Навигация
Метод Гаусса для решения систем уравнений
24255
знаков
7
таблиц
16
изображений
1.4 Метод Гаусса для решения систем уравнений
Метод Гаусса - классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Состоит в постепенном понижении порядка системы и исключении неизвестных.
Пусть исходная система выглядит следующим образом
(1.4.1)
Матрица A называется основной матрицей системы, b — столбцом свободных членов.
Тогда согласно свойству элементарных преобразований над строками основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду (эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов)
При этом будем считать, что базисный минор (ненулевой минор максимального порядка) основной матрицы находится в верхнем левом углу, то есть в него входят только коэффициенты при переменных 
.
Тогда переменные называются главными переменными. Все остальные называются свободными.
Если хотя бы одно число 
, где i > r, то рассматриваемая система несовместна.
Пусть, 
для любых i > r.
Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом 
, где 
- номер строки)
(1.4.2)
где 
Если свободным переменным системы (1.4.2) придавать все возможные значения и решать новую систему относительно главных неизвестных снизу вверх (то есть от нижнего уравнения к верхнему), то мы получим все решения этой СЛАУ. Так как эта система получена путём элементарных преобразований над исходной системой (1.4.1), то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях системы (1.4.1) и (1.4.2) эквивалентны, то есть множества их решений совпадают.
Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса подразделяется на два этапа.
На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме, либо устанавливают, что система несовместна. А именно, среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк и вычитают получавшуюся после перестановки первую строку из остальных строк, домножив её на величину, равную отношению первого элемента каждой из этих строк к первому элементу первой строки, обнуляя тем самым столбец под ним. После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию.
На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений, либо, если все переменные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений. Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (а она там всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх. Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки.
Помимо аналитического решения СЛАУ, метод Гаусса также применяется для: нахождения матрицы, обратной к данной, определения ранга матрицы и численного решения СЛАУ в вычислительной технике
Достоинства метода:
- менее трудоёмкий по сравнению с другими методами.
- позволяет однозначно установить, совместна система или нет, и если совместна, найти её решение.
- позволяет найти максимальное число линейно независимых уравнений — ранг матрицы системы
приоритетный производственный оптимальный цена продукция
2 ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА ПРОГРАММНОЙ ПЛАТФОРМЫ
Для выполнения поставленных задач использовались Microsoft Visual Studio 2005 (Visual Basic.Net как язык программирования) и математический пакет MathCAD, для контроля правильности математических расчетов.
Обоснование выбора языка программирования. Классический список проблем, который существовал в программировании, и на разрешение которого было направлено создание корпорацией Microsoft продукта -технологии Microsoft.Net:
- разнообразие частных решений для решения задач разработки крупномасштабного программного обеспечения - как результат, явно ощущалась потребность в разработке некоторого общего подхода, в котором бы критически учитывались все имеющиеся решения, и в рамках которого с единых позиций можно было бы разрешать многие проблемы информационной индустрии;
- сложность интеграции существующих решений в рамках единых программных систем - различие аппаратно-программных платформ, предлагаемых корпоративных решений, вариантность программных компонент выводит проблему интеграции разрабатываемого ПО в число наиболее острых задач программирования;
- трудоемкость разработки распределенных программных систем -возникающие при разработке распределенных систем проблемы обеспечения надежности, безопасности и масштабируемости требовали создания более общих средств решения, определения признаваемых подходов и стандартов;
- широкое распространение Интернет технологий - мир Интернета требовал осмысления накопленных после появления Java решений и ожидал промышленного перехода на технологии сервис-ориентированного программного обеспечения и др.
Платформа Microsolt.Net. для разработки и исполнения программного обеспечения решает эти проблемы программирования.
Платформа .NET состоит из нескольких основных компонентов:
- операционные системы корпорации Microsoft (Windows 2000/ХР/МЕ/СЕ). представляющие собой базовый уровень платформы MS.Net,
- серверы MS.Net (.Net Enterprise Servers) являются программными продуктами корпорации Microsoft, использование которых позволяет снизить сложность разработки сложных программных систем. В числе готовых для применения серверы Application Center 2000, Exchange Server 2000, SQL Server и др.,
- сервисы MS.Net (.Net Building Block Services) представляют собой готовые «строительные блоки» сложных программных систем, которые могут быть использованы через Интернет как сервисные услуги. Набор таких сервисов MS.Net планируется последовательно расширять. Примером имеющегося сервиса платформы MS.Net является Microsoft Passport, позволяющий установить единое имя пользователя и пароль на всех сайтах, поддерживающих аутенфикацию через Passport,
- интегрированная среда разработки приложений Visual Studio.NET (VS.Net) - верхний уровень MS.Net - обеспечивает возможность создания сложного ПО на основе платформы и продолжает в этом плане ряд разрабатываемых корпорацией Microsoft средств разработки профессионального программного обеспечения.
Обоснование выбора математического пакета.
MATHCAD универсальный математический пакет, предназначенный для выполнения инженерных и научных расчетов. Основное преимущество пакета - естественный математический язык, на котором формируются решаемые задачи. Объединение текстового редактора с возможностью использования общепринятого математического языка позволяет пользователю получить готовый итоговый документ. Пакет обладает широкими графическими возможностями, расширяемыми от версии к версии. Практическое применение пакета существенно повышает эффективность интеллектуального труда.
От других продуктов аналогичного назначения, например, Maple & Theorist (компании Waterloo Maple Software) и Mathematica (компании Wolf Research), MATHCAD (компании Mathsoft) отличается ориентацией на создание высококачественных документов в режиме WYSIWYG. Это означает, что, внося изменения, пользователь немедленно видит их результаты и в любой момент может распечатать документ во всем блеске. Работа с пакетом за экраном компьютера практически совпадает с работой на бумаге с одной лишь разницей - она более эффективна. Преимущества MATHCAD состоит в том, что он не только позволяет провести необходимые расчеты, но и оформить свою работу с помощью графиков, рисунков, таблиц и математических формул.
Похожие работы
... на разработку и материальные затраты. Таким образом, цель дипломного проектирования – разработка программного комплекса для моделирования радиолокационной обстановки на персональном компьютере, позволяющего моделировать радиолокационную обстановку по заданным параметрам, создавать выходной файл, содержащий рассчитанную модель, использовать полученный файл для проверки реальных устройств обработки ...
... 14 664 000руб. 3. Корректировка чистых активов предприятия и определение реальной рыночной стоимости предприятия затратным подходом выявил стоимость предприятия в 7 583 000руб. Глава 3. Разработка системы мониторинга оценки бизнеса промышленного предприятия 3.1 Роль оценщика (фирмы по оценке бизнеса) в системе мониторинга ...
... и пояснения, к которым привык западный бизнесмен и финансист ГЛАВА 2.ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 2.1 Структура бизнес-плана Раздел 1. Предприятие 1. Описание предприятия Открытое акционерное общество «Дагнефтегаз» учреждено в августе 2003 года решением общего собрания акционеров ОАО «НК «Роснефть» -«Дагнефть» в соответствии с действующим законодательством. ОАО «Дагнефтегаз» осуществляет ...
... - идет ли дело на подъем или катится к развалу. [3; стр.60-61] На и эти вопросы призваны дать ответ разделы бизнес-плана, одним из которых является программа маркетинга. Маркетинговая программа в планировании развития фирмы Маркетинговая программа - это разработанный на основе комплексных маркетинговых исследований стратегический план-рекомендация относительно производственно-сбытовой и ...
0 комментариев