Алгебра

“Алгебра есть не что иное, как математический язык, приспособленный для обозначения отношений между количествами”.

И. Ньютон

Алгебра – часть математики, которая изучает общие свойства действий над различными ве­личинами и решение уравнений, связанных с этими действиями.

Решим задачу: “Возрасты трех братьев 30, 20 и 6 лет. Через сколько лет возраст старшего будет равен сумме возрастов обоих млад­ших братьев?” Обозначив искомое число лет через х, составим уравнение: 30 + х = (20+х) + (6 + х) откуда х = 4. Близкий к описан­ному метод решения задач был известен еще во II тысячелетии до н.э. писцам Древнего Египта (однако они не применяли буквенной символики). В сохранившихся до наших дней математических папирусах имеются не только задачи, которые приводят к уравнениям пер­вой степени с одним неизвестным, как в зада­че о возрасте братьев, но и задачи, приводя­щие к уравнениям вида ах² = b.

Еще более сложные задачи умели решать с начала II тысячелетия до н.э. в Древнем Вавилоне; в математических текстах, выпол­ненных клинописью на глиняных пластинках, есть квадратные и биквадратные уравнения, системы уравнений с двумя неизвестными и даже простейшие кубические уравнения. При этом вавилоняне также не использовали букв, а приводили решения “типовых” задач, из которых решения аналогичных задач полу­чались заменой числовых данных. В числовой форме приводились и некоторые правила тождественных преобразований. Если при решении уравнения надо было извлекать квадратный корень из числа а, не являющегося точным квадратом, находили приближенное значение корня х: делили а на х и брали среднее арифметическое чисел х и а/х.

Первые общие утверждения о тождественных преобразованиях встречаются у древнегреческих математиков, начиная с VI в. до н.э. Среди математиков Древней Греции было принято выражать все алгебраические утверждения в геометрической форме. Вместо сложения чисел говорили о сложении отрезков, произведение двух чисел истолковывали как площадь прямоугольника, а произведение трех чисел–как объем прямоугольного параллелепипеда. Алгебраические формулы принимали вид соотношений между площадями и объемами. Например, говорили, что площадь квадрата, построенного на сумме двух отрезков, равна сумме площадей квадратов, построенных на этих отрезках, увеличенной на удвоенную площадь прямоугольника, построенного на этих отрезках. С того времени и идут термины “квадрат числа” (т. е. произведение величины на самое себя), “куб числа”, “среднее геометрическое”. Геометрическую форму приняло у греков и решение квадратных уравнений - они искали стороны прямоугольника по заданным периметру и площади.

Большинство задач решалось в Древней Греции путем построений циркулем и линейкой. Но не все задачи поддавались такому решению. Например, “не решались” задачи удвоения куба, трисекции угла, задачи построения правильного семиугольника. Они приводили к кубическим уравнениям вида х³ = 2, 4х³ - Зх = а и х³ + х² - 2х - 1 = 0 соответственно. Для решений этих задач был разработан новый метод, связанный с отысканием точек пересечения конических сечений (эллипса, параболы и гиперболы).

Геометрический подход к алгебраическим проблемам сковывал дальнейшее развитие науки, так как, например, нельзя было складывать величины разных размерностей (длины и площади или площади и объемы), нельзя было говорить о произведении более чем трех множителей и т.д. Отказ от геометрической трактовки наметился у Диофанта Александрийского, жившего в III в. В его книге “Арифметика” появляются зачатки буквенной символики и специальные обозначения для степеней неизвестного вплоть до 6-й. Были у него и обозначения для степеней с отрицательными показателями, обозначения для отрицательных чисел, а также знак равенства (особого знака для сложения еще не было), краткая запись правил умножения положительных и отрицательных чисел. На дальнейшее развитие алгебры сильное влияние оказали разобранные Диофантом задачи, приводящие к сложным системам алгебраических уравнений, в том числе к системам, где число уравнений было меньше числа неизвестных. Для таких уравнений Диофант искал лишь положительные рациональные решения.

С VI в. центр математических исследований перемещается в Индию и Китай, страны Ближнего Востока и Средней Азии. Китайские ученые разработали метод последовательного исключения неизвестных для решения систем линейных уравнений, дали новые методы приближенного решения уравнений высших степеней. Индийские математики использовали отрицательные числа и усовершенствовали буквен­ную символику. Однако лишь в трудах ученых Ближнего Востока и Средней Азии ал­гебра оформилась в самостоятельную ветвь математики, трактующую вопросы, связанные с решением уравнений. В IX в. узбекский ма­тематик и астроном Мухаммед ал-Хорезми написал трактат “Китаб аль-джебр валь-мукабала”, где дал общие правила для решения уравнений первой степени. Слово,,алъ-джебр" (восстановление), от которого новая наука алгебра получила свое название, означало перенос отрицательных членов уравнения из одной его части в другую с изменением знака. Ученые Востока изучали и решение кубических уравнений, хотя не сумели получить общей формулы для их корней.

В Западной Европе изучение алгебры началось в XIII в. Одним из крупных математиков этого времени был итальянец Леонардо Пизанский (Фибоначчи) (ок. 1170 – после 1228). Его “Книга абака” (1202) – трактат, который содержал сведения об арифметике и алгебре до квадратных уравнений включительно (см. Числа Фибоначчи). Первым крупным само­стоятельным достижением западноевропей­ских ученых было открытие в XVI в. формулы для решения кубического уравнения. Это бы­ло заслугой итальянских алгебраистов С. Дель Ферро, Н. Тарталья и Дж. Кардано. Ученик последнего – Л. Феррари решил и уравнение 4-й степени. Изучение некоторых вопросов, связанных с корнями кубических уравнений, привело итальянского алгебраиста Р. Бомбелли к от­крытию комплексных чисел.

Отсутствие удобной и хорошо развитой символики сковывало дальнейшее развитие алгебры: самые сложные формулы приходи­лось излагать в словесной форме. В конце XVI в. французский математик Ф. Виет ввел буквенные обозначения не только для не­известных, но и для произвольных по­стоянных. Символика Виета была усовершен­ствована многими учеными. Окончательный вид ей придал в начале XVII в. французский философ и математик Р. Декарт, который ввел (употребляемые и поныне) обозначения для показателей степеней.

Постепенно расширялся запас чисел, с ко­торыми можно было производить действия. Завоевывали права гражданства отрица­тельные числа, потом – комплексные, ученые стали свободно применять иррациональные числа. При этом оказалось, что, несмотря на такое расширение запаса чисел, ранее установленные правила алгебраических преобразований сохраняют свою силу. Нако­нец, Декарту удалось освободить алгебру от несвойственной ей геометрической формы. Все это позволило рассматривать вопросы ре­шения уравнений в самом общем виде, приме­нять уравнения к решению геометрических за­дач. Например, задача об отыскании точки пересечения двух линий свелась к решению системы уравнений, которым удовлетворяли точки этих линий. Такой метод решения гео­метрических задач получил название аналити­ческой геометрии.

Развитие буквенной символики позволило установить общие утверждения, касающиеся алгебраических уравнений: теорему Безу о де­лимости многочлена Р (х) на двучлен х - а, где а – корень этого многочлена; соотношения Виета между корнями уравнения и его коэф­фициентами; правила, позволяющие оцени­вать число действительных корней уравнения; общие методы исключения неизвестных из си­стем уравнений и т.д.

Особенно далеко было продвинуто в XVIII в. решение систем линейных уравне­ний – для них были получены формулы, позво­ляющие выразить решения через коэффи­циенты и свободные члены. Дальнейшее изу­чение таких систем уравнений привело к созданию теории матриц и определителей. В конце XVIII в. было доказано, что любое алгебраическое уравнение с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один ком­плексный корень. Это утверждение носит на­звание основной теоремы алгебры.

В течение двух с половиной столетий вни­мание алгебраистов было приковано к задаче о выводе формулы для решения общего урав­нения 5-й степени. Надо было выразить корни этого уравнения через его коэффициенты с по­мощью арифметических операций и извлече­ний корней (решить уравнение в радикалах). Лишь в начале XIX в, итальянец П. Руффини и норвежец Н. Абель независимо друг от дру­га доказали, что такой формулы не суще­ствует. Эти исследования были завершены французским математиком Э. Гачуа, методы которого позволяют для каждого данного уравнения определить, решается ли оно в радикалах. Один из крупнейших математи­ков К. Гаусс выяснил, при каких условиях можно построить циркулем и линейкой пра­вильный n-угольник вопрос оказался свя­занным с изучением корней уравнения хⁿ = 1. Выяснилось что эта задача разрешима лишь в случае, когда число п является простым числом Ферма или произведением нескольких различных простых чисел Ферма (простыми числами Ферма называются простые числа, представимые в виде 2²ⁿ + 1, до сих пор из­вестны лишь пять таких чисел 3, 5, 17, 257, 65537) Тем самым молодой студент (Гауссу было в то время лишь 19 лет) решил задачу, которой безуспешно занимались ученые более двух тысячелетий.

В начале XIX в. были решены основные за­дачи, стоявшие перед алгеброй в первом ты­сячелетии ее развития. Она получила самостоятельное обоснование, не опирающееся на геометрические понятия, и, более того, алгебраические методы стали применяться для ре­шения геометрических задач. Были разрабо­таны правила буквенного исчисления для рациональных и иррациональных выражений, выяснен вопрос о разрешимости уравнений в радикалах и построена строгая теория ком­плексных чисел. Поверхностному наблюдателю могло показаться, что теперь математики будут решать новые и новые классы алгебраических уравнений, доказывать новые алгебраические тождества и т.д. Однако развитие алгебры пошло иным путем: из науки о буквенном исчислении и уравнениях она превратилась в общую науку об операциях и их свойствах.

После создания теории комплексных чисел возник вопрос о существовании “гиперкомплексных чисел” - чисел с несколькими “мнимыми единицами”. Такую систему чисел, имевших вид а + bi+ cj + dk, где i² =j² = k²= - 1, построил в 1843 г. ирландский мате­матик У. Гамильтон, который назвал их “ква­тернионами”. Правила действий над кватер­нионами напоминают правила обычной ал­гебры, однако их умножение не обладает свойством коммутативности (переместитель­ности): например, ij= k, a ji= -k

С операциями, свойства которых лишь от­части напоминают свойства арифметических операций, математики XIX в. столкнулись и в других вопросах. В 1858 г. английский мате­матик А. Кэли ввел общую операцию умно­жения матриц и изучил ее свойства. Оказа­лось, что к умножению матриц сводятся и многие изучавшиеся ранее операции. Ан­глийский логик Дж. Буль в середине XIX в. начал изучать операции над высказываниями, позволявшие из двух данных высказываний построить третье, а в конце XIX в. немецкий математик Г. Кантор ввел операции над мно­жествами: объединение, пересечение и т.д. Оказалось, что как операции над высказыва­ниями, так и операции над множествами обладают свойствами коммутативности (пере­местительности), ассоциативности (сочета­тельности) и дистрибутивности (распредели­тельности), но некоторые их свойства не похожи на свойства операций над числами.) Таким образом, в течение XIX в. в матема­тике возникли разные виды алгебр: обычных чисел, комплексных чисел, кватернионов, ма­триц, высказываний, множеств и т.д. Каждая из них имела свои правила, свои тождества, свои методы решения уравнений. При этом для некоторых видов алгебр правила были очень похожими. Например, правила алгебры рациональных чисел не отличаются от правил алгебры действительных чисел. Именно по­этому формулы, которые в VI классе устана­вливают для рациональных значений букв, оказываются верными и для любых действи­тельных (и даже любых комплексных) значе­ний тех же букв. Одинаковыми оказались и правила в алгебре высказываний и в алгебре множеств. Все это привело к созданию аб­страктного понятия композиции, т.е. опера­ции, которая каждой паре (а, b) элементов не­которого множества Х сопоставляет третий элемент с того же множества. Композициями были сложение и умножение как натуральных, так и любых целых, а также рациональных, действительных и комплексных чисел, “умно­жение” матриц, пересечение и объединение подмножеств некоторого множества U и т.д. А вычитание и деление во множестве нату­ральных чисел не являются композициями, так как и разность, и частное могут не быть натуральными числами.

Изучение свойств композиций разного вида привело к мысли, что основная задача ал­гебры - изучение свойств операций, рассма­триваемых независимо от объектов, к ко­торым они применяются. Иными словами, алгебра стала рассматриваться как общая на­ука о свойствах законов композиции, свой­ствах операций. При этом два множества, в каждом из которых заданы композиции, стали считаться тождественными с точки зре­ния алгебры (или, как говорят, “изоморфны­ми”), если между этими множествами можно установить взаимно-однозначное соответ­ствие, переводящее один закон композиции в другой. Если два множества с композиция­ми изоморфны, то, изучая одно из них, мы уз­наем алгебраические свойства другого.

В наши дни алгебра - одна из важнейших частей математики, находящая приложения как в сугубо теоретических отраслях науки, так и во многих практических вопросах.