ВИДЫ СИММЕТРИЙ

2. ВИДЫ СИММЕТРИЙ

В отличие от искусства или техники, красота в природе не создаётся, а лишь фиксируется, выражается. Среди бесконечного разнообразия форм живой и неживой природы в изобилии встречаются такие совершенные образы, чей вид неизменно привлекает наше внимание. К числу таких образов относятся некоторые кристаллы, многие растения.

В конформной (круговой) симметрии главным преобразованием является инверсия относительно сферы. Для простоты возьмём круг радиуса R с центром в точке O. Инверсия этого круга определяется как такое преобразование симметрии, которое любую точку P переводит в точку P', лежащую на продолжении радиуса, проходящего через точку P на расстоянии от центра:

OP'=R² / OP

Конформная симметрия обладает большой общностью. Все известные преобразования симметрии: зеркальные отражения, повороты, параллельные сдвиги представляют собой лишь частные случаи конформной симметрии.

Главная особенность конформного преобразования состоит в том, что оно всегда сохраняет углы фигуры и сферу и всегда переходит в сферу другого радиуса.

Известно, что кристаллы какого-либо вещества могут иметь самый разный вид, но углы между гранями всегда постоянны.

Порассуждаем о зеркальной симметрии. Легко установить, что каждая симметричная плоская фигура может быть с помощью зеркала совмещена сама с собой. Достойно удивления, что такие сложные фигуры, как пятиконечная звезда или равносторонний пятиугольник, тоже симметричны. Как это вытекает из числа осей, они отличаются именно высокой симметрией. И наоборот: не так просто понять, почему такая, казалось бы, правильная фигура, как косоугольный параллелограмм, несимметрична. Сначала представляется, что параллельно одной из его сторон могла бы проходить ось симметрии. Но стоит мысленно попробовать воспользоваться ею, как сразу убеждаешься, что это не так. Несимметрична и спираль.

В то время как симметричные фигуры полностью соответствуют своему отражению, несимметричные отличны от него: из спирали, закручивающейся справа налево, в зеркале получится спираль, закручивающаяся слева направо.

Если вы поместите буквы перед зеркалом, расположив его параллельно строке, то заметите, что те из них, у которых ось симметрии проходит горизонтально, можно прочесть и в зеркале. А вот те, у которых ось расположена вертикально или отсутствует вовсе, становятся «нечитабельными».

Существуют языки, в которых начертание знаков опирается на наличие симметрии. Так, в китайской письменности иероглиф означает именно истинную середину.

В архитектуре оси симметрии используются как средства выражения архитектурного замысла. В технике оси симметрии наиболее четко обозначаются там, где требуется оценить отклонение от нулевого положения, например на руле грузовика или на штурвале корабля.

Симметрия проявляется в многообразных структурах и явлениях неорганического мира и живой природы. В мир неживой природы очарование симметрии вносят кристаллы. Каждая снежинка- это маленький кристалл замерзшей воды. Форма снежинок может быть очень разнообразной, но все они обладают симметрией - поворотной симметрией 6-го порядка и, кроме того, зеркальной симметрией.

А что такое кристалл? Твердое тело, имеющие естественную форму многогранника. Характерная особенность того или иного вещества состоит в постоянстве углов между соответственными гранями и ребрами для всех образов кристаллов одного и того же вещества.

Что же касается формы граней ,числа граней и ребер и величины кристалла, то для одного и того же вещества они могут значительно отличаться друг от друга.

Для каждого данного вещества существует своя, присущая только ему идеальная форма его кристалла. Эта форма обладает свойством симметрии т.е. свойством кристаллов совмещаться с собой в различных положениях путём поворотов, отражений, параллельных переносов. Среди элементов симметрии различаются оси симметрии, плоскости симметрии, центр симметрии, зеркальные оси.

Внутреннее устройство кристалла представляется в виде пространственной решётки, в одинаковых ячейках которой, имеющих форму параллелепипедов, размещены по законам симметрии одинаковые мельчайшие частицы - молекулы, атомы, ионы и их группы. Многие, если не все, кристаллы более или менее легко раскалываются по некоторым строго определённым плоскостям. Это явление называется спайностью и свидетельствует о том, что механические свойства кристаллов анизотропны т. е. не одинаковы по разным направлениям.

Симметрия внешней формы кристалла является следствием его внутренней симметрии - упорядоченного взаимного расположения в пространстве атомов ( молекул).

Винтовая симметрия. В пространстве существуют тела, обладающие винтовой симметрией, т.е. совмещаемые со своим первоначальным положением после поворота на какой-либо угол вокруг оси, дополненного сдвигом вдоль той же оси. Если данный угол поделить на 360 градусов - рациональное число, то поворотная ось оказывается также осью переноса.

Собственно говоря, симметрия и асимметрия должны бы взаимно исключать одна другую — как черное и белое или как день и ночь. Так оно и происходит на самом деле, пока симметрия или ее антипод рассматриваются по отношению к одному и тому же телу.

Тот факт, что растворы оптически активных веществ вращают плоскость поляризации в точности так же, как кристаллы, однозначно доказывает, что само кристаллическое состояние не может служить причиной этого явления. Ведь в растворе кристаллов нет. Но как в оптически активном кристалле, так и в растворах, обладающих этим свойством, присутствуют молекулы. Кристаллы, построенные — подобно металлам — из одних только атомов, оптически неактивны (кроме того, они непрозрачны!) Высокоупорядоченный кристалл, состоящий из ионов Na+CI- ,тоже не действует на проходящий свет. Однако кварц имеет более сложное строение, чем хлорид натрия. Кварц — это диоксид кремния, химическая формула которого Si02. Кремний, как и углерод, находится в четвертой группе периодической системы. А углерод постоянно изображают со связями:

=С=

Кремний, принадлежащий к той же группе, что и углерод, также четырехвалентен. Химия кремния, подобно химии углерода, весьма сложна. Кристаллическая структура кварца представляет собой трехмерный каркас из длинных цепей, построенных в форме винтовых лестниц. Разумеется, винтовые лестницы полностью асимметричны. Однако они бывают лево- и правосторонними, как изображение и его зеркальное отражение. Связанные между собой асимметричные цепи образуют либо левый, либо правый кристалл. Соответственно они оказывают оптическое влияние на свет.

У водо-растворимых кристаллов органических соединений зеркальная симметрия молекул прослеживается как в твердом, так и в растворенном состоянии. Известный пример — винная кислота. Она встречается в виде левых и правых кристаллов. Соответственно ведет себя и ее раствор. Под правым направлением здесь всегда понимается направление по часовой стрелке. Таким образом, левая винная кислота вращает плоскость поляризации против часовой стрелки. Нидерландский физико-химик Якоб Хендрик Вант-Гофф (1852—1911) объяснил такое поведение винной кислоты, исходя из строения ее молекулы. При одном и том же химическом составе можно написать три разные структурные формулы винной кислоты. Каждый из двух центральных атомов углерода в любом случае связан с группой СООН. В органической химии эта группа — отличительный признак кислоты. Проглотив таблетку аспирина или попробовав на язык уксус, вы ощущаете кисловатый вкус, он обусловлен именно присутствием группы СООН. Для нас, однако, важнее правая и левая связи атомов углерода. Они связывают либо атом водорода, либо группу ОН. Именно здесь кроется возможность возникновения двух зеркально-симметричных вариантов их взаимного расположения и, помимо того, третьего варианта, который симметричен сам по себе.

В книгах по химии часто можно встретить обозначения L- и D- кислота, производные от латинских слов laevus — левый и dexter — правый. Теперь нам уже нетрудно сообразить, что вещество, носящее название «декстро-энерген», должно быть оптически активным и притом правовращающим. В молекуле виноградного сахара (торговое наименование которого и есть «декстро-энерген») присутствует цепочка из атомов углерода, «подвески» которой могут быть синтезированы право- или лево- сторонними.

Вант-Гофф, впрочем, не пользовался такой простой плоскостной моделью, как мы. Он сразу рисовал ее в объемном изображении, что больше отвечает действительности. Каждый из 4-ёх углеродных атомов винной кислоты расположен в вершине тетраэдра. К этим угловым атомам углерода и привязаны прочие атомы, кислородные и водородные. Вследствие этого из одного совершенного платонова тела (каким является тетраэдр) возникают две различные, зеркально-симметричные формы.

Когда Вант-Гофф опубликовал свою теорию о правых и левых молекулах, она была встречена в штыки. Многие из его современников никак не хотели согласиться с тем, что атомы в молекуле должны располагаться именно так, как их поместил Вант-Гофф. Однако теория нидерландского профессора давала единственно удовлетворительное объяснение вращению поляризованного света, поэтому она все же получила признание. Тем временем химики разработали методы прямого определения формы молекул. И мы теперь знаем, что Вант-Гофф был прав.