Войти на сайт

или
Регистрация

Навигация


Задачи Циолковского

3605
знаков
0
таблиц
0
изображений

Рассмотрим две задачи Циолковского: прямолинейное дви­жение точки переменной массы под действием только одной реактивной силы и вертикальное движение точки вблизи Земли в однородном поле силы тяжести. Эти задачи впервые рассматривались К. Э. Циолковским.

Первая задача Циолковского

Пусть точка переменной массы или ракета движется прямолинейно в таком называемом, по терминологии Циолков­ского, свободном пространстве под действием только одной реактивной силы. Считаем, что относительная скорость , отделения частиц постоянна и направлена в сторону, противо­положную скорости  движения точки переменной массы (рис. 1). Тогда, проецируя на ось Ох, направленную по скорости движения точки, дифференциальное уравнение прямо­линейного движения точки переменной массы принимает вид

.

Разделяя переменные и беря интегралы от обеих частей, имеем

Рис. 1


,

где — начальная скорость, направленная по реактивной силе; —начальная масса точки.

Выполняя интегрирование, получаем

. (14)

Если в формулу (14) подставить значения величин, характеризующих конец горения, когда масса точки (ракеты) состоит только из массы несгоревшей части (массы приборов и корпуса ракеты) , то, обозначая через т массу топлива, для скорости движения v1 в конце горения имеем

.

Вводя ч и с л о Ц и о л к о в с к о г о Z==m/Mp, получаем сле­дующую формулу Циолковского:

. (15)

Из формулы Циолковского следует, что скорость в конце горения не зависит от закона горения, т. е. закона изменения массы. Скорость в конце горения можно увеличить двумя путями. Одним из этих путей является увеличение относитель­ной скорости отделения частиц  или для ракеты увеличения скорости истечения газа из сопла реактивного двигателя.

Современные химические топлива позволяют получать ско­рости истечения газа из сопла реактивного двигателя порядка 2...2,3 км/с. Создание ионного и фотонного двигателей позво­лит значительно увеличить эту скорость. Другой путь увеличе­ния скорости ракеты в конце горения связан с увеличением так называемой массовой, или весовой, отдачи ракеты, т. е. с увеличением числа Z, что достигается рациональной конструк­цией ракеты. Можно значительно увеличить массовую отдачу ракеты М0р путем применения м н о г о с т у п е н ч а т о й раке­ты, у которой после израсходования топлива первой ступени отбрасываются баки и двигатели от оставшейся части ракеты. Так происходит со всеми баками и двигателями уже отработав­ших ступеней ракеты. Это значительно повышает число Циолковского для каждой последующей ступени, так как уменьшается Мр за счет отброшенных масс баков и двигателей.

Для определения уравнения движения точки переменной массы из (14) имеем

,

или, выполняя интегрирование после разделения переменных и считая х=0 при t=0, получаем

.  (16)

В теоретических работах по ракетодинамике обычно рас­сматривают два закона изменения массы: линейный и по­казательный. При линейном законе масса точки с течением времени изменяется так:

M=M0 (1-at), (17)

где a=const (a—удельный расход), а М0—масса точки в начальный момент времени.

При показательном законе изменение массы

. (18)

Выполняя интегрирование в (16) при линейном законе изменения массы (17), получаем следующее уравнение движения:


. (19)


При показательном законе изменения массы (18) соответ­ственно

. (20)

Отметим, что при линейном законе изменения массы (17), если =const, секундный расход массы

(- dM/dt) =aM0 = const

и реактивная сила

= const.

При показательном законе секундный расход массы и ре­активная сила являются переменными, но ускорение точки переменной массы , вызванное действием на точку одной реактивной силы , является постоянным, т. е.

=const.


Информация о работе «Задачи Циолковского»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 3605
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 0

Похожие работы

Скачать
54015
1
9

... прогрессии, то скорость ракеты увеличивается в прогрессии арифметической». Этот закон можно выразить двумя рядами чисел:   2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=64 27=128 1 2 3 4 5 6 7 «Положим, например, — пишет Циолковский, — что масса ракеты и взрывчатых веществ составляет 8 единиц. Я отбрасываю четыре единицы и получаю скорость, кото­рую мы примем за ...

Скачать
23023
0
0

... Совнаркома Циолковскому была назначена персональная пенсия в 500000 рублей. После этого он смог оставить преподавание в школе и всецело сосредоточиться на научной деятельности. Начали переиздаваться его старые работы и печататься новые (с 1925 по 1932 гг. было опубликовано 60 работ Циолковского). Имя его в это время делается широко известным не только в нашей стране. Но и за рубежом. Но особенно ...

Скачать
15979
0
8

... а 9 ноября 1921 год ученому была назначена пожизненная пенсия за заслуги перед отечественной и мировой наукой. Эту пенсию выплачивали до 19 сентября 1935 года - в тот день величайший человек, Константин Эдуардович Циолковский умер в ставшем ему родным городе Калуге. Константин Эдуардович Циолковский - русский учёный и изобретатель в области ...

Скачать
25587
0
0

... самую младшую дочь — Екатерину— она скончалась в 1875 году, во время отсутствия Константина), глава семейства вышел в отставку. В 1878 году вся семья Циолковских вернулась в Рязань. Научные труды Самая первая работа Циолковского была посвящена механике в биологии. Ей стала написанная в 1880 году статья «Графическое изображение ощущений». В ней Циолковский развивал свойственную для него в то ...

0 комментариев


Наверх