Формула парабол (Сімпсона)

3. Формула парабол (Сімпсона).

Метод Сімпсона найпоширеніший і простіше застосовний для програмування. Його суть полягає в наближенні підінтегральної функції відрізками парабол.

Отже, розглянемо спочатку інтеграл , де  – парабола; ,, – деякі параметри (або числа).

Тоді

Нехай тепер маємо інтеграл , де  - неперервна на інтервалі функція. Якщо інтервал розбити на п рівних частинок , i=0,1,…n-1,, то заданий інтеграл І можна записати так:

Якщо на кожному з інтегралів для проміжків  функцію замінимо параболами , що проходять через точки  ,то одержимо

Через те, що, формула матиме вигляд:

 або

 (4)

Формула (4) називається формулою парабол або Сімпсона. Доведено, що похибка обчислень  за формулою Сімпсона є такою:

 (5)

Проте, цією оцінкою похибки можна користуватись, якщо  є хоча б чотири рази диференційовною. Але, якщо  навіть чотири рази диференційовна, то часто оцінка четвертої похідної  може виявитись досить складною. Тому на практиці переважно користуються таким методом: обчислюють інтеграл, розділяючи інтервал, заданий границями інтегрування, один раз на n рівних частин, а другий раз на т частин. Якщо одержані двоє значень інтеграла мало відрізняються, то результат можна вважати прийнятним. Порівнюючи їх можна оцінити і точність обчислень.

Приклад. Обчислити з точністю до 0,001 інтеграл

Р о з в ’ я з у в а н н я. За формулою (4) маємо:

при при

	-0,5	0,0000			-0,5	0,00000		0,05	0,0371
	-0,4	-0,1203			-0,45	-0,0946		0,10	0,0772
	-0,3	-0,1303			-0,40	-0,1203		0,15	0,1200
	-0,2	-0,1081			-0,35	-0,1304		0,20	0,1652
	-0,1	-0,630			-0,30	-0,1303		0,25	0,2122
	0	0,0000			-0,25	-0,1204		0,30	0,2607
	0,1	0,0772			-0,20	-0,1081		0,35	0,3103
	0,2	0,1652			-0,15	-0,0881		0,40	0,3610
	0,3	0,2607			-0,10	-0,0630		0,45	0,4121
	0,4	0,36098			-0,05	-0,0335		0,50	0,4637
	0,5	0,46365			0,00	0,0000

Отже,

.

Нехай деяка функція f(x) задана в вузлах інтерполяції:

 (i=1,2,3.,n) на відрізку [а,b] таблицею значень: .

Потрібно знайти значення інтегралу .

Спершу складемо інтерполяційний багаточлен Лагранжа:

Для рівновіддалених вузлів інтерполяційний багаточлен має вигляд:

де q=(x-x0) /h – крок інтерполяції, замінимо підінтегральну функцію f(x) інтерполяційним багаточленом Лагранжа:

Поміняємо знак підсумовування і інтеграл і винесемо за знак інтеграла постійні елементи:

Оскільки dp=dx/h, то, замінивши межі інтеграції, маємо:

Для рівновіддалених вузлів інтерполяції на відрізку [а,b] величина крок визначається як h=(b-a)/n. Представивши цей вираз для h у формулу (4) і виносячи (b-a) за знак суми, отримаємо:

Покладемо, що

де i=0,1,2.,n; Числа  називають коефіцієнтами Ньютона-Kотеса. Ці коефіцієнти не залежать від вигляду f(x), а є функцією тільки по n. Тому їх можна обчислити заздалегідь. Остаточна формула виглядає так:

Формула трьох восьмих:

Якщо в формулі Ньютона-Котеса взяти n = 3, тобто функцію f(x) замінити інтерполяційним багаточленом третього степеня, побудованим за значення функції f(x) у точках x0=a, x1=a+h, x2=a+2h, x3=b, h=(b-a )/3. то одержимо таку квадратурну формулу:

 де

 

Ця квадратурна формула називається малою квадратурною формулою трьох восьмих. Використовуючи цю формулу, легко записати велику квадратурну формулу трьох восьмих.

Завдання

Обчислити інтеграл методом прямокутників, трапецій, парабол, трьох восьмих, Монте-Карло оцінити абсолютну та відносну похибку обчислення :

А) заданий інтеграл обчислити наближено та точно.

B) заданий інтеграл обчислити наближено.

Варіант 1

1.

2.

3.

Варіант 2

1.

2.

3.

Варіант 3

1.

2.

3.

Варіант 4

1.

2.

3.

Варіант 5

1.

2.

3.

Варіант 6

1.

2.

3.

Варіант 7

1.

2.

3.

Варіант 8

1.

2.

3.

Варіант 9

1.

2.

3.

Варіант 10

1.

2.

3.

Рекомендована література:

1.  Цегелик Г.Г. Чисельні методи: Підручник. – Львів: Видавничий центр ЛНУ ім. І. Франка, 2004. – 408 с.

2.  Коссак О., Тумашова О., Коссак О. Методи наближених обчислень: Навч. посіб. – Львів: Бак, 2003. – 168 с.

3.  Анджейчак І.А., Федю Є.М., Анохін В.Є. і ін. Практикум з обчислювальної математики. Основні числові методи. Частина І. – Навч. посіб. Львів: Вид-во ДУ «Львівська політехніка», 2000. – 100 с.

4.  Дудикевич А.Т., Левицька С.М., Шахно С.М. Практична реалізація методів розв’язування нелінійних рівнянь і систем: Навч.-метод. посібн. – Львів: ВЦ ЛНУ ім.. І.Франка, 2007. – 78 с.

5.  Паранчук Я.С. та ін. Алгоритмізація, програмування, числові та символьні обчислення в пакеті MathCAD. – Навч. посіб. / Я.С. Паранчук, А.В. Маляр, Р.Я. Паранчук, І.Р. Головач. – Львів: Вид-во Львівської політехніки, 2008. – 164 с.