Аналіз теоретичної бази інтерполювання функції

Міністерство освіти і науки України

Вінницький національний технічний університет

Інститут автоматики, електроніки та комп’ютерних систем управління

Кафедра МПА

Аналіз теоретичної бази інтерполювання функції

Вінниця ВНТУ – 2009

Вступ

Актуальність теми. Задача знаходження значення функції у міжвузловій точці за допомогою інтерполяційної формули Бесселя має важливе значення при вирішенні як наукових, так і практичних задач, оскільки дає можливість знаходження значення функції у будь-якій точці, в якій це потрібно. В багатьох випадках функція не має аналітичного вигляду, тобто він невідомий, а задана лише декількома точками та значеннями функції в цих точках. Тому для отримання значення функції в проміжних точках застосовуються інтерполяційна формули Гауса (1-а та 2-а), інтерполяційна формула Стірлінга та Бесселя. Кожна з цих формул має свої переваги та недоліки, що полягають у кількості обчислювальних операцій та в похибці обчислень.

Мета дослідження. Метою роботи є обчислення значення функції інтерполюванням за інтерполяційною формулою Бесселя.

Задачі дослідження:

● проаналізувати існуючі методи знаходження значення функції та обґрунтувати переваги інтерполюванням за інтерполяційною формулою Бесселя по відношенню до існуючих;

● розробити алгоритми розв’язку інтерполювання функції та здійснити вибір оптимального з них;

● розробити програму розв’язку значення функції інтерполюванням та провести їх тестування.

Об’єкт дослідження. Об’єктом дослідження є інтерполяційна формула Бесселя для інтерполювання функції.

Структура курсової роботи.

Курсова робота складається з трьох основних розділів. В першому розділі наведено аналіз теоретичної бази інтерполювання функції та приклад розв’язання поставленої задачі за формулою Бесселя. У другому розділі розроблено оптимальний алгоритм за критерієм комплексної ефективності, що враховує затрати часу та пам'яті для його виконання, за даним методом. Третій розділ містить інструкція користувача, лістинг та опис програми і результати тестування.

1. Аналіз теоретичної бази інтерполювання функції

 

1.1  Постановка задачі інтерполяції

Якщо задано певну довільну функцію  на деякому проміжку , то обчислити її значення непросто. Для полегшення цієї задачі є метод інтерполювання функції. Який полягає у тому, що дана функція  замінюється наближеним значенням, причому кінцевий результат залишається незмінним.

Нехай деяка функція у=f(х) задана таблицею (табл.1), тобто при значеннях аргументу х=х0, х1, ... , хn функція f(х) приймає відповідні значення у0, у1,... , уn.

Таблиця 1- Таблиця експериментальних значень

				....
				....

Необхідно визначити значення у=f(х), .

Величина  потрапляє між двома табличними значеннями, тому для обчислення значення функції необхідно запропонувати деякий характер її зміни між відомими експериментальними даними.

Інтерполяцію можна розглядати як процес визначення для даного аргументу х значення функції у=f(х) по її декількох відомих значеннях. При цьому розрізняють інтерполяцію у вузькому розумінні, коли х знаходиться між  і , і екстраполювання, коли х знаходиться поза відрізком інтерполяції .

Задача інтерполяції полягає в наступному. На відрізку  задані  точки х0, х1, ... , хn, що називаються вузлами інтерполяції, і значення деякої функції f(x) у цих точках.

,

, (1)

...............

.

Потрібно побудувати функцію Рn(х) (інтерполюючу функцію), яка б задовольняла таким умовам:

,

, (2)

.................

,

тобто інтерполююча функція Рn(х) повинна приймати ті ж значення, що і функція f(х), яку ми визначаємо (що інтерполюється), для вузлових значень аргументу х0, х1, ... , хn.

Геометрично це означає, що потрібно знайти криву y=Pn(х) деякого визначеного типу, що проходить через задану систему точок Мi (хi,уi) . Очевидно, можна побудувати множину неперервних функцій, що будуть проходити через задані вузлові точки[1].

Заміна функції f(х) її інтерполяційним многочленом Рn(x) може знадобитися не тільки тоді, коли відома лише таблиця її значень, але і коли аналітичний вираз для f(х) відомо, проте є занадто складним і незручним для подальших математичних перетворень (наприклад, для інтегрування, диференціювання тощо). Іноді розглядаються задачі тригонометричної інтерполяції (інтерполююча функція – тригонометричний поліном). Інтерполюючою може бути також раціональна функція.

У загалі залежність, якій підпорядковується функція, може бути апроксимована многочленом степеня :

. (3)

Таку задачу називають задачею параболічної інтерполяції (або інтерполюванням).

Загалом є багато інтерполяційних формул та методів. До них відносяться такі: інтерполяційні формули Гаусса, Стірлінга та Бесселя (які є похідними від формул Гаусса), Ньютона (перша та друга) та багато інших.