Параболічна інтерполяція

1.2 Параболічна інтерполяція

Для визначення коефіцієнтів многочлена (3) необхідно мати  вузлову точку. Аналітичне визначення коефіцієнтів інтерполяційного многочлена для  точки зводиться до рішення системи лінійних рівнянь  порядку, кожне з яких являє собою вираз (3), записаний для визначеної вузлової точки

, (4)

де .

Даним методом побудови інтерполяційного поліному зручно користуватися, маючи персональний комп’ютер і відповідні програми. Даний метод не є єдиним способом побудови інтерполяційного поліному. Інший підхід, яким часто користуються на практиці, називається методом Лагранжа[2].

1.3 Метод Лагранжа

Нехай при  функція  приймає відповідно значення . Многочлен степеня не вище , що приймає у вузлових точках задані значення, має вид:

 (5)

Цей многочлен (5) називається інтерполяційною формулою Лагранжа і має такі властивості:

1.  При заданій сукупності вузлових точок будова многочлена можлива тільки єдиним способом.

2.  Многочлен Лагранжа може бути побудовано при будь-якому розташуванні вузлів інтерполяції (включаючи і нерівномірне).

У розгорнутому виді форма Лагранжа має вид:

 (6)

При  формула Лагранжа має вид:

, (7)

і називається формулою лінійної інтерполяції.

При  одержимо формулу квадратичної інтерполяції:

 (8)

1.4 Обернена інтерполяція

Нехай функція  задана таблицею. Задача зворотної інтерполяції полягає в тому, щоб по заданому значенню функції  визначити відповідне значення аргументу .

Якщо вузли інтерполяції  нерівновіддалені, задача легко вирішується за допомогою інтерполяційної формули Лагранжа (5). Для цього достатньо прийняти  за незалежну змінну, а  вважати функцією. Тоді отримаємо

,  (9)

Розглянемо тепер задачу оберненої інтерполяції для випадку рівновіддалених вузлів інтерполяції. Припустимо, що функція f(х) монотонна і дане значення у знаходиться між  і .

Замінюючи функцію  першим інтерполяційним многочленом Ньютона, одержимо:

.

Звідси

,

тобто .

Розмір  визначаємо методом послідовних наближень як границю послідовності:

,

де

За початкове наближення приймаємо

. (10)

Для -го наближення маємо:

. (11)

На практиці ітераційний процес продовжують доти, поки не установляться значення, що відповідають необхідній точності, причому , де  – останнє зі знайдених наближень. Знайдемо , визначаємо  по формулі

,

звідки

. (12)

Ми застосували метод ітерації для розв’язку задачі оберненої інтерполяції, користуючись першою інтерполяційною формулою Ньютона. Аналогічно можна застосувати цей спосіб і до другої формули Ньютона:

.

Звідси

Позначимо – початкове наближення.

Для -го наближення маємо:

 (13)

Знайдемо

,

визначимо  по формулі [2,3]

.

Далі розглянемо запропоновану інтерполяційну формулу Бесселя. Вона подібна до інтерполяційної формули Стірлінга і обидві вони є похідними від першої та другої інтерполяційних формул Гаусса.

1.5 Інтерполяційна формула Бесселя

Часто використовується інтерполяційна формула Бесселя, яка служить для знаходження значення функції у міжвузловій точці. Для виведення цієї формули скористаємось другою інтерполяційною формулою Гаусса:

у скороченому вигляді:

де х=х0+qh.

Візьмемо 2n+2 рівновіддалених вузлів інтерполювання

x-n, x-(n-1),..., x0,..., xn-1, xn, xn+1 ,

з кроком h, і нехай

yi= f(xi), (i =-n,…,n+1),

- задані значення функції y= f(x).

Якщо вибрати за початкові значення x= x0 та y= y0, то, використовуючи вузли xk (k= 0, ±1, …, n), будемо мати:

 (14)

Приймемо тепер за початкові значення х=х1 і у=у1 і використаємо вузли х1+к (к=0, 1,...,n). Тоді

причому відповідно індекси всіх різниць в правій частині формули (14) зростуть на одиницю. Замінивши в правій частині формули (14) q на q-1 і збільшивши індекси всіх різниць на 1 , отримаємо допоміжну інтерполяційну формулу

 (15)

Взявши середнє арифметичне формул (14) і (15), після простих перетворень отримаємо інтерполяційну формулу Бесселя

інтерполяція функція бессель програма

 (16)

Інтерполяційна формула Бесселя (16), як слідує з способу отримання її, представляє собою поліном, що співпадає з даною функцією y= f(x) в 2n+2 точках

x-n , x-(n-1),…, xn , xn+1.

В частинному випадку, при n=1, нехтуючи різницею ∆3y-1, отримаємо формулу квадратичної інтерполяції по Бесселю

,

В формулі Бесселя всі члени, які містять різниці непарного порядку, мають множник q-; тому при  формула (16) значно спрощується :

Цей спеціальний випадок формули Бесселя називається формулою інтерполювання на середину. Якщо в формулі Бесселя (3) зробити заміну по формулі  то вона приймає більш симетричний вид

Приклад розв’язку задачі:

Значення функції  подано у табл. 2. Знайти значення .

Таблиця 2- Таблиця різниць функції

2	-4.58579
		-11.68216
3	-16.26795		-6.04989
		-17.73205		0.01801
4	-34		-6.03188		-0.00878
		-23.76393		0.00923		0.00504
5	-57.76393		-6.02265		-0.00374		-0.00321
		-29.78658		0.00549		0.00183		0.00218
6	-87.55051		-6.01716		-0.00191		-0.00103		-0.00287
		-35.80374		0.00358		0.0008		0.00069
7	-123.35425		-6.01358		-0.00111		-0.00034
		-41.81732		0.00247		0.00046
8	-165.17157		-6.01111		-0.00065
		-47.82843		0.00182
9	-213		-6.00929
		-53.83772
10	-266.83772

Розв’язок:

Приймемо  і , тоді

.

Оскільки , то скористаємося формулою Бесселя. Маємо:

;

Звідси, використовуючи підкреслені різниці, отримаєм: