Некоторые темы геометрии

 

ТЕМА 1. Скалярные и векторные величины

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СКАЛЯРНЫХ И ВЕКТОРНЫХ ВЕЛИЧИН.

Величины называют скалярными (скалярами), если они после выбора единиц измерения полностью характеризуются одним числом.

Если некоторая скалярная величина полностью определяется одним числом, не зависящим от выбора осей отсчета, то тогда говорят о чистой скалярной величине или об истинном скаляре.

Если некоторая скалярная величина определяется одним чис­лом, абсолютная величина которого не зависит от выбора осей от­сче­та, а ее знак зависит от выбора положительного направления на осях ко­ор­динат, то тогда говорят о псевдоскалярной величине

ВЕКТОР

Величина называется вектором (векторной), если она определяется двумя элементами различной природы: алгебраическим элементом - числом, показывающим длину вектора и являющимся скаляром, и геометрическим элементом, указывающим направление вектора.

Геометрически принято изображать вектор направленным отрезком. Зная координаты начала и конца вектора  и , можно найти координаты вектора, определяемого этими точками , т.е. от координат конца вычитают координаты начала вектора.

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ

Сложение и вычитание

Сложение и вычитание векторов производят геометрически (рис. 7). Этот способ называют правилом треугольника.

Математически сложение записывают  или , если речь идет о вычитании векторов (рис. 7).

Если в пространстве задано несколько векторов, число которых больше двух, то операцию сложения (вычитания) записывают как Геометрически этот способ называют правилом многоугольника.

Умножение вектора на скалярную величину. При умножении вектора  на скаляр a получают новый вектор , совпадающий по своему типу с исходным, длина (модуль) которого изменяется в a раз, а направление совпадает с направлением исходного вектора , если a > 0, или противоположно исходному вектору, если a < 0. В координатной форме, если , то .

 

КОЛЛИНЕАРНЫЕ И КОМПЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ

Два одинаково направленных и параллельных вектора называют коллинеарными. Коллинеарные векторы могут быть разной длины

Два вектора и называют коллинеарными, если существуют такие два числа a и b, не равные нулю одновременно, что выполняется равенство

Три вектора ,и назовем компланарными, если существуют такие три числа a, b и g, не равные одновременно нулю, что выполняется равенство

ТЕМА 2. Действия над векторами

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Скалярным произведением двух векторов иназывается число S =|| || сos (). Эта операция обозначается .В частности, скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, т.е. . Если один из перемножаемых векторов единичный, то:

  .

В этом случае результат представляет собой проекцию вектора  на направление единичного вектора . Следовательно, любой вектор можно представить как , где  - проекции вектора  соответственно на оси 0х, 0у и 0z.

Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то эти векторы ортогональны. Действительно, если ни один из векторов не нулевой, то, по определению скалярного произведения, последнее может быть равно нулю только тогда, когда , т.е. .

РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО КООРДИНАТНЫМ ОРТАМ.

Если вектор представлен через проекции на базисные векторы, то говорят о разложении вектора  по ортогональному базису. Из рисунка видно, что в этом случае вектор  является главной диагональю прямоугольного параллелепипеда, ребра которого параллельны осям координат и равны длинам проекций вектора  на эти оси. Из этого же рисунка следует, что модуль вектора  численно будет равен

.

Из определения скалярного произведения следует, что любой вектор, независимо от типа, можно представить в виде:

,

где ,  и есть скалярное произведение вектора  с ортами осей координат. Тогда из последнего равенства имеем

где a, b и g - углы, которые составляет вектор соответственно с осями 0х, 0у и 0z.

СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ.

Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то эти векторы ортогональны. Действительно, если ни один из векторов не ну­­левой, то, по определению скалярного произведения, последнее может быть равно нулю только тогда, когда , т.е. .

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ В КООРДИНАТНОЙ ФОРМЕ

Скалярное произведение векторов в координатной форме

.

 

ТЕМА 3. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение трех

векторов.

ПРАВАЯ И ЛЕВАЯ ТРОЙКИ ВЕКТОРОВ

Линейно независимые векторы ,  и образуют правую тройку векторов, если они имеют такую же ориентацию, как соответственно большой, указательный и средний палец правой руки, в противном случае говорят о левой тройке векторов

Три единичных вектора i, j, k, попарно ортогональные друг другу и образующие правую тройку векторов, называют прямоугольной декартовой системой координат.

Углом между векторами и называют такой угол a, не превосходящий p, на который нужно повернуть вектор , чтобы совместить его с направлением вектора , начало которого должно совпадать с началом .Угол между векторами обозначается (,) или (^Ù).

 

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

Под векторным произведением векторов и понимают вектор , имеющий длину и направленный перпендикулярно к плоскости ,определяемой векторами и , причем так, что векторы ,и образуют правую тройку векторов (длина вектора  численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах  и как на сторонах (это геометрический смысл векторного произведения).

Векторное произведение обозначают: или . Очевидно, что  (из определения векторного произведения). . Векторное произведение подчиняется только распределительному закону:

.

СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТРЕХ ВЕКТОРОВ

Смешанным про­из­ве­дением векторов , и назовем чис­ло К, равное объ­е­му па­рал­ле­ле­пи­пе­да, построенного на этих век­то­рах (рис. 10) и вычисляемое как:

Очевидно, что если , и  компланарны, то К = =0.

Из определения смешанного произведения следует интересный факт, что произведение не зависит от порядка следования векторов в смешанном произведении, так как объем параллелепипеда (положительный или отрицательный) зависит только от расположения этих векторов в пространстве (левая или правая тройка) потому, что является псевдоскаляром. Следовательно, можно записать

 или .

Это свойство смешанного произведения служит обоснованием упрощения записи смешанного про­из­ве­дения:

.

ТЕМА 4. Прямая линия на плоскости.

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ

На плоскости, заметим, могут быть заданы только двухмерные, или плоские преобразования.

Уравнение , связывающее две переменные x и y называется уравнением линии L в выбранной плоской системе координат, если координаты любой точки этой линии L удовлетворяют уравнению, а любые другие координаты точек, не принадлежащих лини L, не удовлетворяют указанному уравнению.

По определению линия — это есть соотношение, связывающее координаты точек некоторой области пространства, и, причем только эти координаты. Уравнение представляет собой аналитическую запись уравнения любой плоской линии.

.

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ С ЗАДАННОЙ ТОЧКОЙ И НАПРАВЛЯЮЩИМ ВЕКТОРОМ

Если вместо подставить его численное значение, от получим известное уравнение прямой

.

Известно, что уравнение прямой имеет вид:

.

По условию задачи k задан. Точка M (x₀ ,y₀) должна также принадлежать искомой прямой и, по определению линии, обращать уравнение прямой в тождество. Воспользуемся этим и подставим значения x₀ и y₀ в уравнение, получим _:

.

В последнем уравнении неизвестно b. Элементарным преобразова­ни­ем из последнего уравнения получим

.

Найденное b подставим в уравнение и окончательно

.

Уравнение является уравнением прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении.

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ ПО ДВУМ ТОЧКАМ

Неизвестен k - угловой коэффициент наклона линии по отношению к положительному направлению 0X. Однако, зная общий вид уравнения прямой ( ) и учитывая, что обе точки расположены на искомой линии, можно составить следующую систему:

 ,

где  – координаты точек M₁ и M₂ соответственно, (из­вест­ны), а k и b – искомые неизвестные. Вычитая из первого уравнения второе, выразим k,

.

Подставим найденное k в любое из уравнений и определим b

 .

Подставим найденные k и b в уравнение прямой

.

Преобразуем последнее уравнение

и окончательно

.

Данное уравнение называется уравнением прямой, проходящей через две точки.

ТЕМА 5. Прямая и плоскость в пространстве.

УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ.

Любая поверхность есть геометрическое место точек, ее составляющих, определенное уравнением  

Иными словами, все точки, которые удовлетворяют этому уравнению, будут принадлежать поверхности.

Пусть в пространстве XYZ задана плоскость a и к ней в точке K проведем вектор нормали . Так как плоскость a ориентирована произвольно в пространстве,  то вектор будет составлять с осями x, y, z углы a, b и g соответственно.

Выберем на плоскости a точку M, не совпадающую с K и свяжем с этой точкой вектор . Очевидно, что , где r – модуль вектора , из уравнения получаем  .

Получаем нормальное уравнение плоскости: .

Однако, если представим вектор  как , а вектор  , тогда подставив полученные выражения, получаем

Зная, что для любой точки, принадлежащей плоскости, с координатами (A,B.C) можно вычислить направляющие косинусы

с учетом которых можно уравнение преобразовать

,

которое известно, как уравнение плоскости.

ПРЯМАЯ КАК ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ

Прямой линией назовем пересечение двух плоскостей в пространстве. Определение можно записать математически как .

ВЕКТОРНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ

Пусть плоскости a и b (рис. 6) за­да­ны уравнениями:

и

,

где ; ,

система из этих уравнений:

Уравнения называются общими уравнениями прямой в

пространстве, записанными в векторной форме.

ТЕМА 6Матрицы и определители.

МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

Матрицей A называется любая прямоугольная таблица, составлен­ная из чисел , которые называют элементами матрицы и обозначается

Если в выражении (1) , то говорят о квадратной матрице, а если , то о прямоугольной.

Суммой двух матриц  и  называется матрица C, у которой , и записывают .

Произведением матрицы на число  называется такая

 матрица C = (c_ij), у которой (c_ij) = (ka_ij).

Если матрица A не нулевая, т.е. существует хотя бы один  элемент матрицы A, отличный от нуля, тогда всегда можно указать натуральное число  та­кое, что 1) у матрицы A имеется минор го порядка ; 2) всякий минор матрицы A порядка  и выше равен нулю, тогда число , обладающее указанными свойствами называется рангом матрицы A и обозначается . Из определения вытекает, что 1) ранг любой прямоугольной матрицы не должен быть больше, чем минимальный размер матрицы. Если матрица квадратная, то ранг не может быть больше, чем размер матрицы. Математически это можно выразить так  2) если все элементы матрицы A равны нулю, т. е.  ,то ранг этой матрицы тоже будет равен нулю .

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ИХ СВОЙСТВА

Определителем n-го порядка называется число  равное алгебраической сумме , где  есть алгебраические дополнения элемента , а - есть соответствующие миноры, т.е. определители (n-1)-го порядка, получающиеся из исходного определителя вычеркиванием первой строки и n-го столбца, на пересечение которых находится элемент .

Количество строк (или столбцов) в определителе называется порядком определителя

СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Решением системы называется совокупность из n чисел (с₁, с₂, ..., с_n), которые, будучи подставленными в систему на место неизвестных x₁, x₂, ..., x_n, обращают все уравнения системы в истинные равенства

Систему уравнений, имеющую хотя бы одно решение, называют совместной, систему, не имеющую решений, - несовместной.

Решения  и  считают различными, если хотя бы одно из чисел  не совпадает с соответствующим числом

Если совместная система имеет единственное решение, то она называется определнной; если совместная система имеет по крайней мере два различных решения, то она называется неопределенной.

Формулы Крамера .

Метод Гаусса.

Пусть А - невырожденная матрица, то есть det A 0, и, следовательно, она имеет обратную матрицу А^-1. Умножив обе части на А^-1 слева, получаем:

А^-1 (А Х) = А^-1 В (А^-1 А)Х = А^-1 В Е Х = А^-1 В, то есть Х = А^-1 В и есть искомое решение системы (14). Действительно, подставив (16) в (14), получим А (А^-1 В) = (А^-1 А)В = Е В = В.

ТЕМА 7. Предел функции.

ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ.

Если некоторому множеству значений  поставлено по определенному правилу F во взаимнооднозначное соответствие некоторое множество , то тогда говорят, что на множестве определена функция . Множество называется областью изменения функции, множество – областью определения функции. Такая функция называется однозначной.

ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ. ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Если некоторому множеству значений  поставлено по определенному правилу F несколько значений из множества , то тогда говорят, что на множестве задана многозначная функция.

Для того чтобы обозначить, что есть функция от, используют следующие виды записи: ; ; и т.д.

Если невозможно выразить , тогда говорят, что задана неявная функция и записывают: ; ; и т.д.

Если надо выделить некоторое частное значение функции, соответствующее какому-либо конкретному значению , тогда записывают: .

Если каждому натуральному n по какому-либо известному правилу поставлено в соответствие некоторое число , тогда говорят, что задана последовательность , которая обозначается как  Правило, по которому формируется последовательность , обозначается как  и называется общим числом последовательности. Число  назовем пределом последовательности при стремящимся к , если для любого положительного, наперед заданного числа e, определяющего окрестность точки A, можно указать такую d, что для любого , отличного от из отрезка  значений функции  принадлежит  и это записывают как .

Последовательностьназывается бесконечно большой, если для любого числа  найдется номер N, такой что для всех  выполняется неравенство . Геометрически это обозначает, что какой бы большой номер числа последовательности мы ни взяли, то всегда найдется число, принадлежащее этой последовательности, и лежащее правее выбранного, если последовательность составлена из положительных чисел, или левее, если последовательность составлена из отрицательных. Это записывают , или .

Последовательность называется бесконечно малой, если

ТЕОРЕМА: Для того чтобы последовательностьсходилась к числу A не­обходимо и достаточно, чтобы выполнилось равенство , где .

Эта теорема дает связь между пределом сходящейся последовательности и бесконечно малыми.

Функции называется непрерывной при или в точке , если выполняется .А так как функция при этом должна быть непрерывной в точке , то должно быть справедливо .

Функция  называется непрерывной в точке , если для всех положительных, сколь угодно малых e можно указать такое положительное число , для которого выполняется неравенство  для всех  из отрезка .

ТЕМА 8. Производная.

ПРОИЗВОДНАЯ, ЕЁ СВОЙСТВА И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ. ПРОИЗВОДНАЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Если отношение  имеет предел при  этот предел называ­ют производной функции  при заданном значении и записывают .

Производная функции  в точке  численно равна тангенсу угла, который составляет касательная к графику этой функции построенной в точке  с положительным направлением с осью

Из определения ясно - в случае убывающей функции производная отрицательна. Это объясняется тем, что , еслибудет отрицательным. На этом свойстве производной основано исследование поведения функции на возрастание (убывание) на заданном отрезке.

Производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных. .

Производная произведения равна .

Если функция  имеет в точке  производную  и функция  имеет в точке  производную , тогда сложная функция  имеет в точке  производную, равную

Если  имеет в точке  производную, отличную от нуля, тогда в этой точке обратная функция  также имеет производную и имеет место соотношение .

Дифференцируя производную первого порядка, можно получить производную второго порядка, а, дифференцируя полученную функцию, получаем производную третьего порядка и т.д.

Пример 1. ; ; ; ...; ; .

Пример 2. ; ; ; ; . Так как , то можно предположить, что в данном случае функцию можно дифференцировать бесконечное количество раз.

Пример 3. . . Как и во втором примере, эта функция дифференцируема бесконечное количество раз.

Пример 4. . ; ; ; … ; ...Как следует из приведенных примеров, разные функции ведут себя по-разному при многократном дифференцировании. Одни имеют конечное количество производных высших порядков, другие – переходят сами в себя, а третьи, хотя и дифференцируемы бесконечное количество раз, но порождают новые функции, отличные от исходной. Однако все сформулированные теоремы о производных первых порядков выполняются для производных высших порядков.

ТЕМА 9. Экстремум функции.

ВОЗРАСТАНИЕ (УБЫВАНИЕ) ФУНКЦИЙ

Функция называется возрастающей на некотором промежутке , если на этом промежутке большему значению независимой переменной соответствует большее значение функции, т.е. если  и  , то выполняется .

Функция называется убывающей на некотором промежутке , если на этом промежутке большему значению независимой переменной соответствует меньшее значение функции, т.е. если  и , , то .

Если функция определима и непрерывна на некотором отрезке  и на концах отрезка имеет знак, то на указанном отрезке эта функция имеет по крайне мере хотя бы одну точку, в которой .

ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ

Функция  достигает своего максимума в точке , если ее значение в окрестности этой точки меньше, чем значение функции в этой же точке .

Функция  достигает своего минимума в точке , если ее значение в окрестности этой точки больше, чем значение функции в этой же точке .

Правило поиска экстремальных точек

1. Находим область определения функции .

2. Находим производную функции .

3. Определяем критические точки  по ее первой производной.

4. Исследуем  на знак слева и справа от найденных точек.

5. Если слева от точки , а справа , то тогда говорят, что точка  является точкой максимума.

6. Если слева от точки , а справа , то тогда говорят, что точка  является точкой минимума.

7. Если  слева и справа от критической точки не меняет знак, то говорят, что  является точкой перегиба функции.

Если функции  и  непрерывны при , где – некоторое положительное число, отличное от нуля и достаточно маленькое, и имеют непрерывные производные в указанной точке, а также  не обращается в нуль при вычитании указанных условий, тогда можно сформулировать следующую теорему.

ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ

Теорема Коши. Если при соблюдении предположений относительно функций  и  отношение  стремится к некоторому числу при , то тогда к такому же числу будет стремиться отношение функций .

Эта теорема позволяет формулировать правило Лопиталя. При раскрытии неопределенности вида  можно функцию числителя  и знаменателя  заменить их производными  и , соответственно, и рассматривать предел  вместо  в указанной точке.