Задание характеристик элементов измерительной

4. Задание характеристик элементов измерительной

системы

Источник излучения газовый He-Ne лазер ЛГН-207А:

Диаметр пучка на растоянии 40 мм от переднего зеркала резонатора 0.52 мм.

Длина волны излучения 0.6328 мкм.

Расходимость излучения 1.85 мрад.

Мощность 2 мВт.

Характеристики оптичесих элементов:

Длина линии задержки 15 мм.

Высота линии зажержки 4 мм.

Диаметр фурье-объектива 24 мм.

Фокусное растояние фурье-объектива 104.98 мм.

Характеристики приемника излучения:

ПЗС-матрица, производстведена в Японии.

Количество элементов 512х340.

Размер чувствительной прощадки одного элемента 20х20 мкм.

Спектральная чувствительность 0.4 B/Вт.

Пороговый поток 10-12 Вт.

5. Математическая модель измерительной

системы

Оптическая система КОС, выполненная по схеме “входной транспарант перед фурье-объективом”, состоит из ряда последовательно расположен-ных вдоль оптической оси узлов: источник когерентного излучения, входной транспарант, фурье-объектив, фоторегистратор спектра (рис.2).

В такой системе, для получения высококонтрастного и сфокусирован-ного изображения исследуемого сигнала, источником когерентного излу-чения является точечный источник, излучаемое поле которого описывается функцией:  (5.1), где А0-амплитуда световой волны источника;  - дельта-функция Дирака. Кроме того, в оптике принято считать источник точечным, если его размеры в десять и более раз меньше растояния до оптической системы, что обычно всегда имеет место на практике для КОС.

Тогда, распределение поля  в плоскости х1у1 согласно принципу Гюйгенса-Френеля, будет описываться выражением :

 (5.3), где - оператор преобразования Френеля ; СФ- комплексная постоянная, равная . Если в плоскости х1у1 помещен пространственный транспарант с амплитудным коэфициентом пропускания , являюшийся записью исследуемого сигнала, то распределение поля за транспарантом может быть описано как

 (5.2).

Применив принцип Гюйгенса-Френеля (5.3), можно определить распре-деление светового поля в плоскости х2у2 перед фурье-объективом, а поле за ним - применив (5.2).

Таким образом, распределение поля в плоскости х3у3 анализа будет описываться :

 (5.4), где - оператор Френеля для преобразования поля на i-м участке свободного пространства толщиной li.

Рассмотрим последовательно распостранение когерентной световой волны в оптической системе КОС, представленной на рис. 2.

Подставив (5.1) в (5.3), определим распределение светового поля во входной плоскости х1у1 перед транспарантом  

, где  (5.5).

Выражение (5.5) получено с использованием фильтрующего свойства дельта-функции и описывает расходящуюся сферическую волну в плоскости х1у1 перед входным транспарантом в параксиальном приближении. Исполь-зование фильтрирующего свойства  -функции допустимо в силу прост-ранственной инвариантности рассматриваемой параксиальной области оптической системы. Такое допущение обычно всегда имеет место на прак-тике, поскольку для уменшения влияния аберраций оптической системы на качество фурье-образа, используют лишь ее центральную часть - парак-сиальную область.

Определив распределение поля за входным транспарантом  c ис-пользованием (5.2), поле во входной плоскости фурье-объектива, согласно принципу Гюйгенса-Френеля, можно представить как

 (5.6), где  - постоянный фазовый коэфициент Френеля; S1 -область интегрирования по аппертуре входного транспаранта.

Распределение поля в плоскости х2у2 за фурье-объективом, согласно (5.2) будет

 (5.7), а подставив (5.6) в (5.7) с учетом (5.3), распределение поля в плоскости х3у3 анализа можно представить в виде :

 (5.7),

где  (5.8).

Поскольку переменные х1, у1 и х2, у2 интегрирования, в полученном выражении (5.7), являются величинами взаимонезависимыми, то их можно поменять местами, а (5.7) примет вид:

 (5.9),

где  (5.10), а - функция зрачка фурье-объектива, удовлетворяющая условиям (5.10) финитности в области .

Для анализа выражения (5.9), рассмотрим отдельно внутренний интег-рал, который описывает суперпозицию светового поля по входной аперту-ре  фурье-объектива и группируя совместно одинаковые экспотенциаль-ные сомножители, упростим его. Формальное увеличение пределов интег-рирования по входной апертуре  фурье-объектива до бесконечности возможно, поскольку размеры входного транспаранта  всегда на мно-го меньше аппертуры  фурье-объектива, а также чем требуется по усло-виям параксиальности Френеля и условию (5.10) финитности функции зрачка фурье-объектива. Поэтому дифракционное изображение сигнала  в плоскости х3у3 анализа ограничено не апертурой  фурье-объек-тива, а апертурой  входного транспаранта. Это влияние уменшается, чем ближе расположен входной транспарант к фурье-объективу, т.е. чем меньше растояние , что обычно всегда выполняется на практике. Учитывая это можно записать  в пределах области интегрирова-ния

 (5.11).

Выражение (5.11) содержит два взаимонезависимых подобных интегра-ла  и , каждый из которых может быть вычислен с использованием табличного интеграла вида :

 (5.12). Применив (5.12) к (5.11), но предва-рительно обозначив через

,  и  (5.12), выражение (5.11) можно представить в виде :

 (5.13).

Подставив (5.13) в (5.9) получим

 (5.14).

Выражение (5.14) описывает пространственное распределение комп-лексных амплитуд светового поля в плоскости х3у3 спектрального анализа и содержит ряд взаимонезависимых квадратичных фазовых сомножителя, по-ле в плоскости х3у3 является фурье-образом поля в плоскости х1у1 за входным транспарантом  с пространственными частотами  и , равными  , и  (5.15)

Подинтегральный квадратичный сомножитель в выражении (5.14) для распределения поля в плоскости х3у3 анализа

 (5.16), при

 (5.17)

Решив уравнение (5.17) относительно  определим

(5.18).

Полученное уравнение (5.18) представляет собой известное условие Гауса о фокусировке оптической системы, согласно

 (5.19)

Таким образом, только при условии фокусировки оптической системы, представленной на рис.2, в ней осуществляется спектральное преобразо-вание Фурье, формируемое в плоскости х3у3, над сигналом , поме-щенным во входной плоскости х1у1. Однако, фурье-образ сигнала содержит квадратичную модуляцию фазы волны из-за наличия фазового сомно-жителя, стоящего перед интегралом в выражении (5.14). Наличие фазовой модуляции фурье-образа приводит к тому, что при регистрации его методами голографии в результирующей интерферограмме возникают дополнительные аберрации, значительно влияющие на его качество. Эта модуляция также имеет важное значение и не может быть опущена в случае дальнейших преобразований деталями оптической системы фурье-образа  сигнала . Однако, квадратичная модуляция фазы фурье-образа может быть устранена при соответствующем выборе геометри-ческих параметров оптической системы, т.е.

 (5.20) при  (5.21).

Решив уравнение (5.21) относительно  находим

 (5.22) при =0, либо .

Таким образом, квадратическая фазовая модуляция фурье-образа устра-нима лишь в двух случаях:

при размещении сигнального транспаранта в передней фокальной плоскости фурье-объектива, что полностью совпадает с полученными ранее результатами исследований, но лишь для КОС с плоской вол-ной во входной плоскости, т.е. при .

при , т.е. плоскость х3у3 спектрального анализа должна совпа-дать с плоскостью х2у2 размещения фурье-объектива, что физически нереализуемо в оптической системе, согласно условию Гауса.

Учитывая (5.16) и (5.20) выражение (5.14) можно представить в виде:

  (5.23),

откуда видно, что квадратичные фазовые искажения фурье-образа (5.14) сигнала устранимы не только при освещении входного транспаранта плос-кой, но и сферической волной при выполнении условий (5.18 ) и (5.22).

Выходной электрический сигнал ФИС представляет собой решение известной в оптике задачи о набегании светового пятна, распределение освещенности в котором описывается выражением:

 , на узкую щеле-вую диафрагму вдоль координаты х3. Наиболее общим методом решения подобных задач является вычисление интеграла свертки функции освещенности с функцией  пропускания полевой диафрагмы ФИС, равной:

 (5.24), где - ширина щели вдоль координаты х3, - высота щели вдоль координаты у3.

Распределение  комплексных амплитуд световой волны в плос-

кости х3у3 анализа КОС описывается выражением (5.23) и является прост-ранственно-частотным фурье-образом входного сигнала  т.е.

.

Из уравнений Максвелла для электромагнитной волны следует, что энергия преносимая волной, пропорциональна квадрату амплитуды напря-женности электромагнитного поля, т.е.

 (5.25), где К - постоянный коэфициент, зависящий от свойств среды, где распостраняется электромагнитная волна [14, 23]. Поэтому пространственно-частотный энергетический спектр  входного сигнала  пропорционален распределению освещенности  в плоскости спектрального анализа КОС, т.е.

(5.26), где ,

- взаимосвязь между пространственными х(у) и пространственно-частотными  координатами в плоскости спектрального анализа КОС;  комплексная постоянная, определяемая (5.8).

Тогда согласно [11, 12] выходной сигнал ФИС с безинерционным фотоприемником, воспринимающим весь световой поток, прошедший через полевую диафрагму, можно определить как

 (5.27), где - интегральная чувствитель-ность фотоприемника; - положение центра полевой диафрагмы в фиксированный момент времени при измерении сечения спектра  вдоль координаты .

Так как в общем виде интеграл свертки (5.27) вычисляется аналитически лишь для простых элементарных функций, то при вычислении свертки сложных монотонно-гладких функций, значительно отличающихся по шири-не, допускают аппроксимацию результата более широкой функцией, что обеспечивает погрешность не более 6-10% в пределах более широкой функции [10, 17, 18].

Поэтому для повышения точности измерения спектра и упрощения вычисления интеграла (5.27), ширина полевой диафрагмы  выбрана равной 20 мкм, что в десятки раз меньше ширины максиумов функции .

Применительно к рассматриваемому случаю выражение (5.27) с учетом (2.16) и (5.24) может быть представлено в виде

(5.28).

Полученное выражение (5.28) описывает форму электрического сигнала на выходе ФИС при сканировании энергетического спектра пространствен-ной структуры ЛЗ узкой щелевой диафрагмой. Из (5.28) видно, что форма выходного сигнала ФИС повторяет форму спектра с точностью до коэфи-циента пропорциональности, зависящего от размеров полевой диафрагмы ФИС и коэфициента - масштаба КОС. Поэтому, измеряя амплитудно-временные параметры выходного электрического сигнала ФИС соответст-вующей аппаратурой, можно реализовать амплитудный метод контроля величины среднего квадратического отклонения ширины щелей в прост-ранственной структурк ЛЗ.

При амплитудном методе контроля с помощью КОС величины среднего квадратического отклонения  ширины щелей в пространственной струк-туре ЛЗ необходимо на выходе ФИС измерять величину амплитуд отдельных максимумов ее энергетического спектра на частотых . Тогда, подставив  в (5.28) с учетом, что  и выполнив ряд алгеб-раических преобразований можно показать, что амплитула -го максимума спектра, измеряемого на выходе ФИС, будет равна

 (5.29), а использовав тож-дество (653.4) из [20], амплитуду -го максимума спектра представим в виде

(5.30).

Из формулы (5.30) видно, что действительно с увеличением порядкового номера  максимумов, амплитуда  их резко убывает.

Кроме того, с увеличением параметров  либо , амплитуда макси-мумов спектра убывает по обратнопропорциональной гиперболической

тангенциальной зависимости. Поскольку в результате статистических исследований было установлено, что  является практически величиной постоянной [1] по сравнению с диапазоном измерений , то целесообраз-но рассматривать функциональную зависимость амплитуд максимумов спектра от параметра , приняв  постоянным и равным 8 мкм.

Однако линейная зависимость амплитуд  максимумов спектра от освещенности  пространственной квазипериодической структуры ЛЗ приведет к значительным погрешностям амплитудного метода контроля лишь абсолютных значений амплитуд  максимумов спектра. Эти погреш-ности возникают из-за нестабильности выходной мощности излучения лазе-ра при температурных дрейфах его резонатора, которая достигает 20-30% от  [19]. Поэтому, используя относительные измерения путем опреде-ления величины отношения  амплитуд -го и -го максимумов спектра

 (5.31),

можно избавиться от влияния временных флуктуаций выходной мощности излучения лазера.

Полученное выражение (5.31) является уравнением амплитудного мето-да контроля величины СКО  ширины щелей в пространственной структуре ЛЗ. В работе [1] показано, что для  и  функция  являет-ся монотонно убывающей по мере увеличения . Однако крутизна измене-ния функции, характеризующая чувствительность метода, функционально зависит от соотношения номеров  и , используемых для измерения максимумов. Поэтому для повышения чувствительности амплитудного мето-да контроля по алгоритму, описанному уравнением (5.31), необходима его оптимизация, т.е. выбор таких номеров  и  максимумов, при которых достигается максимальная чувствительность функции  к изменению параметра . Согласно теории чувствительности [21, 22] - чувствитель-ность  функции  к изменению СКО  выражается ее первой частной производной по параметру , т.е.

 (5.32), а определив производные (5.30), которые равны

 (5.33),

 (5.34), и подставив (5.25), (5.33) и (5.34) в (5.32), а также выполнив ряд алгебраических преобразований, получим:

 (5.35).

Анализ этого выражения выполнен в работе [1]. Получены следующие результаты:

чувствительность  амплитудного метода контроля величины СКО  при  повышается при выборе -го максимума спект-ра как можно высшего порядка;

с увеличением порядкового номера , а также параметра  амплитуды максимумов резко уменшаются.

Это может привести к значительным техническим сложностям измере-ний на фоне шумов, а также к снижению чувствительности измерительной системы.

Поскольку шумы на выходе ФИС и статические характеристики квазипе-риодической структуры ЛЗ являются взаимонезависимыми величинами, то выходной сигнал ФИС представляет собой аддитивную смесь шумов с полезным сигналом. Поэтому минимальное значение амплитуды -го макси-

мума энергетического спектра, которое может быть аппаратурно зарегист-рировано по выходному сигналу ФИС, достигается при  и должно быть в  раз больше величины среднего квадратического напряжения  шумов ее приемника, т.е.

(5.36), где - требуемый коэфициент отношения сигнал/шум выходного сигнала фотоприемника ФИС. Тогда подставив (5.36) в уравнение (5.30) аиплитуд получим:

 или

 (5.37), откуда имеем

 (5.38).

Полученное выражение (5.38) позволяет определить максимально допустимую величину СКО , доступную для контроля амплитудным ме-тодом, в зависимости от номеров используемых максимумов спектра и шу-мов ФИС. Из выражения (5.38) следует, что увеличить допустимое значение  можно путем уменшения шумов  ФИС, либо увеличения освещен-ности  квазипериодической структуры ЛЗ. Увеличение  за счет по-вышения  достигается благодаря работе ФИС по пороговому сигналу лишь от одного, т.е. -го максимума. При этом амплитуда другого, т.е. -го максимума, не является пороговой для ФИС, поскольку в (5.31) она всегда больше амплитуды -го максимума.