Застосування подвійних інтегралів

Застосування подвійних інтегралів

Содержание

1. Заміна змінних у подвійному інтегралі. Подвійний інтеграл у полярних координатах

2. Застосування подвійних інтегралів до задач геометрії

3. Застосування подвійних інтегралів до задач механіки

1. Заміна змінних у подвійному інтегралі. Подвійний інтеграл у полярних координатах

Нехай функція  неперервна в деякій замкненій і обмеженій області , тоді існує інтеграл

.

Припустимо, що за допомогою формул

 (1)

ми переходимо в інтегралі  до нових змінних  та . Вважатимемо, що з формул (1) однозначно можна визначити  та :

. (2)

Згідно з формулами (2), кожній точці  ставиться у відповідність деяка точка  на координатній площині з прямокутними координатами  і .

Нехай множина всіх точок  утворює обмежену замкнену область . Формули (1) називаються формулами перетворення координат, а формули (2) - формулами оберненого перетворення.

Справедлива така теорема.

Теорема. Якщо перетворення (2) переводить замкнену обмежену область  в замкнену обмежену область  і є взаємно однозначним, і якщо функції (1) мають в області  неперервні частинні похідні першого порядку і відмінний від нуля визначник

 

, (3)

 

а функція  неперервна в області , то справедлива така формула заміни змінних

. (4)

Функціональний визначник називається визначником Якобі або якобіаном.

Таким чином, виконуючи заміну змінних в інтегралі  за формулами (1), ми маємо елемент площі  в координатах  замінити елементом площі  в координатах  і стару область інтегрування  замінити відповідною їй областю .

Розглянемо заміну декартових координат  полярними  за відомими формулами. Оскільки

.

То формула (3) набирає вигляду

 (4)

де область  задана в декартовій системі координат , а  - відповідна їй область в полярній системі координат.

У багатьох випадках формулу (4) доцільно застосовувати тоді, коли підінтегральна функція або рівняння границі області  містить суму , оскільки ця сума в полярних координатах має досить простий вигляд:

 

.

 

Якщо область  (рис.1, а) обмежена променями, які утворюють з полярною віссю кути  та   і кривими  та  , то полярні координати області  змінюються в межах ,  (рис.1, б). Тому формулу (4) можна записати у вигляді

 (5)

Рисунок 1 - Область: а) ; б)

подвійний інтеграл полярна координата

Якщо область  охоплює початок координат, тобто точка  є внутрішньою точкою області , то

 (6)

де  - полярне рівняння межі області .

Приклади

1. Обчислити інтеграл , якщо область  - паралелограм,

обмежений прямими  (рис.1, а).

Розв’язання

Безпосереднє обчислення цього інтеграла надто громіздке, тому що як в напрямі осі  так і в напрямі осі  область  потрібно спочатку розбити на три області, а потім обчислювати три подвійних інтеграли.

Виконаємо таку заміну змінних: , тоді прямі  та  в системі  переходять в прямі  та  у системі  (рис.1, б), а прямі  та  відповідно в прямі  та .

Таким чином, область  (паралелограм) переходить у системі  в прямокутник .

Рисунок 2 - Область: а) ; б)

Далі маємо

За формулою (3)

2. У подвійному інтегралі , де  - круг, обмежений колом , перейти до полярних координат з полюсом в точці , і обчислити отриманий інтеграл.

Розв’язання

Область  зображена на рис.2.

Рівняння, які пов’язують  і полярні координати  з полюсом у точці , мають вигляд , причому видно, що кут  змінюється в межах від  до .

Рисунок 3 - Область

Підставивши вирази для  і  в рівняння кола, отримаємо , звідки  або . Ці дві криві на площині  при  обмежують область , яка є прообразом області  при відображенні. Якобіан  відображення дорівнює . Підінтегральна функція  у нових змінних дорівнює . За формулою (3) маємо

.

Одержаний подвійний інтеграл за областю  зводимо до повторного:

і обчислюємо повторний інтеграл, застосовуючи формулу Ньютона - Лейбніца:

2. Застосування подвійних інтегралів до задач геометрії

1. Площа плоскої фігури. Якщо в площині  задана фігура, що має форму обмеженої замкненої області , то площа  цієї фігури знаходиться, як відомо, за формулою:

.

2. Об'єм тіла. Об'єм циліндричного тіла, твірні якого паралельні осі  і яке обмежене знизу областю  площини , а зверху - поверхнею , де функція  неперервна та невід'ємна в області , знаходиться за формулою (2):

3. Площа поверхні. Якщо поверхня , задана рівнянням

 (7)

проектується на площину  в область  (рис.3) і функції , ,  неперервні в цій області, то площу  поверхні  знаходять за формулою

 (8)

Рисунок 4 - Поверхня

Виведемо цю формулу. Розіб’ємо довільним способом область  на  частин , які не мають спільних внутрішніх точок і площі яких дорівнюють . У кожній частині  візьмемо точку ; на поверхні  їй відповідатиме точка , де . Через точку  проведемо дотичну площину  [3]

.

На площині  виділимо ту її частину, яка проектується на площину  в область . Позначимо цю частину дотичної площини через , а її площу - через . Складемо суму

. (9)

Границю  суми (9), коли найбільший з діаметрів  областей  прямує до нуля, назвемо площею поверхні (7), тобто за означенням покладемо

. (10)

Обчислимо цю границю. Оскільки область , яка має площу , проектується в область  з площею , то , де  - кут між площинами  та  (рис.3), тому .

Але гострий кут  дорівнює куту між віссю  і нормаллю  до дотичної площини, тобто куту між векторами та . Знайдемо за формулою (4)

.

Отже,

.

Підставляючи значення  в (10), отримуємо

.

Під знаком границі маємо інтегральну суму, складену для неперервної в області  функції . Ця функція інтегровна в області , тому границя у формулі (10) існує і дорівнює подвійному інтегралу (8).

 

3. Застосування подвійних інтегралів до задач механіки

1. Маса пластини. Нехай на площині  маємо матеріальну пластину, яка має форму обмеженої замкненої області , в кожній точці якої густина визначається неперервною функцією . Маса такої пластини визначається за формулою (1.8):

.

2. Центр маси пластини. Статичні моменти. Нехай матеріальна пластина в площині  має форму області , густина пластини в точці дорівнює , де  - неперервна функція в області  Розіб'ємо область  на частини , виберемо в кожній з них довільну точку  і наближено вважатимемо, що маса  частини  дорівнює , де  - площа області . Коли вважати, що кожна з цих мас зосереджена в точці , то пластину можна розглядати як систему цих матеріальних точок. Тоді координати  та  центра маси пластини наближено визначатимуться рівностями

.

Щоб знайти точні значення координат, перейдемо в цих формулах до границі при . Тоді інтегральні суми перейдуть у подвійні інтеграли і координати центра маси пластини визначатимуться формулами

. (11)

Величини

 (12)

називаються статичними моментами пластини відносно осі  та .

Враховуючи формули (8), (11) і (12), координати центра мас можна записати у вигляді

 

.

 

Якщо пластина однорідна, тобто має сталу густину , то у формулах (1.8), (11) і (12) слід покласти .

3. Моменти інерції пластини. Відомо, що момент інерції матеріальної точки відносно деякої осі дорівнює добутку маси точки на квадрат її відстані від цієї осі, а момент інерції системи матеріальних точок відносно однієї і тієї самої осі дорівнює сумі моментів інерції всіх точок системи.

Нехай матеріальна пластина має форму області  у площині , а неперервна функція  визначає густину в кожній точці цієї пластини. Розіб'ємо область  на частини , площі яких дорівнюють , і виберемо в кожній з цих частин довільну точку . Замінимо пластину системою матеріальних точок з масами . Якщо пластину розглядати як систему цих матеріальних точок, то моменти інерції пластини відносно осі  та відносно  наближено визначатимуться за формулами

.

Перейшовши до границі в кожній із сум при , отримуємо точні формули для обчислення моментів інерції розглядуваної пластини відносно координатних осей:

. (13)

Знайдемо момент інерції  пластини відносно початку координат.

Враховуючи, що момент інерції матеріальної точки  з масою  відносно початку координат дорівнює , аналогічно отримуємо, що

. (14)