Формула для вычисления вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений
Метод «переноса краевых условий» в произвольную точку интервала интегрирования
Второй вариант метода «переноса краевых условий» в произвольную точку интервала интегрирования
Метод дополнительных краевых условий
Формула для начала счета методом прогонки С.К.Годунова
Второй алгоритм для начала счета методом прогонки С.К.Годунова
Применяемые формулы ортонормирования
Вывод формул, позаимствованный из «Теории матриц» Гантмахера
Навигация
Методы решения краевых задач, в том числе "жестких" краевых задач
Методы решения краевых задач, в том числе "жестких" краевых задач
32594
знака
0
таблиц
1
изображение
Методы решения краевых задач, в том числе «жестких» краевых задач
Методы Алексея Юрьевича Виноградова
1 Введение
На примере системы дифференциальных уравнений цилиндрической оболочки ракеты – системы обыкновенных дифференциальных уравнений 8-го порядка (после разделения частных производных).
Система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений имеет вид:
Y
(x) = A(x) ∙ Y(x) + F(x),
где Y(x) – искомая вектор-функция задачи размерности 8х1, Y(x) – производная искомой вектор-функции размерности 8х1, A(x) – квадратная матрица коэффициентов дифференциального уравнения размерности 8х8, F(x) – вектор-функция внешнего воздействия на систему размерности 8х1.
Здесь и далее вектора обозначаем жирным шрифтом вместо черточек над буквами
Краевые условия имеют вид:
U∙Y(0) = u,
V∙Y(1) = v,
где
Y(0) – значение искомой вектор-функции на левом крае х=0 размерности 8х1, U – прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий левого края размерности 4х8, u – вектор внешних воздействий на левый край размерности 4х1,
Y(1) – значение искомой вектор-функции на правом крае х=1 размерности 8х1, V – прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий правого края размерности 4х8, v – вектор внешних воздействий на правый край размерности 4х1.
В случае, когда система дифференциальных уравнений имеет матрицу с постоянными коэффициентами A=const, решение задачи Коши имеет вид [Гантмахер]:
Y(x) = e
∙ Y(x
) + e
∙
e
∙ F(t) dt,
где
e= E + A(x-x) + A
(x-x)/2! + A
(x-x)/3! + …,
где E это единичная матрица.
Матричная экспонента ещё может называться матрицей Коши или матрициантом и может обозначаться в виде:
K(x←x) = K(x - x) = e.
Тогда решение задачи Коши может быть записано в виде:
Y(x) = K(x←x) ∙ Y(x) + Y*(x←x) ,
где Y*(x←x) = e∙ e∙ F(t) dt это вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений.
2 Случай переменных коэффициентов
Этот вариант рассмотрения переменных коэффициентов проверялся в кандидатской диссертации.
Из теории матриц [Гантмахер] известно свойство перемножаемости матричных экспонент (матриц Коши):
e
= e
∙ e
∙ … ∙ e
∙ e
,
K(x
←x) = K(x←x
) ∙ K(x←x
) ∙ … ∙ K(x
←x
) ∙ K(x←x).
В случае, когда система дифференциальных уравнений имеет матрицу с переменными коэффициентами A=A(x), решение задачи Коши предлагается искать при помощи свойства перемножаемости матриц Коши. То есть интервал интегрирования разбивается на малые участки и на малых участках матрицы Коши приближенно вычисляются по формуле для постоянной матрицы в экспоненте. А затем матрицы Коши, вычисленные на малых участках, перемножаются:
K(x←x) = K(x
←x) ∙ K(x←x) ∙ … ∙ K(x←x) ∙ K(x←x),
где матрицы Коши приближенно вычисляются по формуле:
K(x
←x
) = e
, где ∆x= x
- x.
Похожие работы
11612
0
6
... матрицы в экспоненте. А затем матрицы Коши, вычисленные на малых участках, перемножаются: , где матрицы Коши приближенно вычисляются по формуле: , где . 2. Метод решения жестких краевых задач без ортонормирования – метод сопряжения участков, выраженных матричными экспонентами. Разделим интервал интегрирования краевой задачи, например, на 3 участка. Будем иметь точки (узлы), ...
... . 4. Какие основные факторы нужно определить прежде, чем формировать инвестиционный портфель клиента? 5. Опишите простую структуру инвестиционного портфеля. ВВЕДЕНИЕ РАЗВИТИЕ РЫНКА ЦЕННЫХ БУМАГ В РОССИИ И ЗАДАЧИ РЕГУЛИРОВАНИЯ Рынок ценных бумаг в России начал свое формирование в первой половине 1991 г. после принятия известного Постановления Совета министров РСФСР ¹ 601 от 25 ...
... . А организованная преступность ещё имеет причины общие с неорганизованной преступностью. 3.3 Методы борьбы с организованной преступностью.21 В основе предупреждения организованной преступности лежат общесоциальные и экономические меры.Прежде всего нужны эффективные законы, отвечающие характеру современной преступности. Сегодняшний уголовный закон ...
... на поздних стадиях начинают проявляться ряд факторов объективного, природного характера, осложняющие ситуацию в решении парафиновой проблемы и снижающие эффективность традиционных мероприятий. 3.3 Методы используемые в НГДУ “Нурлатнефть” по предотвращению отложений АСПО 3.3.1 Механические методы борьбы с АСПО и технология работ при их применении Группа механических методов борьбы с ...
0 комментариев