Построить круг напряжений и проверить по нему величины, найденные в пунктах 1, 2, 3

4. Построить круг напряжений и проверить по нему величины, найденные в пунктах 1, 2, 3.

Рис. 1. Исходное плоское напряженное состояние

1. В соответствии с заданными знаками определяем, что s_z обеспечивает сжатие материала, а s_y — растяжение. Отрицательный знак касательного напряжения t_yz указывает на то, что оно направлено против хода часовой стрелки

Нормальное и касательное напряжения на наклонной площадке выражаются через угол a = 90-b = 40 °

cos 40° = 0,766; cos 80° = 0,173

sin 40° = 0,642; sin 80° = 0,985

s_a = -30*0,766² + 20*0,642² -60*0,984 = -68,40 МПа

t_a = (-30-20)/2*0,985 + 60*0,173 = -14,25 МПа

2.

= (-30+20)/2 ±0,5=-5±65 МПа,

s_max = s₁ = 60 МПа;

s_min = s₂ = -70 МПа;

Проверка:

s_z+ s_y= s₁+s₂

-30+20 = 60-70

-10=-10 МПа

Определяем угол наклона главных площадок к заданным:

tg2a₀=== 2,4

2a₀=67,38°;

a₀=33,69°;

Угол положительный, поэтому заданные площадки должны быть повернуты против хода часовой стрелки и на полученных главных площадках показываем главные напряжения. При этом максимальное напряжение будет в тех четвертях, где сходятся стрелки касательных напряжений

Углы a₁ и a₂ соответственно будут равны:

a₁= a₀ = 33,69°;

a₂= a₁ +90 ° = 123,69°;

Рис. 2. Положение главных напряжений

3. Известно, что направления площадок с экстремальными касательными напряжениями отличаются от направлений главных площадок на угол p/4 или 45°. То есть

a₃= a₁ +45°= 78,69°;

a₄= a₂ +45 ° = 168,69°;

Рис. 3. Положение экстремальных напряжений

При этом направления экстремальных касательных напряжений должны сходиться у того ребра элемента, где проходит главное напряжение s₁.

Величины экстремальных касательных напряжений равны

= (60-(-70))/2 = 65,00 МПа

Проверку расчетов выполняем при помощи круга Мора. В системе координат s t откладываем отрезки, соответствующие s₁ и s₂ с учетом знаков. Границы этих отрезков определяют диаметр круга. Точка пересечения прямой, проведенной из крайней левой точки окружности под соответствующим углом a, с противоположной стороной окружности, даст координаты, соответствующие значениям s_a и t_a.

Так как главная площадка поворачивалась относительно исходного положения призмы против часовой стрелки, то для получения исходных значений напряжений следует поворачивать отрезок в обратную сторону — по часовой стрелке (отрезок АB).

Рис. 4. Круг Мора

Задача 4

Используя данные, полученные в задаче 4 выписать в раскрытом виде

1. Относительные удлинения e₂ и e_max = e₁

2. Углы сдвига g_y2 и g_max

3. Величину удельной потенциальной энергии

Решение

Согласно закону Гука s = Ee, где E – модуль Юнга, зависящий от конкретного материала. Перемещение материала происходит по направлению главных напряжений, то есть

e₂ = s₂/E;

e_max = e₁= s₁/E;

Согласно заданию E = 100 ГПа, тогда

e₂ = -70 / 10⁵ = -0,0007

e₁ = 60 / 10⁵ = 0,0006

Отрицательный знак указывает на то, что по линии действия ₂ элементарная призма будет укорачиваться.

Угол сдвига может быть определен по формуле

,

где G – модуль упругости второго рода, связанный с модулем Юнга при помощи коэффициента Пуассона v. На главных площадках касательные напряжения равны 0, соответственно в плоскостях главных площадок деформации сдвига наблюдаться не будет. Направление деформации сдвига происходит под углом 45° к плоскости главных площадок, то есть под действием напряжения t₁₃ = t_max . По условию задачи v=0,2, тогда

g_max= 2*1,2*65/10⁵ = 0,0016°

Согласно IV теории прочности удельная потенциальная энергия изменения формы определяется выражением

 = 1,2*60²/(3*10⁵) = 0,014 кДж

Задача 5

Для сечения, показанного на рис. 1, требуется определить:

1. Координаты центра тяжести сечения С;

2. Вычертить в масштабе сечение, провести главные центральные оси Xc Yc и выписать относительно них развернутые выражения осевых моментов инерции Ixc и Iyc

Рис. 1. Расчетная схема.

Решение:

Фигура может быть разбита на две элементарные фигуры: прямоугольник и окружность