Геометрия в пространстве

Введение.

 

В своей деятельности человеку повсюду приходится сталкиваться с необходимостью изучать форму, размеры, взаимное расположение пространственных фигур. Подобные задачи решают и астрономы, имеющие дело с самыми большими масштабами, и физики, исследующие структуру атомов и молекул. Раздел геометрии, в котором изучаются такие задачи, называется стереометрией (от греческого «стереос»- объемный, пространственный).

Может показаться парадоксальным, но фактически понятие «плоскость» в планиметрии- геометрии на плоскости - не нужно. Ведь если мы, например, говорим, что в плоскости многоугольника дана точка, мы тем самым подразумеваем, что такие точки существуют и вне этой плоскости. В планиметрии такое предположение излишние: все происходит в одной и той же единственной плоскости. В стереометрии нам приходится иметь дело уже с несколькими плоскостями. В каждой из них сохраняют свою силу все известные из планиметрии определения и теоремы, относящиеся к точкам, прямым, расстояниям и т.д., но свойства самих плоскостей необходимо описывать отдельно.

План.

 

 

I.    Основные аксиомы стереометрии--------------- 4 II. Прямые, плоскости, параллельность------------ 6

III. Изображение пространственных фигур------ 7 IV. Перпендикулярность. Углы. Расстояния----- 12 V. Несколько задач на построение, воображение, изображение и соображение------------------------ 17

I.Основные аксиомы стереометрии

 

Итак, в стереометрии к основным понятиям планиметрии добавляется еще одно - плоскость, а вместе с ним - аксиомы, регулирующие «взаимоотношения» плоскостей с другими объектами геометрии. Таких аксиом три.

Первая- аксиома выхода в пространство - придает «театру геометрических действий» новое, третье измерение:

·     Имеется четыре точки, не лежащие в одной плоскости (рис. 1)

 

Рис. 1

Таким образом, не все точки находятся в одной плоскости. Но этого недостаточно. Нужно, чтобы различных плоскостей было бесконечно много. Это обеспечивается второй аксиомой- аксиомой плоскости:

 

·     Через любые три точки проходит плоскость.

С третьей аксиомой мы сталкиваемся, когда складываем фигурки из бумаги: все знают, что, образующиеся при этом линии сгиба - прямые.

Аксиома пересечения плоскостей звучит так:

·    

Рис. 2

Если две плоскости имеют общую точку, то их пересечение есть прямая.

·     (рис.2)

 

 

Отсюда следует: если три точки лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость единственная.

Действительно, если через какие- то три точки проходят две разные плоскости, то через эти точки можно провести прямую, а именно прямую, по которой плоскости пересекаются. Отметим, что последнее свойство само нередко включается в аксиомы.

Третья аксиома играет очень существенную и неочевидную с первого взгляда роль в стереометрии: она делает пространство в точности трехмерным, потому что в пространствах размерности четыре и выше плоскости могут пересекаться по одной точке. К трем указанным так же присоединяются планометрические аксиомы, переосмысленные и подправленные с учетом того, что теперь мы имеем дело не с одной, а с несколькими плоскостями. Например, аксиому прямой - через две различные точки можно провести одну и только одну прямую - переносят в стереометрию дословно, но только она уже распространяется на две точки пространства.

В качестве следствия выведем прямо из аксиом одно полезное следствие: прямая, имеющая с плоскостью хотя бы две общие точки, целиком лежит в этой плоскости.

β

α

Рис. 3

B

A

.

.

.C

l

Пусть прямая l проходит через точки А и В плоскости α (рис. 3). Вне плоскости α есть хотя бы одна точка С (по аксиоме выхода в пространство). В соответствии с аксиомой плоскости через А,В и С можно провести плоскость β. Она отлична от плоскости α, так как содержит С и имеет с α две общие точки. Значит, β пересекается с α по прямой, которой, как и l, принадлежат А, В. По аксиоме прямой, линия пересечения плоскостей совпадает с l. Но эта линия лежит в плоскости α, что и требовалось доказать.

Путем несложных доказательств мы находим, что:

·     На каждой плоскости выполняются все утвержде-ния планиметрии.

II. Прямые, плоскости, параллельность.

 

Уже такое основное понятие, как параллель­ность прямых, нуждается в новом определении:

две прямые в пространстве называются парал-лельнылт, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Так что не попадай­тесь в одну из излюбленных экзаменаторами ловушек — не пытайтесь «доказывать», что через две параллельные прямые можно про­вести плоскость: это верно по определению параллельности прямых! Знаменитую плани­метрическую аксиому о единственности парал­лельной включают и в аксиомы стереометрии, а с её помощью доказывают главное свойство параллельных прямых в пространстве:

·     Через точку, не лежащую на прямой, можно провести одну и только одну прямую параллельно данной.

 Сохраняется и другое важное свойство па­раллельных прямых, называемое транзитив­ностью параллельности:

·     Если две прямые а и b параллельны третьей прямой с, то они параллель­ны друг другу.

Но доказать это свойство в стереометрии сложнее. На плоскости непараллельные прямые обязаны пересекаться и потому не могут быть одновременно параллельны третьей (иначе нарушается аксиома параллельных). В про­странстве существуют непараллельные и при­том непересекающиеся прямые — если они лежат в разных плоскостях. О таких прямых говорят, что они скрещиваются.

B¹

A¹

C¹

D¹

D

А

На рис. 4 изображён куб; прямые АВ и ВС пересекаются, АВ и CD — параллельны, а АВ и В¹С¹ — скрещиваются. В дальнейшем мы часто будем прибегать к помощи куба, чтобы иллюс­трировать понятия и факты стереометрии. Наш куб склеен из шести граней-квадратов. Исходя из этого, мы будем выводить и другие его свойства. Например, можно утверждать, что прямая АВ параллельна C¹D¹, потому что обе они параллельны общей стороне CD со­держащих их квадратов.

С

В

Рис. 4

В стереометрии отношение параллельности рассматривается и для плоскостей: две пло­скости или прямая и плоскость параллельны, если они не имеют общих точек. Прямую и плоскость удобно считать параллельными и в том случае, когда лежит в плоскости. Для плоскостей и прямых справедливы теоремы о транзитивности:

·     Если две плоскости параллельны третьей плоскости, то они параллельны между собой.

·     Если прямая и плоскость параллельны некоторой прямой( или плоскости), то они параллельны друг другу.

Наиболее важный частный случай второй теоремы- признак параллельности прямой и плоскости:

·     Прямая параллельна плоскости, если она параллельна некоторой прямой в этой плоскости.

А вот признак параллельности плоскостей:

·     Если две пересекающиеся прямые в одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым в другой плоскости, то и плоскости параллельны.

Часто используется и такая простая теорема:

·     Прямые, по которым две параллельные плоскости пересекаются третьей, параллельны друг другу.

Посмотрим еще раз на куб (рис. 4). Из признака параллельности прямой и плоскости следует, например, что прямая А¹В¹ параллельна плоскости АВСD (так как она параллельна прямой АВ в этой плоскости), а противоположные грани куба, в частности А¹В¹С¹D¹ и ABCD, параллельны по признаку параллельности плоскостей: прямые A¹B¹ и B¹С¹ в одной грани соответственно параллельны прямым АВ и ВС в другой. И чуть менее простой пример. Плоскость, содержащая параллельные прямые AA¹ и СС¹, пересекают параллельные плоскости АВСD и A¹B¹C¹D¹ по прямым АС и А¹С¹, значит, эти прямые параллельны: аналогично, параллельные прямые В¹С и А¹D. Следовательно, параллельные плоскости АВ¹С и А¹DC, пересекающие куб по треугольникам.

III. Изображение пространственных фигур.

Есть такой афоризм «Геометрия — это искус­ство правильно рассуждать на неправильном чертеже». Действительно, если вернуться к из­ложенным выше рассуждениям, то окажется:

единственная польза, которую мы извлекли из сопровождавшего их рисунка куба, состоит в том, что он сэкономил нам место на объясне­нии обозначений. С тем же успехом можно было изобразить его, как тело на рис. 4, я, хотя, очевидно, представленное на нём «нечто» не только не куб, но и не многогранник. И всё же в приведённом афоризме заключена лишь часть правды. Ведь прежде, чем «рассуждать» — излагать готовое доказательство, надо его при­думать. А для этого нужно ясно представлять себе заданную фигуру, соотношения между её элементами. Выработать такое представление помогает хороший чертёж. Более того, как мы увидим, в стереометрии удачный чертёж мо­жет стать не просто иллюстрацией, а основой решения задачи.

а

Рис. 5

б

Художник (вернее, художник-реалист) на­рисует наш куб таким, каким мы его видим (рис. 5, б), т. е. в перспективе, или централь­ной проекции. При центральной проекции из точки О (центр проекции) на плоскость а про­извольная точка Х изображается точкой X', в которой а пересекается с прямой ОХ (рис. 6). Центральная проекция сохраняет прямоли­нейное расположение точек, но, как правило, переводит параллельные прямые в пересека­ющиеся, не говоря уже о том, что изменяет расстояния и углы. Изучение её свойств при­вело к появлению важного раздела геометрии (см. статью «Проективная геометрия»).

Рис. 6

Но в геометри-ческих чертежах исполь-зуется другая проекция. Можно сказать, что она получается из централь-ной когда центр О уда-ляется в бесконечность и прямые ОХ становятся па­раллельными.

Выберем плоскость а и пересекающую её прямую l. Проведём через точку Х прямую, па­раллельную l. Точка X', в которой эта прямая встречается с а, и есть параллельная проекция Х на плоскость, а вдоль прямой l (рис. 7). Про­екция фигуры состоит из проекций всех её точек. В геометрии под

α

D¹

D

C

B

B¹

A

A¹

C¹

l

Рис. 7

изображением фигуры понимают её параллельную проекцию.

В частности, изображение прямой линии — это прямая линия или (в исключительном слу­чае, когда прямая параллельна направлению проекции) точка. На изображении параллель­ные прямые так и остаются параллельными, сохраняется здесь и отношение длин парал­лельных отрезков, хотя сами длины и изменя­ются. Всё вышесказанное можно уложить в одну короткую формулировку основного свой­ства параллельной проекции:

·     Если АВ =k CD, а A¹,B¹,C¹ и D¹- проекции точек A,B,C и D, то A¹B¹= k C¹D¹.

Черта здесь означает направленные отрезки (векторы), а равенство — совпадение не толь­ко длин, но и направлений (рис. 7). Таким об­разом, если задать изображения точек А и В, то будут однозначно определены и изображения всех точек Х прямой АВ, поскольку множитель k в равенстве AX = kAB на параллельной про­екции и оригинале одинаков. Аналогично, по изображениям трёх точек, не лежащих на од­ной прямой, однозначно восстанавливаются изображения всех точек проходящей через них плоскости, а задав изображения четырёх точек, не находящихся в одной плоскости, мы предопределяем изображения всех точек про­странства.

В то же время изображением данной трой­ки точек, т. е. треугольника, может служить тре­угольник любой заданной формы. В этом легко убедиться: проведём через сторону Поданного треугольника

Рис. 8

ЛВС любую плоскость а, постро­им в ней треу-гольник АВС нужной формы и спроектируем треугольник АВС на α вдоль пря­мой l = СС¹ (рис. 8). Взяв в качестве А В С равно­бедренный прямоу-гольный треугольник и до­строив его до квадрата ABCD, увидим, что в параллельной проекции квадрат легко превращае-тся в любой параллело-грамм. Более того, можно доказать, что изображе-нием любой данной треу-гольной пирамиды могуг быть лю­бые четыре точки, не лежащие на одной пря­мой, вместе с соединяющими их отрезками.

Правильно выбранное изображение помо­гает решать задачи. Найдём, например, отно­шения, в которых треугольное сечение A¹BD нашего куба (рис. 9, а) делит отрезок, соединяющий середины Р и Q рёбер AD и В¹С¹. По­смотрим на куб со стороны бокового ребра ВВ¹, а точнее говоря, спроектируем куб вдоль прямой BD па плоскость АА¹С¹С. Понятно, что проекцией будет сам прямоугольник АА¹С¹С с проведённым в нём отрезком, соединяющим середины оснований (точки В и D совпадут;

Р(=К’) B(=D)

М

А

А¹

С

С¹

B¹(=D¹) Q

Рис. 9

рис. 9, б); рассматриваемое сечение превра­тится в отрезок (рис. 9, б), а точки Р и Q станут серединами отрезков А1) и ВiCi. Очевидно, что на нашем рисунке A¹Q = 3PB, а значит, РМ: MQ = 1 : 3. В силу основного свойства параллельной проекции, это равенство верно и в пространстве. Та же про­екция позволяет найти отношение между ча­стями любого проведённого в кубе отрезка, на которые он рассекается плоскостью A¹BD: в частности, отрезок KQ, где К — середина АВ. вновь делится ею в отношении 1 : 3, а диаго­наль АС, — в отношении 1:2.

Ещё эффектнее решения планиметриче­ских задач, которые получают, «выходя в про­странство», т. е. представляя данную плоскую фигуру в виде изображения некоего пространственного объекта. Вот одна из таких задач, требуется построить треугольник с вершина­ми на трёх данных лучах ОА, 0В и ОС с общим началом О так, чтобы его стороны проходили через три данные внутри углов АОВ, ВОС к СОА точки Р, Q и R.

R

R

Рис. 10

E

M

Q¹

Q

С

О

А

В

Р

Q

С

О

А

В

Р

R¹

Это очень трудная задача. Но если мы дога­даемся посмотреть на её чертёж (рис. 10, а) как на изображение трёхгранного угла с тремя точками на его гранях, то, конечно, поймем, что имеем дело с задачей на построение сечения этого угла плоскостью PQR. Решение задачи приводится на рис 10, б; кстати сказать, оно поясняет и основной прием построения сечений. Из произвольной точки Е луча ОС проектируем данные точки R и Q на плоскость ОАВ; получаем точки R¹ и Q¹. Плоскость искомого сечения пересекает плоскость ОАВ по прямой МР. Дальнейшее очевидно.

IV. Перпендикулярность. Углы. Расстояния.

 

До сих пор мы, по существу, нигде не пользовались такими важными геометрическими понятиями, как расстояния и углы. Даже в нашем кубе нам достаточно было только того, что его грани- параллелограммы, равенства всех их сторон и углов на самом деле не требовалось. Чтобы иметь возможность изучать свойства куба и других пространственных фигур во всей полноте, нужны соответствующие определения. Прежде всего, расширим понятие перпендикулярности, известное из планиметрии.

Если прямая пересекает плоскость в этой плоскости, проходящей через точку Р, то говорят , что данные прямая и плоскость перпендикулярны.

Например, ясно, что ребро АА¹ нашего куба перпендикулярно основанию АВСD. Но как проверить, что это ребро действительно перпендикулярно любой прямой, лежащей в основе и проходящей через А? Оказывается, достаточно того, что АА¹ составляет прямые углы с двумя из них – АВ и АD: согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости,

·     Если прямая l перпендикулярна двум пересекающимся прямым a и b, то она перпендикулярна плоскости, содержащей a и b.

Причём здесь не обязательно предполагать, что прямые a и b пересекают l: считают, что скрещивающиеся прямые перпендикулярны, если перпендикулярны параллельные им пря­мые, проходящие через произвольно взятую точку, в частности через точку пересечения l с плоскостью. Так что теперь можно сказать, что прямая, перпендикулярная плоскости, перпен­дикулярна любой лежащей в этой плоскости прямой. Справедлива такая теорема:

·     Через данную точку в пространстве можно провести одну и только одну плоскость, перпендикулярную дан­ной прямой, а также одну и только одну прямую, перпендикулярную данной плоскости.

Параллельная проекция на плоскость вдоль перпендикулярной ей прямой называется ортогональной (т. е. прямоугольной) проекцией на данную плоскость. Обычно, когда говорят просто «проекция», имеют в виду именно ор­тогональную проекцию. Она обладает всеми общими свойствами параллельной проекции. Но у неё есть и специфические свойства, их можно использовать при решении задач о расстояниях и углах в пространстве.

Из признака перпендикулярности прямой и плоскости выводится очень простая, но важная теорема о трёх перпендикулярах (рис. 11):

·     Наклонная a к плоскости перпендикулярна к прямой l в этой плоскости тогда, когда её проекция а¹ на плоскость перпендикулярна l.

Наклонной к плоскости называют любую пересекающую её, но не перпендикулярную ей прямую. Оба условия в этой теореме равно­сильны тому, что плоскость, содержащая а и а', перпендикулярна прямой /.

B¹

Применим обе теоремы к кубу (рис. 11). Проекция АС его диагонали АC¹ на основание перпендикулярна диагонали основания BD; по теореме о трёх перпендикулярах, и сама диаго­наль АС¹ перпендикулярна BD. По такой же причине перпендикулярны АС¹ и А¹В. Отсюда следует, что диагональ перпендикулярна «тре­угольному сечению» A¹BD.  В стереометрии помимо обычных плоских

A¹

C¹

D¹

D

C

B

A

углов приходится иметь дело ещё с тремя ви­дами углов. Угол между скрещи-вающимися прямыми, по определению, равен углу между пе­ресекающимися прямыми, которые им парал­лельны. Угол между прямой а и плоскостью о. равен углу между прямой а и её проекцией а' на плоскость (рис. 10), а если прямая и пло­скость перпендикулярны, его принимают рав­ным 90°. Это наименьший из углов между пря­мой а и любой прямой в плоскости а. Угол между пересекающимися плоскостями измеря­ется углом между перпендикулярами, проведён­ными в этих плоскостях к линии их пересече­ния (рис. 13). Все названные углы принимают значения в промежутке от 0 до 90°.

 Найдём, например, угол между диагоналями А¹В и В¹С граней нашего куба (рис. 14). Заме­ним прямую В¹С на параллельную ей диагональ A¹D противоположной грани; искомый угол равен углу BA¹D, т. е. 60° (треугольник BA¹D равносторонний). Угол между диагональю АС¹ и основанием куба равен углу САС¹ между прл* мой ас¹ и её проекцией АС на основание, т.е. arctg (C¹C/AC) = arctg (1/√2]. А угол между пло­скостями BDA¹ и BDC¹ (рис. 14) равен углу А¹МС¹, где М — середина BD, так как прямые МА¹ и МС¹ лежат в этих плоскостях и перпендикулярны их линии пересечения BD (несложное вычисление даёт arccos (1/3)).

Расстоянием между двумя любыми фигура­ми называют наименьшую длину отрезка, концы которого принадлежат данным фигу­рам. Значит, расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенно­го из точки на плоскость, — он короче любой наклонной, так как гипотенуза прямоугольно­го треугольника короче катета. Расстояние между параллельными плоскостями, очевидно, равно расстоянию от любой точки в одной из них до другой плоскости (рис. 15, а).

Более интересен вопрос о расстоянии между двумя скрещивающимися прямыми а и b. Проведём через прямую а плоскость α, параллельную прямой b (рис. 15, б), найдем точку пересечения А ортогональной проекции b¹ прямой b на α и точку В прямой b, которая проектируется в точку А. Отрезок АВ перпендикулярен плоскости а и потому является общим перпендикуляром к прямым а и b. Его длина и равна расстоянию между нашими скрещивающимися прямыми.

b¹

a

α

A

Вместо того чтобы вычислять расстояния и углы в пространстве, часто можно находить соответствующие величины на ортогональной проекции данной фигуры. На рис. 15 показаны .те интересные ортогональные проекции куба '„' ребром длины и: прямоугольник размером

а * а√2 (проекция на диагональную плоскость АСС¹А¹ или, что то же, вдоль диагонали BD ос­нования): и правильный шестиугольник со сто­роной а√2/3 (проекция вдоль диагонали куба АС¹; мы видели, что прямая АС¹ перпендику­лярна плоскости BDA¹, а потому правильный треугольник BDA, со стороной а√2 в такой проекции не искажается). С помощью первой проекции можно найти, например, угол между плоскостями BDA¹ и BDC¹ — он равен углу меж­ду красными прямыми, в которые проектиру­ются эти плоскости. А расстояние r между двумя скрещивающимися диагоналями граней BD и В¹С равно расстоянию на рис. 16, а от точки В до прямой В¹С (В и B¹C — изображения первой и второй диагоналей соответственно). Поду­майте почему. (Здесь важно, что общий перпендикуляр диагоналей параллелен плоскости про­екции.) Легко найти, что r= а/√3. Нетрудно вычислить на той же проекции и расстояние между прямыми BD и АС¹ Ещё проще найти его с помощью рис. 16, б, на котором АС¹ превра­щается в точку: расстояние от последней — центра шестиугольника — до BD равно половине стороны шестиугольника, т. е. а/√6.

б

B¹

B

A¹

D¹

C

D

A(=C¹)

а

r

B¹(=D¹)

B(=D)

A

C¹

C

A¹

Отметим интересное соотношение, связы­вающее площадь фигуры, площадь её проекции и угол между плоскостями:

·     Площадь Sпр ортогональной проекцией многоугольника равна площади S многоугольника, умноженной на cos φ, где φ- угол между его плоскостью и плоскостью проекции:

Это очевидно для треугольника, одна из сто­рон которого совпадает с линией пересечения двух плоскостей (рис. 17) или параллельна ей. А любой многоугольник можно разбить на та­кие треугольники. Приближая криволинейные фигуры многоу-гольниками, получим, что фор­мула площади проекции справедлива и для них.

V. Несколько задач на построение, вооброжение, изображение и соображение.

 

ЗАДАЧА 1.

По правилам черчения принято изображать пунктиром ребра многоугольника, расположенные на его обратной стороне. Некоторый многоугольник спереди и сверху выглядит одинаково, как показано на рис 18. Пунктиров на изображении нет- значит нет и невидимых ребер. Как предмет выглядит сбоку?

ЗАДАЧА 2.

?

E

D

F

C

A

B

Может ли рисунок 19 служить изображением многогранника с тремя четырехугольными гранями и двумя треугольными?

ЗАДАЧА 3.

На рисунке 20 изображена треугольная пирамида, в которой проведены два отрезка, соединяющие точку на противоположных ребрах. Можно ли по рисунку определить, пересекаются эти отрезки в пространстве или нет? А если можно, то как?

ОТВЕТЫ.

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Нет. Прямые AD, BE, CF должны пересекаться в одной точке.

?

3. Можно. Отрезки пересекаются (т.е. лежат в одной плоскости) тогда и только тогда, когда либо точка пересечения синих прямых лежит на прямой АВ, либо они параллельны.