Аркфункции

π/2

< x

Случай 3.

Этот случай имеет место при x < 0, y

Изменив знаки на противоположные придем к предыдущему случаю:

откуда

Дуги γ и имеют одинаковый синус, но (по определению арксинуса) , следовательно в случае 1 ;

в случае 2 и в случае 3 .

Итак, имеем окончательно:

, или

; x > 0, y > 0, и (1)

; x < 0, y

Пример:

;

2. Заменив в (1) x на –x получим:

, или

; x > 0, y > 0, и (2)

; x < 0, y

3. Выразить сумму через арккосинус

и

имеем

Возможны следующие два случая.

Случай 1: если , то

Приняв во внимание, что обе дуги и расположены в промежутке [0;π] и что в этом промежутке косинус убывает, получим

и следовательно, , откуда

Случай 2: . Если , то

,

откуда при помощи рассуждений, аналогичных предыдущим, получим . Из сопоставления результатов следует, что случай 1 имеет место, если , а случай 2, если

.

Из равенства следует, что дуги

и имеют одинаковый косинус.

В случае 1 , в случае 2 , следовательно,

,

, (3)

4. Аналогично

,

, (4)

пример:

5.

; xy < 1

; x > 1, xy > 1 (5)

; x < 0, xy > 1

При xy=1 не имеет смысла

6.

; xy > -1

; x > 0, xy < -1 (6)

; x < 0, xy < -1

7.

;

; (7)

;

8.

; (8)

;

9.

;

; x > 1 (9)

; x < -1

10. (10)

(11)

, если (12)

, если