Методы решения краевых задач, в том числе «жестких»

Теория метода д.ф.-м.н. Юрия Ивановича Виноградова и к.ф.-м.н. Алексея Юрьевича Виноградова решения жестких краевых задач без ортонормирования –

оболочки ракет составные и со шпангоутами.

Идея преодоления трудностей неустойчивого счета путем разделения интервала интегрирования на сопрягаемые участки принадлежит д.ф.-м.н. Юрию Ивановичу Виноградову (в том числе на этом материале защищена докторская диссертация). А выражение идеи разделения и сопряжения через формулы теории матриц, то есть через матричные экспоненты принадлежит к.ф.-м.н. Алексею Юрьевичу Виноградову.

 

Содержание:

1.  Введение. (стр.1-5)

2.  Метод решения жестких краевых задач без ортонормирования – метод сопряжения участков, выраженных матричными экспонентами. (стр. 6-7)

3.  Составные оболочки вращения. (стр. 8-11) (22 мая 2014)

4.  Шпангоут, выражаемый не дифференциальными, а алгебраическими уравнениями. (стр. 10-14) (22 мая 2014)

5.  Случай, когда уравнения (оболочки и шпангоута) выражаются не через абстрактные вектора, а через вектора, состоящие из конкретных физических параметров. (стр. 15-17) (22 мая 2014)

 

Метод решения жестких краевых задач без ортонормирования - оболочки ракет составные и со шпангоутами.

1. Введение.

На примере системы дифференциальных уравнений цилиндрической оболочки ракеты – системы обыкновенных дифференциальных уравнений 8-го порядка (после разделения частных производных методом Фурье).

Система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений имеет вид:

,

где  – искомая вектор-функция задачи размерности 8х1,  – производная искомой вектор-функции размерности 8х1,  – квадратная матрица коэффициентов дифференциального уравнения размерности 8х8,  – вектор-функция внешнего воздействия на систему размерности 8х1.

Краевые условия имеют вид:

где  – значение искомой вектор-функции на левом крае х=0 размерности 8х1,  – прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий левого края размерности 4х8,  – вектор внешних воздействий на левый край размерности 4х1,

 – значение искомой вектор-функции на правом крае х=1 размерности 8х1, – прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий правого края размерности 4х8,  – вектор внешних воздействий на правый край размерности 4х1.

В случае, когда система дифференциальных уравнений имеет матрицу с постоянными коэффициентами =const, решение задачи Коши имеет вид [1]:

,

 

где , где - это единичная матрица.

Матричная экспонента ещё может называться матрицей Коши или матрициантом и может обозначаться в виде:

.

Тогда решение задачи Коши может быть записано в виде:

,

где  это вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений.

Вместо формулы для вычисления вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений в виде [1]:

предлагается использовать следующую формулу для каждого отдельного участка интервала интегрирования:

.

Вычисление вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений производиться при помощи представления матрицы Коши под знаком интеграла в виде ряда и интегрирования этого ряда поэлементно:

Эта формула справедлива для случая системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей коэффициентов =const.

Вектор  может рассматриваться на участке  приближенно в виде постоянной величины , что позволяет вынести его из под знака интеграла, что приводит к совсем простому ряду для вычислений на рассматриваемом участке.

Для случая дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами в приведенной выше формуле для каждого участка может использоваться осредненная матрица  коэффициентов системы дифференциальных уравнений.

Рассмотрим вариант, когда шаги интервала интегрирования выбираются достаточно малыми, что позволяет рассматривать вектор  на участке  приближенно в виде постоянной величины , что позволяет вынести этот вектор из под знаков интегралов:

Известно, что при T=(at+b) имеем

В нашем случае имеем

Тогда получаем .

Тогда получаем ряд для вычисления вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений на малом участке :

Если участок  не мал, то его можно поделить на подучастки и тогда можно предложить следующие рекуррентные (итерационные) формулы для вычисления частного вектора:

Имеем .

Также имеем формулу для отдельного подучастка:

.

Можем записать:

,

.

Подставим  в  и получим:

.

Сравним полученное выражение с формулой:

и получим, очевидно, что:

и для частного вектора получаем формулу:

.

То есть вектора подучастков  не просто складываются друг с другом, а с участием матрицы Коши подучастка.

    Аналогично запишем  и подставим сюда формулу для  и получим:

    Сравнив полученное выражение с формулой:

очевидно, получаем, что:

и вместе с этим получаем формулу для частного вектора:

То есть именно так и вычисляется частный вектор – вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений, то есть так вычисляется, например, частный вектор  на рассматриваемом участке  через вычисленные частные вектора , ,  соответствующих подучастков , , .

Из теории матриц [Гантмахер] известно свойство перемножаемости матричных экспонент (матриц Коши):

В случае, когда система дифференциальных уравнений имеет матрицу с переменными коэффициентами , решение задачи Коши предлагается искать (как это известно) при помощи свойства перемножаемости матриц Коши. То есть интервал интегрирования разбивается на малые участки и на малых участках матрицы Коши приближенно вычисляются по формуле для постоянной матрицы в экспоненте. А затем матрицы Коши, вычисленные на малых участках, перемножаются:

,

где матрицы Коши приближенно вычисляются по формуле:

, где .

2. Метод решения жестких краевых задач без ортонормирования – метод сопряжения участков, выраженных матричными экспонентами.

Разделим интервал интегрирования краевой задачи, например, на 3 участка. Будем иметь точки (узлы), включая края:

.

Имеем краевые условия в виде:

Можем записать матричные уравнения сопряжения участков:

,

,

.

    Это мы можем переписать в виде, более удобном для нас далее:

,

,

.

где  - единичная матрица.

В итоге получаем систему линейных алгебраических уравнений:

.

Эта система решается методом Гаусса с выделением главного элемента.

Оказывается, что применять ортонормирование не нужно, так как участки интервала интегрирования выбираются такой длинны, что счет на них является устойчивым.

В точках вблизи узлов решение находится путем решения соответствующих задач Коши с началом в i-ом узле:

.

 

 

3. Составные оболочки вращения.

Рассмотрим сопряжения участков составной оболочки вращения.

Пусть имеем 3 участка, где каждый участок может выражаться своими дифференциальными уравнениями и физические параметры могут выражаться по-разному – разными формулами на разных участках:

 

В общем случае (на примере участка 12) физические параметры участка (вектор ) выражаются через искомые параметры системы обыкновенных дифференциальных уравнений этого участка (через вектор ) следующим образом:

,

где матрица  - квадратная невырожденная.

При переходе точки сопряжения можем записать в общем виде (но на примере точки сопряжения ):

,

где  - дискретное приращение физических параметров (сил, моментов) при переходе с участка «01» на участок «12», а матрица  квадратная невырожденная диагональная и состоит из единиц и минус единиц на главной диагонали для установления правильного соответствия принятых положительных направлений сил, моментов, перемещений и углов при переходе с участка «01» на участок «12», которые могут быть разными (в разных дифференциальных уравнениях разных сопрягаемых участков) – в уравнениях слева от точки сопряжения и в уравнениях справа от точки сопряжения.

Два последних уравнения при объединении образуют уравнение:

.

    В точке сопряжения  аналогично получим уравнение:

.

    Если бы оболочка состояла бы из одинаковых участков, то мы могли бы записать в объединенном матричном виде систему линейных алгебраических уравнений в следующей форме:

.

    Но в нашем случае оболочка состоит из 3 участков, где средний участок можно считать, например, шпангоутом, выражаемым через свои дифференциальные уравнения.

    Тогда вместо векторов , , , мы должны рассмотреть вектора:

.

    Тогда матричные уравнения

,

,

примут вид:

,

,

,

,

.

После перестановки слагаемых получаем:

,

,

,

,

.

В итоге мы можем записать итоговую систему линейных алгебраических уравнений:

Эта система решается методом Гаусса с выделением главного элемента.

    В точках, расположенных между узлами, решение находиться при помощи решения задач Коши с начальными условиями в i-ом узле:

.

Применять ортонормирование для краевых задач для жестких обыкновенных дифференциальных уравнений оказывается не надо.

4. Шпангоут, выражаемый не дифференциальными, а алгебраическими уравнениями.

    Рассмотрим случай, когда шпангоут (в точке ) выражается не через дифференциальные уравнения, а через алгебраические уравнения.

    Выше мы записывали, что:

    Можем представить вектор  силовых факторов и перемещений в виде:

,

где - вектор перемещений, - вектор сил и моментов.

Алгебраическое уравнение для шпангоута:

,

где G – матрица жесткости шпангоута, R – вектор перемещений шпангоута,  – вектор силовых факторов, которые действуют на шпангоут.

    В точке шпангоута имеем:

,

то есть нет разрыва в перемещениях , но есть результирующий вектор силовых факторов , который складывается из сил и моментов слева плюс сил и моментов справа от точки шпангоута.

,

,

,

,

, где ,

что справедливо, если мы не забываем, что в данном случае имеем:

,

то есть вектор перемещений и силовых факторов составляется сначала из перемещений (выше) , а потом из силовых факторов (ниже) .

Здесь необходимо вспомнить, что вектор перемещений  выражается через искомый вектор состояния :

,

,

где для удобства было введено переобозначение .

    Тогда можем записать:

,

    Запишем матричные уравнения для этого случая:

,

,

.

Распишем здесь в уравнении вектор :

,

.

Для обеспечения негромоздкости введем обозначение:

.

Тогда уравнение

примет вид:

.

Для удобства переставим слагаемые в матричных уравнениях, чтобы итоговая система линейных алгебраических уравнений записывалась очевидно:

,

,

.

    Таким образом, получаем итоговую систему линейных алгебраических уравнений:

.

    Если к шпангоуту приложено внешнее силовое-моментное воздействие , то

 следует переписать в виде , тогда:

.

Тогда матричное уравнение

примет вид:

,

.

    Итоговая система линейных алгебраических уравнений примет вид:

.

 

5. Случай, когда уравнения (оболочки и шпангоута) выражаются не через абстрактные вектора, а через вектора, состоящие из конкретных физических параметров.

    Рассмотрим случай, когда части оболочечной конструкции и шпангоут выражаются через вектора состояния (типа ), которые (в частном случае) совпадают с векторами физических параметров (типа - перемещения, угол, силы, момент). Тогда матрицы типа  будут единичными: . И пусть положительные направления физических параметров одинаковы для всех частей оболочки и шпангоута ().

Тогда будем иметь уравнения:

,

,

,

в виде:

,

,

,

где E – единичная матрица.

    Уравнения

,

,

,

,

,

    примут вид:

,

,

,

,

.

    А уравнения

,

.

примут вид:

,

, где

    Итоговая система линейных алгебраических уравнений

примет вид:

,

где .

 

    Это означает, что уравнение

принимает вид:

, (нет скачка в перемещениях и угле) и

 - равновесие шпангоута,

то есть:

 (перемещения и угол: нет разрыва)

, где (силы и момент: равновесие).