Высшая математика

9734
знака
4
таблицы
9
изображений
Содержание Часть I.

Задание №2. Вопрос №9.

Задание №3. Вопрос №1.

Задание №12. Вопрос №9.

Задание №13. Вопрос №2.

Задание №18. Вопрос №9

Часть II.

Задание №8. Вопрос №8.

Задание №12. Вопрос №9.

Задание №14. Вопрос №2.

Задание №15. Вопрос №6.

Задание №18. Вопрос №9.

Дополнительно Часть I.

Задание №7. Вопрос №1.

Задание №9. Вопрос №8.

Задание №11. Вопрос №6.

Задание №15. Вопрос №1.

Дополнительно Часть II.

Задание №7. Вопрос №1.

Задание №9. Вопрос №8.

Задание №11. Вопрос №6.

Задание №15. Вопрос №1.

Часть I. Задание №2. Вопрос №9.

В штате гаража числится 54 водителя. Сколько свободных дней может иметь каждый водитель в месяц (30 дней), если ежедневно 25% автомашин из имеющихся 60 остаются в гараже для профилактического ремонта.

Решение:

Высшая математика

машин ежедневно остается в гараже на профилактическом ремонте.

60-15=45

машин с водителями ежедневно уходят в рейс.

54-45=9

водителей из штата гаража ежедневно не выходит в рейс из-за профилактического ремонта автомашин.

Высшая математика

количество водителей в течение месяца, не выходящих в рейс из-за профилактического ремонта автомашин.

Высшая математика

дней в месяц каждый водитель из штата гаража не выходит в рейс из-за профилактического ремонта автомашин.

Ответ:Каждый водитель из штата гаража в течение месяца может иметь Высшая математика свободных дней.

Задание №3. Вопрос №1.

Построить график функции спроса Q=QD(P) и предложения Q=QS(P) и найдите координаты точки равновесия, если Высшая математика, Высшая математика.

Решение:

Построим в плоскости POQ график функции спроса Q=QD(P) и предложения Q=QS(P). Для этого найдем координаты пересечения с осями координат:

Высшая математика

С осью OP (Q=0):

С осью OQ (P=0):

Для Q=QS(P):

Для Q=QD(P):

 

Высшая математика

Высшая математика

Высшая математика

Высшая математика

Высшая математика

Высшая математика

Высшая математика

Т.к. функции QS(P) и QD(P) – линейные функции, то их графиками являются прямые, для построения которых достаточно определить их точки пересечения с осями координат. Они найдены, значит можно производить построение графика (рис.1).

Найдем точку равновесия графиков функции спроса и предложения (М), в которой спрос равен предложению. Для этого решим систему:

Высшая математика, из этой системы получаем: Высшая математика

Высшая математика

Высшая математика

Высшая математика, тогда Высшая математика, значит координаты т.MВысшая математика.

Ответ:Координаты точки равновесия равны Высшая математика, Высшая математика

Задание №12. Вопрос №9.

Используя правила вычисления производных и таблицу, найдите производные следующих функций:

 Высшая математика

Решение:

Высшая математика

Ответ:Производная заданной функции равна Высшая математика

Задание №13. Вопрос №2.

Используя дифференциал функции, найдите приближенное значение

числа:Высшая математика

Решение:

Высшая математика

Ответ:Приближенное значение заданного числа равно 1,975.

Задание №18. Вопрос №9

Исследуйте функцию и постройте ее график:Высшая математика

Решение:

Область определения данной функции: Высшая математика. Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью OY Высшая математика:

С осью OX (y=0):

Высшая математика

Высшая математика, дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е.

Высшая математика

Высшая математика

Высшая математика

Точка пересечения: Высшая математика

Точки пересечения: Высшая математика, Высшая математика

Т.к. все точки входят в область значений функции, то точек разрыва НЕТ. Вертикальных асимптот у графика функции нет, т.к. нет точек разрыва. Правая и левая наклонные асимптоты имеют уравнение: Высшая математика, где:

Высшая математикаВысшая математикат.к. правая и левая наклонные асимптоты совпадают, то уравнение имеет вид: Высшая математика, т.е. Высшая математика- уравнение горизонтальной асимптоты.

Найдем точки экстремума заданной функции. Для этого найдем ее первую производную:

Высшая математика

Т.к. если у функции есть точка экстремума, то в этой точке первая производная функции равна нулю, т.е. Высшая математика:

Высшая математика, дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е. Высшая математика, отсюда x=0, следовательно Высшая математика, значит точка Высшая математика - точка экстремума функции.

На участкеВысшая математика производная Высшая математика > 0, значит, при Высшая математика, заданная функция возрастает.

На участкеВысшая математика производная Высшая математика < 0, значит, при Высшая математика, заданная функция убывает (рис 2.).

Высшая математика

Следовательно Высшая математика - точка максимума заданной функции Высшая математика.

Найдем участки выпуклости/вогнутости заданной функции. Для этого найдем ее вторую производную:

Высшая математика

Т.к. если у функции есть точка перегиба, то в этой точке вторая производная функции равна нулю, т.е. Высшая математика:

Высшая математика, дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е. Высшая математика, значит Высшая математика, тогда Высшая математика, отсюда Высшая математика

Отсюда Высшая математика, Высшая математика.

На участкеВысшая математика производная Высшая математика>0, значит это участок вогнутости графика функции.

На участке Высшая математика производная Высшая математика >0,

значит это тоже участок вогнутости графика функции.

Следовательно, приВысшая математика график заданной функции является вогнутым.

На участкеВысшая математика производная Высшая математика<0, значит, при Высшая математика график заданной функции является выпуклым (рис. 3).

Высшая математика

Следовательно, точки Высшая математика, Высшая математика - точки перегиба графика заданной функции Высшая математика.

Выполненные исследования заданной функции позволяют построить ее график (см. рис. 4).

Высшая математика Часть II. Задание №8. Вопрос №8.

Фирма производит товар двух видов в количествахВысшая математика иВысшая математика. Задана функция полных издержек Высшая математика. Цены этих товаров на рынке равны Высшая математика и Высшая математика. Определить, при каких объемах выпуска достигается максимальная прибыль, найти эту прибыль.

Высшая математика, Высшая математика, Высшая математика

Решение:

Пусть Высшая математика - функция прибыли, тогда

Высшая математика

Найдем первые частные производные функции f(x,y):

Высшая математика, Высшая математика. Найдем стационарные точки графика функции Высшая математика. Для этого решим систему:

Высшая математика

Высшая математика

Следовательно Высшая математика- стационарная точка. Проверим ее на экстремум, для этого

введем обозначения: Высшая математика, Высшая математика, Высшая математика,

тогда Высшая математика, Высшая математика, Высшая математика, Высшая математика. Т.к. A>0, то экстремум есть, а т.к. Высшая математика< 0, то это максимум. Следовательно, при объемах выпуска Высшая математикаи Высшая математика, достигается максимальная прибыль равная:

Высшая математика

Ответ:Высшая математика и достигается при объемах выпуска Высшая математикаи Высшая математика.

Задание №12. Вопрос №9.

Вычислить неопределенный интеграл:Высшая математика

Решение:

Высшая математика

Ответ:Высшая математика

Задание №14. Вопрос №2.

Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость) Высшая математика.

Решение:

Высшая математика

Ответ:Данный несобственный интеграл – расходящийся.

Задание №15. Вопрос №6.

Решить уравнениеВысшая математика

Решение:

Высшая математика. Разделив обе части на Высшая математика, получим Высшая математика. Проинтегрируем полученное уравнение Высшая математика. Представим Высшая математика, как Высшая математика, тогда

Высшая математика

Высшая математика

Высшая математика

Ответ:Решением данного уравнения является Высшая математика.

Задание №18. Вопрос №9.

Найти общее решение уравнения:Высшая математика

Решение:

Найдем корни характеристического уравнения: Высшая математика, тогда Высшая математика, следовательно Высшая математика, Высшая математика, тогда

фундаментальную систему решений образуют функции:

Высшая математика, Высшая математика

Т.к. действительные и мнимые решения в отдельности являются решениями уравнения, то в качестве линейно независимых частей решений Высшая математика и Высшая математика, возьмем Высшая математика, Высшая математика, тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид: Высшая математика

Представим правую часть уравнения, как Высшая математика и сравним с выражением, задающим правую часть специального вида:

Высшая математика. Имеем Высшая математика, Высшая математика, тогда т.к. Высшая математика - многочлен второй степени, то общий вид правой части: Высшая математика. Найдем частные решения:

Высшая математика, Высшая математика, Высшая математика

Высшая математика

Высшая математика

Сравним коэффициенты при Высшая математика слева и справа, найдем Высшая математика, решив систему:

Высшая математика, отсюда Высшая математика.

Тогда общее решение заданного неоднородного линейного уравнения имеет вид: Высшая математика.

Ответ: Высшая математика.

Дополнительно Часть I. Задание №7. Вопрос №1.

Найти предел: Высшая математика.

Решение:

Высшая математика.

Ответ:Заданный предел равен Высшая математика.

Задание №9. Вопрос №8.

Найдите уравнение асимптот и постройте их графики:

Высшая математика.

Решение:

Область определения данной функции: Высшая математика. Т.к. точка Высшая математика не входят в область значений функции, то это точка разрыва, а т.к. Высшая математика и Высшая математика, следовательно, уравнение Высшая математика – уравнение вертикальной асимптоты. Уравнения правой и левой наклонных асимптот имеют вид: Высшая математика , где:

Высшая математика

Высшая математика

т.к. правая и левая наклонные асимптоты совпадают, то уравнение наклонной

асимптоты имеет вид: Высшая математика.

Для построения графиков асимптот (см. рис. 5), найдем

точки пересечения наклонной асимптоты Высшая математика с осями

координат:

С осью OX: точкаВысшая математика,

с осью OY: точкаВысшая математика

Ответ:Высшая математика и Высшая математика – уравнения асимптот заданной функции.

Высшая математика Задание №11. Вопрос №6.

Исходя из определения производной, докажите: Высшая математика.

Решение:

Т.к. по определению производная функции Высшая математика в точке Высшая математика вычисляется по формуле Высшая математика, тогда приращение Высшая математика в точке Высшая математика: Высшая математика.

Следовательно Высшая математика.

Ответ:Высшая математика.

Задание №15. Вопрос №1.

Найдите пределы, используя правило Лопиталя: Высшая математика.

Решение:

Высшая математика.

Ответ:Заданный предел равен Высшая математика.

Дополнительно Часть II. Задание №7. Вопрос №1.

Написать в точке Высшая математика уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением: Высшая математика.

Решение:

Уравнение касательной плоскости к графику функции Высшая математика в точке Высшая математика имеет вид: Высшая математика. Поэтому, продифференцируем заданное уравнение поверхности: Высшая математика. Подставив в полученное уравнение координаты точки Высшая математика вместо значений переменных, и заменив дифференциалы переменных на их приращения, получим:

Высшая математика

Высшая математика.

Ответ:Уравнение касательной плоскости к заданной поверхности в заданной точке Высшая математика имеет вид Высшая математика.

Задание №9. Вопрос №8.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции Высшая математика в области: Высшая математика.

Решение:

Т.к. заданная функция дифференцируется в замкнутой ограниченной области, то свое наибольшее/наименьшее значение она достигает или в стационарной точке внутри области дифференцирования, или на границе области.

Найдем стационарные точки заданной функции, для этого решим систему:

Высшая математика, точка Высшая математика не принадлежит заданной области дифференцирования, значит стационарных точек внутри области нет, следовательно, наибольшее/наименьшее значение функцией достигается на границе области дифференцирования. Граница области ограничена окружностями Высшая математика и Высшая математика. Найдем наибольшее/наименьшее значение на границах области дифференцирования. Для этого составим функцию Лагранжа:

Высшая математика, тогда Высшая математика, Высшая математика, следовательно, система уравнений для определения координат экстремальной точки имеет вид:

Высшая математика

Эта система имеет четыре решения:

Высшая математика, Высшая математика, Высшая математика

Точка Высшая математика – точка условного максимума, при этом функция Высшая математика.

Высшая математика, Высшая математика, Высшая математика

Точка Высшая математика – точка условного максимума, при этом функция Высшая математика.

Высшая математика, Высшая математика, Высшая математика

Точка Высшая математика – точка условного минимума, при этом функция Высшая математика.

Высшая математика, Высшая математика, Высшая математика

Точка Высшая математика – точка условного минимума, при этом функция Высшая математика.

Высшая математика, тогда Высшая математика, Высшая математика,

следовательно, система уравнений для определения координат экстремальной точки имеет вид:

Высшая математика

Эта система также имеет четыре решения:

Высшая математика, Высшая математика, Высшая математика

Точка Высшая математика – точка условного максимума, при этом функция Высшая математика.

Высшая математика, Высшая математика, Высшая математика

Точка Высшая математика – точка условного максимума, при этом функция Высшая математика.

Высшая математика, Высшая математика, Высшая математика

Точка Высшая математика – точка условного минимума, при этом функция Высшая математика.

Высшая математика, Высшая математика, Высшая математика

В точке Высшая математика – точка условного минимума, при этом функция Высшая математика.

Следовательно, заданная функция Высшая математика в заданной области дифференцирования достигает наибольшего значения в точках Высшая математика и Высшая математика и наименьшего в точках Высшая математика и Высшая математика при этом графики функций Высшая математика и Высшая математика касаются окружности Высшая математика в точках Высшая математика,B, иВысшая математика, Высшая математика соответственно (см. рис.6).

Высшая математика

Ответ:Заданная функция Высшая математика при условии Высшая математика имеет Высшая математика и Высшая математика.

Задание №11. Вопрос №6.

Вычислить неопределенный интеграл: Высшая математика.

Решение:

Высшая математика

Ответ:

Заданный неопределенный интеграл равен Высшая математика.

Задание №15. Вопрос №1.

Решить уравнение: Высшая математика.

Решение:

Высшая математика. Разделив обе части на Высшая математика, получим Высшая математика. Проинтегрируем полученное уравнение:

Высшая математика

Высшая математика.

Ответ:

Решением данного уравнения является Высшая математика.


Информация о работе «Высшая математика»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 9734
Количество таблиц: 4
Количество изображений: 9

Похожие работы

Скачать
4521
0
0

Ось абсцисс пустим вдоль оси первого конуса, ось ординат - вдоль оси второго конуса, ось аппликат - параллельно оси цилиндра, причем так, чтобы система координат была правой. Расстояние d от вершин конусов до начала координат находим с помощью Теоремы Пифагора:2 + l = + 2 = 7.7 (см) таким образом ось цилиндра описывается следующим уравнением: Вершина первого конуса имеет следующие координаты - ...

Скачать
13764
1
0

урецкий, персидский, татарский и французский языки, а также мусульманское и международное право. Целью данной работы является освещение предмета высшей математики в профессиональной деятельности военного юриста. Работа включает не только теоретические аспекты применения методов высшей математики в военной юриспруденции, но и примеры практического использования методик. 1. Характеристика ...

Скачать
149274
13
5

... f ¢(xо) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке [a,b] функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка [a,b]. Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...

Скачать
18574
2
0

бнику, решения задач необходимо ответить на вопросы для самопроверки, помещенные в конце темы. В соответствии с действующим учебным планом студенты-заочники изучают курс высшей математики в течение 1 и 2 семестра и выполняют в каждом семестре по две контрольные работы. Первая и вторая контрольные работы выполняются студентами в 1 семестре после изучения тем 1-2 и 3-4 соответственно. Третья и ...

0 комментариев


Наверх