Геометрия чисел

Введение. Возникновением теории чисел мы, по большому счёту, обязаны Минковскому. Минковский (Minkowski), Герман - выдающийся математик (1864 - 1909), еврей, родом из России. Был профессором в Бонне, Кенигсберге, Цюрихе и Геттингене. Сблизил теорию чисел с геометрией, создав особое учение о "геометрии чисел" ("Geometrie der Zahlen", 1896 - 1910; "Diophantische Approzimationen", 1907, и др.). Последняя его работа: "Raum und Zeit" (Лейпциг.,1909; несколько русских переводов); здесь дана смелая математическая формулировка так называемого "принципа относительности". Полное собрание сочинение Минковского вышло в Лейпциге, в 1911 г.; биография Минковского в русском издании "Пространство и время". Таким образом, Минковский сделал большой вклад в развитие математики как науки. В частности, он сумел упростить теорию единиц полей алгебраических чисел, а также упростил и развил теорию аппроксимации иррациональных чисел рациональными, или теорию диофантовых приближений. Под диофантовыми приближениями в данном случае понимается раздел теории чисел, изучающий приближения действительных чисел рациональными и вопросы, связанные с решением в целых числах линейных и нелинейных неравенств с действительными коэффициентами. Это новое направление, которое Минковский назвал „геометрией чисел", развилось в независимый раздел теории чисел, имеющий много приложений в самых различных вопросах и вместе с тем достаточно интересный для самостоятельного изучения.

Постановка задачи.

Для начала я хочу рассмотреть некоторые понятия и результаты, играющие в дальнейшем основную роль. Рассуждения, которыми мы здесь пользуемся, иногда значительно отличаются от рассуждений в основных книгах по данному вопросу, так как в данной работе мы имеем целью, не давая полных доказательств, сделать для простейших случаев геометрическую ситуацию интуитивно ясной, тогда как позднее мы будем вынуждены жертвовать наглядностью ради точности. В работе рассматривается основная задача геометрии чисел, приводится теорема Минковского с её доказательством, и объясняются такие понятия геометрии чисел как решётки и критические решётки. В конце работы приводится так называемая «неоднородная задача» геометрии чисел.

Основная задача геометрии чисел.

Основной и типичной задачей геометрии чисел является сле­дующая задача.

Пусть f(х₁,…,x_n) — функция вещественных аргументов, прини­мающая вещественные значения. Как мал может быть f(u₁,…,u_n) при подходящем выборе целых чисел u₁,…,u_n? Может встретиться тривиальный случай f(0,…,0)=0, например, если f(х₁,…,x_n) является однородной формой; в этом случае совокупность значений u₁ = u₂ = ... = u_n = 0 из рассмотрения исключается (“однородная проблема”).

Обычно рассматриваются оценки, применимые не только для кон­кретных функций f, но и для целых классов функций. Так, типичным результатом такого рода является следующее предложение. Пусть

f(x₁,x₂) = a₁₁x₁² + 2a₁₂x₁x2 + a₂₂x₂² (1)

- положительно определённая квадратичная форма. Тогда найдутся такие целые числа u₁,u₂, не равные одновременно нулю, что справедливо неравенство

f(u₁,u₂)  (4D/3)^1/2 (2)

где D = a₁₁a₂₂ – a₁₂² – определитель формы. Ясно, что если этот результат верен, то он является наилучшим. Действительно,

u₁² + u₁u₂ + u₂²  1

для всех пар целых чисел u₁,u₂, не равных одновременно нулю; здесь D = 3/4.

Конечно, случай положительно определённых бинарных квадратичных форм крайне прост, и результат задачи был известен задолго до возникновения геометрии чисел. Однако на положительно определённых бинарных квадратичных формах относительно просто проводятся некоторые рассуждения геометрии чисел, так что эти формы удобно использовать в качестве иллюстрации всех рассуждений.

Только что сформулированный результат можно выразить на­глядно. Неравенство типа

f(x₁,x₂)  k,

где f(x₁,x₂) — форма (1), а k — некоторое положительное число, задает область  плоскости {x₁,x₂}, ограниченную эллипсом. Таким образом, наше предложение утверждает, что если k  (4D/3)^1/2, то область  содержит точку (u₁,u₂) с целыми координатами u₁ и u₂, не равными одновременно нулю.

Теорема Минковского.

Аналогичный, но, правда, не настолько точный результат немедленно следует из основной теоремы Минковского. В двумерном случае эта теорема утверждает, что область  всегда содержит точку (u₁,u₂) с целыми координатами, отличную от начала, если эта область удовлетворяет следующим трем условиям:

область  симметрична относительно начала координат; т. е. если точка (x₁,x₂) находится в , то точка (-x₁,-x₂) также содержится в ;

область  выпукла; т. е. если (x₁,x₂), (y₁,y₂) — две какие-нибудь точки области , то и весь отрезок

{x₁ + (1-)y₁, x₂ + (1-)y₂}, 0    1,

соединяющий эти точки, также содержится в ;

3) площадь  больше 4.

Любой эллипс f(x₁,x₂)  k удовлетворяет условиям 1) и 2). Так как его площадь равна

k / (a₁₁a₂₂ – a₁₂)^1/2 = k / D^1/2,

то он удовлетворяет условию 3), если k > 4D^1/2. Таким образом, мы имеем результат, аналогичный приведенному выше предложению, если в (2) константу (4/3)^1/2 заменить любым числом, большим 4/.

Доказательство теоремы Минковского.

Интересно будет кратко рассмотреть основные идеи, лежащие в основе доказательства теоремы Минковского, потому что в формальных доказательствах, приводимых основными источниками, они заслоняются необходимостью получения сильных теорем, имеющих наиболее широкие приложения.

Вместо области  Минковский рассматривает область  = /2, которая состоит из точек (x₁/2,x₂/2), где (x₁,x₂)  точки области . Таким образом, область  симметрична относительно начала координат и выпукла, её площадь равна четверти площади области  и, следовательно, больше 1. В общем случае Минковский рассматривает совокупность областей  (u₁,u₂) с центрами в целочисленных точках (u₁,u₂), полученных из тела  параллельными переносами.

Для начала справедливо отметить, что если  и (u₁,u₂) пересекаются, то точка (u₁,u₂) находится в . Обратное утверждение тривиально. Если точка (u₁,u₂) находится в , то точка (u₁/2,u₂/2) содержится как в , так и в (u₁,u₂). Действительно, пусть (ξ₁, ξ₂) – точка, лежащая в пересечении. Так как точка (ξ₁, ξ₂) лежит в области (u₁,u₂), то тогда точка (ξ₁ – u₁, ξ₂ – u₂) лежит в области ; следовательно, ввиду симметрии области  точка (u₁ - ξ₁, u₂ - ξ₂) находится в . Наконец, в силу выпуклости тела  середина отрезка, соединяющего точку (u₁ - ξ₁, u₂ - ξ₂) с точкой (ξ₁, ξ₂), то есть точка (u₁/2,u₂/2), лежит в , а потому точка (u₁,u₂) находится в . Что, собственно, и требовалось доказать. Ясно, что область (u₁,u₂) тогда и только тогда пересекается с областью (u₁^’,u₂^’), когда область  пересекается с об­ластью (u₁ - u₁^’, u₂ - u₂^’).

Таким образом, чтобы теорема Минковского была доказана, достаточно показать, что если области (u₁,u₂) не пересекаются, то площадь области (u₁,u₂) не превышает 1. Небольшое размышление убеждает, что так должно быть. Другое обоснование, возможно интуитивно более ясное, можно получить, полагая, что область  целиком содержится в квадрате

‌ x₁‌ ≤ X, |x₂| ≤ X,

при этом нужно учитывать то, что выпуклая область конечной площади ограничена.

Пусть U — достаточно большое целое число. Существует (2U + 1)² областей (u₁,u₂), координаты центров которых удовлетворяют неравенствам

‌ u₁‌ ≤ U, |u₂| ≤ U.

Все эти области целиком находятся в квадрате

‌ x₁‌ ≤ U + X, |x₂| ≤ U + X,

площадь которого равна

4 (U + X)².

Так как предполагается, что области (u₁,u₂) не пересекаются, то имеет место неравенство

(2U + 1)²V  4(U + X)²,

где V – площадь области , а значит, и любой области (u₁,u₂). Устремляя теперь U к бесконечности, мы получаем неравенство V  1, что и требовалось доказать.

Решётки.

Преобразование координат в приведённом примере с определённой бинарной квадратичной формой может привести и к другой точке зрения. Мы можем представить форму f(x₁,x₂) как сумму квадратов двух линейных форм

f(x₁, x₂) = Х₁² + Х₂², (3)

где

Х₁ = x₁ + x₂, X₂ = x₁ + x₂, (4)

,,, - некоторые постоянные вещественные числа. Можно, например, положить

 = a₁₁^1/2,  = a₁₁^-1/2a₁₂,

 = 0,  = a₁₁^-1/2D^1/2.

Обратно, если ,,, - такие вещественные числа, что  -   0, и формы Х₁, Х₂ заданы равенствами (4), то выражение

Х₁² + Х₂² = a₁₁x₁² + 2a₁₂x₁x₂ + a₂₂x₂²,

где

a₁₁ = ² + ²,

a₁₂ =  + , (5)

a₂₂ = ² + ²,

является положительно определен­ной квадратичной формой с определителем

D = a₁₁a₂₂ – a₁₂² = ( - )². (6)

Теперь будем рассматривать пару (Х₁, Х₂) как систему пря­моугольных декартовых координат. Тогда говорят, что точки (Х₁, Х₂), соответствующие целым (x₁, x₂) в выражениях (4), образуют (двумерную) решетку . В векторных обозначениях решетка  есть совокупность точек

(Х₁, Х₂) = u₁(,) + u₂(,), (7)

где u₁, u₂ пробегают все целые числа; точки (векторы) (,) и (,) образуют базис решётки .

Рассмотрим теперь более подробно свойства решеток. Ввиду того, что мы рассматриваем решетку  просто как множество точек, мы можем её описать с помощью различных базисов. Например, пара

(α – β, γ – δ), (- β, - δ)

является другим базисом решётки . Фиксированный базис (α, β), (γ, δ) решётки  определяет разбиение плоскости двумя семействами равноудалённых параллельных прямых; первое семейство состоит из тех точек (Х₁, Х₂), которые имеют координаты вида (7), где u₂ – любое целое число, а u₁ – любое вещественное. Для линий второго порядка семейства u₁ и u₂ меняются ролями. Таким образом, плоскость разбивается на параллелограммы, вершинами которых являются как раз точки решётки .

Разумеется, что это разбиение зависит от выбора базиса. Однако, можно показать, что площадь получаемых параллелограммов, именно число

|αδ – βγ|,

не зависит от выбора базиса. Это становится возможным, если показать, что число N(X) точек решётки в достаточно большом квадрате

ζ (Х): |Х₁| ≤ Х, |Х₂| ≤ Х

удовлетворяет соотношению

N(X) / 4X² → 1 / |αδ - βγ| (X → ∞).

Действительно, рассмотрение идей доказательства теоремы Минковского о выпуклом теле, которое было приведено в кратком виде выше, показывает, что число точек решётки  в квадрате ζ (Х), грубо говоря, равно числу параллелограммов, находящихся в этом квадрате. А это число, в свою очередь, приблизительно равно площади квадрата ζ (Х), делённой на площадь |αδ - βγ| одного параллелограмма. Строго положительное число

d () = |αδ - βγ| (8)

называется определителем решётки . Как было только что показано, это число не зависит от выбора базиса.

Критические решётки.

Используя введённые выше новые понятия, можно заметить, что утверждение о существовании целых решений неравенства f(х₁,х₂)  (4D/3)^1/2 эквивалентно утверждению о том, что любая решётка  в области

Х₁² + Х₂² ≤ (4/3)^1/2 d() (9)

имеет точки, отличные от начала координат. В силу однородности это в свою очередь эквивалентно утверждению, что открытый круг

Đ: Х₁² + Х₂² < 1 (10)

содержит точку каждой решётки , для которой d() < (3/4)^1/2. А тот факт, что существуют такие формы, для которых в (2) знак равенства необходим, эквивалентен существованию решётки _с с определителем d(_с) = (3/4)^1/2, не имеющей точек в круге Đ. Таким образом, задача о произвольной определённой бинарной квадратичной форме эквивалентна задаче о фиксированной области Đ и произвольной решётке. Аналогично исследование решёток с точками в области

| Х₁ Х₂| < 1

даёт информацию о минимумах inf |f(u₁,u₂)| неопределённых бинарных квадратичных форм f(x₁,x₂). Здесь точная нижняя граница берётся по всем целым числам u₁ и u₂, не равным одновременно нулю. Примеры можно продолжить.

Подобные рассмотрения приводят к следующим определениям. Говорят, что решётка  допустима для области (точечного множества)  в плоскости {Х₁,Х₂} если она не содержит никаких других точек , кроме, может быть, начала координат. Последний случай возможен, когда начало координат является точкой области . Тогда мы говорим, что эта решётка -допустима. Точная нижняя грань Δ() определителей d(Λ) всех -допустимых решёток является константой области . Если -допустимых решёток не существует, то полагаем, что Δ() = ∞. Тогда любая решётка Λ, для которой d(Λ) < Δ(), обязательно содержит точку области , отличную от начала координат. -допустимая решётка Λ, для которой d(Λ) = Δ(), называется критической (для ). Конечно, критические решётки, вообще говоря, существуют не всегда.

Важность критических решёток была замечена уже Минковским. Если _с – критическая решётка области , а решётка Λ получена из Λ_с небольшой деформацией (то есть малым изменением пары базисных векторов), то либо решётка Λ имеет точку, отличную от начала координат и лежащую в области , либо d(Λ) ≥ d(Λ_с). Либо и то, и другое вместе.

В качестве примера можно снова рассмотреть открытый круг

Đ: Х₁² + Х₂² < 1.

Предположим, что Λ_с – критическая решётка области Đ. Ниже будет дан набросок доказательства того, что если критическая решётка существует, то она должна иметь три пары точек (А₁, А₂), (В₁, В₂), (С₁, С₂) на границе Х₁² + Х₂² = 1 круга Đ.

Если Λ_с не имеет точек на окружности Х₁² + Х₂² = 1, то можно будет получить Đ-допустимую решетку с меньшим определителем, гомотетически сжимая решетку Λ_с к началу координат, то есть рассматривая решетку  = tΛ_с точек (tX₁, tX₂), где (Х₁, Х₂)  Λ_с , а t — это фикси­рованное число с условием 0 < t < 1. Тогда d() = t²d(_c) < d(_c) и, очевидно,  будет Đ-допустимой решеткой, если t достаточно близко к 1. Таким образом, решетка _c содержит пару точек на окружности Х₁² + Х₂² = 1, координаты которых после надлежащего поворота осей мы можем считать равными ± (1, 0).

Если бы на окружности Х₁² + Х₂² = 1 не было бы больше точек решетки _c, то мы смогли бы получить Đ-допустимую решетку  с меньшим определителем, сжимая решетку _c в направлении, пер­пендикулярном оси X₁, то есть принимая за  решетку точек (Х₁, tХ₂), где (Х₁, Х₂)  Λ_с, а t достаточно близко к 1.

Наконец, если бы Λ_с имела бы только две пары точек ±(1, 0), ± (В₁, В₂) на границе, то решетку можно было бы слегка деформиро­вать так, чтобы точка (1, 0) осталась на месте, а точка с координатами (В₁, В₂) продви­нулась бы вдоль окружности Х₁² + Х₂² = 1 ближе к оси Х₁. Наглядно это представлено на рисунке:

Данная операция, как легко проверить, уменьшает определитель, и при небольших деформациях получающаяся решётка Λ остаётся Đ-допустимой. Действительно, (1,0) и (В₁, В₂) можно рассматривать как базис решётки Λ_с, так как треугольник с вершинами (0, 0), (1, 0), (В₁, В₂), а следовательно, и параллелограмм, отвечающий базису (1, 0), (В₁, В₂) не содержит внутри себя точек Λ_с. Тогда критическая решётка Λ_с (если она существует) должна иметь три пары точек на окружности Х₁² + Х₂² = 1. Легко увидеть, что единственной решеткой, у которой три пары точек лежат на окружности Х₁² + Х₂² = 1, а одна из пар есть пара ± (1, 0), является решетка Λ ́ с базисом

(1, 0), (1/2, √3/4).

Она содержит вершины правильного шестиугольника

± (1, 0), ± (1/2, √3/4), ±(-1/2, √3/4),

лежащие на окружности Х₁² + Х₂² = 1, но не содержит ни одной точки (кроме (0, 0)) в круге Х₁² + Х₂² < 1. Таким образом, мы по­казали, что если Đ имеет критическую решетку, то Δ(Đ) = d(Λ ́) = (3/4)^1/2. Минковский показал, что критические решетки существуют для довольно широкого класса областей , показав, грубо говоря, что любую -допустимую решетку Λ можно постепенно деформи­ровать до тех пор, пока она не станет критической.

“Неоднородная задача”

Другим общим типом проблемы является следующая типичная «неоднородная задача». Пусть f(х₁,…,x_n) — некоторая вещественнозначная функция вещественных аргументов х₁, . . ., х_n. Требуется подобрать постоянное число k со следующим свойством: если ξ₁, ..., ξ_n — любые вещественные числа, то найдутся такие целые числа u₁,…,u_n, что

│f(ξ₁ – u₁,…, ξ_n– u_n)│≤ k.

Подобные вопросы естественно возникают, например, в теории алгебраических чисел. И на этот раз имеется простая геометрическая интерпретация. Для наглядности положим n = 2. Пусть  — мно­жество таких точек (х₁, х₂) двумерной евклидовой плоскости, что

│f(x₁, …, x_n)│≤ k.

Пусть u₁, u₂ — любые целые числа; обозначим через (u₁, u₂) об­ласть, полученную из  параллельным переносом на вектор (u₁, u₂); иными словами, (u₁, u₂) есть множество таких точек х₁, х₂, что

│f(х₁ – u₁, х₂– u₂)│≤ k.

Неоднородная проблема состоит в выборе k таким образом, чтобы области (u₁, u₂) покрывали всю плоскость. Желательно выбрать k, а значит и , наименьшим из всех возможных (но так, чтобы свой­ство покрывать всю плоскость сохранилось). Здесь мы имеем про­тивоположность постановке однородной задачи, приведённой выше, где цель состояла в том, чтобы сделать области наибольшими, но все еще не пересекающимися одна с другой.

19

Содержание.

Введение. 2

Постановка задачи. 3

Основная задача геометрии чисел. 4

Теорема Минковского. 6

Доказательство теоремы Минковского. 7

Решётки. 10

Критические решётки. 13

8. «Неоднородная задача». 17

9. Список литературы. 18

2

Список литературы.

Касселс, Дж. В. С. Геометрия чисел – М., Мир, 1965г.

Минковский Г. Геометрия чисел – Лейпциг, 1911г. (переиздание 1996г.)

Марков А. А. О бинарных квадратичных формах положительного определителя – СПб., 1948г.

Чеботарёв М. Г. Заметки по алгебре и теории чисел – УЧ Зап. Каз. Унив-та, 1934г. (переиздание 1994г.)

Чеботарёв М. Г. Доказательство теоремы Минковского о неоднородных линейных формах – М., Мир, 1949г.

19

Министерство Образования Российской Федерации

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Хабаровский Государственный Педагогический Университет
Кафедра математического анализа и информатики
Курсовая работа
“Геометрия чисел”

Выполнил: =PeppeR=

Научный руководитель: доцент кафедры мат. анализа и информатики

кандидат физ.-мат. наук

Хабаровск -