 ГПа;

Решение.

Система статически определима и может быть описана одним уравнением равновесия из условия.

-R - 2F + F + 3F + 2F = 0

R = 4F= 4*18 = 72 кН

При выборе знаков принято, что силы, вызывающие растяжение стержня, учитываются со знаком +, а сжимающие – со знаком "–".

2. Для построения эпюр разбиваем стержень на участки и применяем метод сечений, рассекая стержень в пределах каждого участка и, отбрасывая верхнюю часть.

Рис. 2. Разбивка стержня на участки

Отброшенные силы заменяем продольной силой N, уравновешивающей усилия на рассматриваемом участке. Из схемы видно, что для анализа усилий стержень нужно разбить на 4 участка.

Участок 1: 2F - N₁= 0; N₁ = 2F = 36 кН;

Участок 2: 2F +3F – N₂ = 0; N₂ = 5F = 90 кН;

Участок 3: 2F +3F + F– N₃ = 0; N₃ = 6F = 108 кН;

Участок 4: 2F +3F + F - 2F– N₄ = 0; N₄ = 4F = 72 кН

Из расчета видно, что стержень растянут на всех участках. По полученным значениям строим эпюру продольных сил, выполняя правило, по которому в точке приложения силы наблюдается скачок на величину этой силы.

Рис. 3. Эпюра N.

Нормальные напряжения s в поперечном сечении стержня при растяжении-сжатии определяются делением продольной силы в этом сечении на площадь сечения, с учетом знака.

Очевидно, что в стержне постоянного сечения наибольшая величина нормального напряжения будет наблюдаться на участке, в пределах которого действуют наибольшие внутренние усилия. В нашем случае это участок 3.

|s₃| = |N₃| / А₃ = 108 / 10 = 10,8 кН/см² = 108 МПа

Перемещения стержня от действия системы сил определяются как сумма перемещений от действия каждой силы в отдельности

Участок 1:

Dl₁ = N₁l₁ / EA₁ = 36* 2*2,4 / (1,2 * 10⁵ * 10^-3) = 1,44 мм

Участок 2:

Dl₂ = Dl₁ + Dl₁₂ = 0,144 + N₂ l₂/EA₂ = 1,44 + 90*3*2,4/(1,2*10⁵*10^-3) = 6,84 мм;

Участок 3:

Dl₃ = Dl₂ + Dl₂₃ = 0,684 + N₃ l₃/EA₃ =

6,84+ 108 * 2 * 2,4 / (1,2 * 10⁵ * 10^-3) = 11,16 мм;

Участок 4:

Dl₄ = Dl₃ + Dl₃₄ = 1,116+N₄ l₄/EA₄ =

11,16 + 72 * 2 * 2,4 / (1,2 * 10⁵ * 10^-3) = 14,04 мм;

Потенциальную энергию каждого участка при растяжении можно определить по формуле

,

Участок 1:

U₁ = N₁²l₁ / 2EA = 36² * 2*2,4/ (2*1,2 * 10⁵ * 10^-3) = 25,92 кДж

Участок 2:

U₂ = N₂²l₂ / 2EA = 90²*3*2,4/(2*1,2*10⁵*10^-3) = 243,00 кДж;

Участок 3:

U₃ = N₃²l₃/ 2EA= 108² * 2 * 2,4 / (2*1,2 * 10⁵ * 10^-3) = 233,28 кДж;

Участок 4:

U₄ = N²₄ l₄/EA= 72² * 2 * 2,4/ (2*1,2 * 10⁵ * 10^-3) = 103,6800 кДж;

Суммарная потенциальная энергия составит:

U = SU_i = 25,92+243+233,28+103,68 = 605,88 кДж;

Задача 2

Для бруса, показанного на рис. 1, нагруженного силами F и Q, требуется:

1. Построить эпюру продольных сил

2. Составить в раскрытом виде выражения перемещения сечений в точках приложения сил F и Q

3. Построить эпюры продольных сил N для случая, когда средний участок бруса нагревается на t ° и силовое нагружение отсутствует

Рис. 1. Расчетная схема

Исходные данные: а = 2,4 м, F =18 кН, Q =26 кН ∆t = 26°С; A = 10 см²; E = 120 ГПа; a = 10^-6;

Решение.

Система один раз статически неопределима, потому что в заделках имеется две неизвестные реакции опор, которые не могут быть определены одним уравнением равновесия

R_A - F - Q+ R_B= 0

Из схемы видно, что нижняя часть стержня сжимается, а верхняя - растягивается. При условии, что общая длина стержня не изменится, так как концы стержня заделаны, общая длина перемещений будет равна 0. Стержень разбивается на 3 участка, в границах которых уравнения перемещений могут быть записаны следующим образом:

Участок 1: ;

Участок 2: ;

Участок 3: ;

Из уравнений видно, что на участках 1 и 2 стержень растягивается, а на участке 3 - сжимается, но поскольку суммарное перемещение будет равно 0, то можем записать

Dl₁ + Dl₂ - Dl₃ = 0,

Dl₁ + Dl₂ = Dl₃ ,

+=

Условием задачи дано, что А₂ = 2А₁, тогда

+=;

R_A2a+a(R_A-Q) = 0,5R_Ba

3R_A-Q = 0,5R_B

6R_A-2Q = R_B

Подставив полученное выражение в уравнение равновесия, получим

R_A - F - Q+ 6R_A - 2Q= 0

R_A = (F+3Q) / 7 = (18 + 3*26)/7 = 13,7 кН

R_В = 6*13,71 – 2 * 26 = 30,3 кН

R_A - F - Q+ R_B = 13,7-18-26+30,3 = 0

2. Для построения эпюр разбиваем стержень на участки и применяем метод сечений, рассекая стержень в пределах каждого участка и, отбрасывая правую часть, Отброшенные силы заменяем продольной силой N, уравновешивающей усилия на рассматриваемом участке. Поскольку небходимые расчеты уже были проведены, то можем провести прямое построение, зная, что в пределах участков внутренние усилия отражаются прямой линией, а на границах участков имеется скачок на величину силы.

Рис. 2. Эпюра внутренних усилий

Оценим температурные удлинения стержня при Dt = 26 °С. Температурное расширение по условию задачи составляет a =10∙10^-6 1/°, При длине нагреваемого участка стержня a = 2,4 м удлинение должно составить:

Dl = а * a * Dt = 2,4 * 10 *10^-6* 26 = 0,000624 м = 0,624 мм

Однако за счет сил сжатия, возникающих в заделке фактическое удлинение будет равно 0. Для расчета усилий примем следующие предпосылки: нагреванию подвергается участок 2, имеющий постоянное сечение, следовательно при отсутствии заделки границы участка 2, а следовательно и границы стержня переместились бы на равное расстояние – 0,624/2 = 0,312 мм. Усилия, возникающие на границах участка 2 также равны Однако перемещению препятствуют усилия в заделке. При отсутствии прочих силовых нагрузок схема нагружения выглядит следующим образом:

Рис. 3. Нагружение стержня вследствие температурных деформаций

Для построения эпюр следует определить эквивалентные усилия на концах, которые могут нейтрализовать такое перемещение.

Силу 2F можно найти из выражения перемещений

2F_a/EA = Dl₂.

0,624*10^-3*1,2*10⁵*0,001/2 = 0,03744 кН

Уравнение равновесия:

-R_A+F-F+R_B = 0,

Откуда

R_A= R_B= F = 0,03744 кН

Рис. 3. Эпюра продольных усилий в стержне при температурных деформациях.

Схема, показанная на рисунке, предполагает, что в пределах нагреваемого участка усилия отсутствуют. Однако это невозможно, поэтому следует заменить сосредоточенную нагрузку на среднем участке на распределенную, как показано на рис. 4. Характер эпюры в этом случае также изменится.

Величина распределенной нагрузки будет равна

q = F/0,5а = 37,44/2,4/2 = 7,8 Н/м

Рис. 4. Эпюра продольных усилий в стержне при температурных деформациях с учетом распределенной нагрузки.

Задача 3

Дано: элементарная призма, выделенная из упругого тела.

Координатные напряжения:

s_z = -30 МПа; s_y = 20 МПа; t_yz = - 60 МПа; b = 50°.

Определить:

1. Нормальные и касательные напряжения s_aи t_a на наклонной площадке, определяемой углом b;

2. Величины главных напряжений s₁ и s₂ и положения главных площадок (углы a₁ и a₂);

3. Величины экстремальных касательных напряжений и положения соответствующих площадок (углы a₃ и a₄);