Универсальная геометрия в природе и архитектуре

“Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это

теорема Пифагора, и другое – деление отрезка в среднем и

крайнем отношении…Первое можно сравнить с мерой

золота, второе больше напоминает драгоценный камень”

Иоганн Кеплер

(Н.Васютинский. Золотая пропорция.-М.:Молодая

гвардия,1990,с.8)

1. СФЕРА АРХИТЕКТУРНЫХ ПРОПОРЦИЙ 1.1. Архитектурные пропорции и геометрия. Проблема гармонизации архитектурной формы возникла в древности с практикой строительства, проявляясь как противоречие между чувственным субъективным опытом человека, с одной стороны, и общественной нормами в строительной метрологии – с другой стороны.

Теория архитектурных пропорций развивалась не только как профессионально-эстетическое отражение практики, но и как процесс адаптации к архитектурным задачам представлений о геометрии и законах пространства, полученных в других областях знания (физика, философия, биология, психология и т.д.). В рамках профессиональной практики, эмпирическое познание законов гармонии осуществлялось через диалектическое отражение единства и противоположности модульных и геометрических систем пропорций.

Ориентация на необходимость гармонизации формы всегда опиралась на объективность избирательного подхода человека при восприятии пространства (т.е. на предположение о существовании в природе и механизмах восприятия особенных отношений, соответствующих живой материи, а в отдельных древних гипотезах – и природе всего космоса). Это утверждало гармонию как законную норму, как порядок отношений в геометрии объекта искусственной природы, соответствующий законам естественной природы. С древности, мерой архитектурных объектов выступал человек. Позже, под давлением социальных требований унификации и стандартизации, антропометрические системы измерения сменились абстрактными численными и линейными мерами.

Эмпирический поход получил импульс в развитии в связи с бурным ростом капиталистической промышленности (резко возросшие объемы и скорость строительства, новые технологии). Но утвердить в социальной практике право человека на эстетику и гармонию, в противовес элементарной модульной системе (кубической решетке, основанной на механическом членении пространства на абстрактные доли - метры, сантиметры и миллиметры), ему не удалось.

К середине ХХ в. эмпирический подход, не смог отстоять свою состоятельность и исчерпал себя. К этому времени на базе традиционной геометрии были отработаны различные методы пропорционирования. Но в условиях массового индустриального строительства, осуществляемого анонимными заказчиками архитектуры, их применение было крайне ограничено. Одновременно, на уровне идей и концепций, были выработаны новые подходы к нормативному обоснованию объективности пространственной гармонии.

Серьезный шаг в этом направлении сделал Цейзинг (середина ХIХ века), установивший связи пропорций тела человека с отношениями “золотого сечения” (числами Фибоначчи) и возродившей антропоцентрическую идею в архитектурной метрологии (3). Спустя почти столетие, Ле Корбюзье реализовал идею Цейзинга в “Модулоре” - модульной системе для строительства, которая соответствовала статическим и динамическим пропорциям человека (7).

Расширился перечень прикладных математических средств архитектурной пропорции: векторный анализ в приложении к природным формам (20), модели геометрического кодирования зрительной информации, так называемые коды размерно-пространственных структур (19), применение систем уравнений (теорема Пифагора и отношения среднепропорционального), как механизма выделения приоритетных отношений и конструирования особых, архитектурных, модульно-геометрических (3,4,5,6) пространственных образований.

1.2 Зрительное восприятие и геометрия. Принцип соответствия пропорций архитектуры и человека, находит свое дальнейшее развитие на более тонком уровне отражения пространства человеком, в механизмах зрительного восприятия. Он связывается с законом Вебера-Фехнера (9,12): процесс отражения пространственной информации зрительной системой связан с логарифмическими механизмами восприятия, преобразования, коммуникации и представления ее в зрительной коре. Иначе, сетчатка логарифмирует изображенные на ней проекции объектов, превращая действительные пространственные величины в частоты колебаний нейронов. Степени возбуждения, или пространственные частоты, пройдя длинный путь, передают степень возбуждения в мозг, и возбужденная зрительная кора воспроизводит образ объекта восприятия, превращая степени, в обратном порядке, в действительные отношения. Это уже специфическая оптика, реализуемая на уровне прямых и обратных связей нервной деятельности и поддержанная электрическими и химическими процессами. Не удивительно, что с логарифмическими механизмами восприятия зрительной информации естественно связываются отношения “золотого сечения”, сочетающего в себе, как арифметическую, так и геометрическую прогрессии, и обладающего универсальными логарифмическими особенностями (9).

С позиций современного знания о зрительном восприятии, предположения древних ученых и философов (Пифагорейская школа, Эмпедокл, Евклид) о том, что глаза испускают особые лучи во внешнее пространство, благодаря чему человек видит (Л.В.Тарасов, А.Н.Тарасова, Беседы о преломлении света, - М.: Наука, 1982 г. с.123), сегодня представляются не такими уж и наивными. Они правильно отражают принцип зрения, с тем уточнением, что мозг действительно испускает “лучи”, но не во внешнее пространство, а на сетчатку, и производит локацию пространственной геометрии внешнего пространства, но представленной в проекциях на сетчатке оптической системой глазного яблока.

Во второй половине ХХ века появляются информационные подходы (приложение закона Клода Шеннона о количественной мере информации к исследованию архитектурных пропорций), согласующиеся с законом Вебера-Фехнера и обосновывающие логарифмические принципы отражения пространства (13), но уже с позиций теории информации. Современное естествознание так же подтверждает логарифмическую природу физических явлений (например, периодичность, длительность). В частности, согласно второму началу термодинамики (закону энтропии), естественная природа теряет упорядоченность по логарифмической зависимости (11,21,24), т.е. процесс распада вещества периодически связан с его количеством (массой) в логарифмической форме.

Заметное расширение естественнонаучного начала в познании архитектурных пропорций характеризует не только кризис эмпирического познания, но и стремление к большей объективации знания, выходящее за рамки исследований возможностей абстрактных геометрических конструкций и численных мер. Кризис эмпирической методологии пропорций поставил новые задачи, связанные с более глубокой интеграцией в сфере интересов теории архитектурных пропорций математических, философских и физических моделей пространства (19,20). В этом отношении, физико-математические теории ХХ века, а так же философские работы, связанные с рефлексией результатов современной физики, представляют особую сферу для исследования категории гармонии вообще, гармонии в архитектурной геометрии, в частности.

1.3. Физика и геометрия природы. Как показывает анализ, современная физика пока не имеет готовых идей о законах и геометрии пространства-времени, приложимых к архитектуре в части сопоставимости физической и архитектурной геометрий. Даже обнадеживающие в начале ХХ века разработки А. Эйнштейна, сначала, в специальной (СТО), а потом и в общей (ОТО) теориях относительности, не привели к ожидаемым результатам. Практически, для всех областей знаний (за пределами физики), пространство-время носит мифологическую форму отчужденного от реальности “сюрреалистического” бытия природы. Релятивизм, разрушивший классическую традицию, по существу так и не представил взамен более убедительной, доступной и априори очевидной для человека идеи геометрии пространства-времени.

В СТО четырехмерное пространство-время Минковского, подобно трехмерному пространству и времени классической физики, носит абсолютный характер. В известном смысле пространство Минковского является экстраполяцией абсолютного трехмерного пространства Исаака Ньютона на еще одно измерение (21). Пространство Минковского однородно и изотропно (но уже в четырех измерениях), т.е. аналогично пространству Ньютона: как в механике Ньютона, так и в СТО, пространство-время пассивно. Это тот же сосуд, внутри которого тела, поля и т.п., движутся, не оказывая обратного воздействия на пространство-время (21). А.Эйнштейн сам отказался от СТО, в которой новый принцип относительности еще следует материалистическим принципам классической механики Ньютона. Он следующим образом объяснял отказ от СТО: “Итак, прежний способ, заключающийся в определенном построении координат в пространственно-временном континууме, оказывается неприменимым; представляется, что не существует пути, который бы позволил приспособить к четырехмерному миру такие координатные системы, чтобы с помощью их можно было бы ожидать особенно простой формулировки законов природы. Поэтому не остается ничего другого, как признать все мыслимые координатные системы принципиально равноправными для описания природы” (21).

В ОТО Эйнштейн заложил основы геометризации уравнений материи. Дж. Уиллер так выразил идею Эйнштейна: “Я глубоко потрясен сознанием всего величия пророческой мечты Эйнштейна, владевшей им на протяжении последних 40 лет его жизни. Я спрашиваю себя, как воплощается сегодня надежда Эйнштейна понять материю как форму проявления пустого искривленного пространства-времени. Его давняя мечта, так и не осуществленная им на протяжении всей его жизни и к осуществлению которой не приблизились еще и сегодня, может быть выражена древним изречением “все есть ничто”. Сегодня эту мысль можно высказать в виде рабочей гипотезы: материя есть возбужденное состояние динамической геометрии” (16).

Как отмечает Г.И.Шипов (22) так же как в СТО, так и в ОТО Эйнштейну не удалось преодолеть фундаментальное и принципиальное противоречие, свойственное абсолютной системе отсчета Ньютона: пространство-время и материя по прежнему представляют собою раздельные сущности. Будущее теории пространства-времени, которая бы устранила это противоречие, связывается с физическим вакуумом, как некоторой первоматерии, положившей начало вещественной эволюции Вселенной (11,21,22). Геометрия этой не квантованной субстанции связана с кручениями и лишена привычных представлений о трансляционных координатах пространства-времени (22). В частности, концепция физического вакуума Г.И.Шипова (22), базируется на ОТО А.Эйнштейна, но представляет движение в 10-мерной форме, где к 4 трансляционным координатам пространства-времени приложены 6 торсионных уравнений, описывающих изменение ориентации четырехмерного пространства-времени (три уравнения Эйлера, описывающих вращательное движение твердого тела для центра масс, и 3 неголономных координаты – приращения углов Эйлера, описывающих реальное, а не координатное, как у А.Эйнштейна, вращение).

Современное направление познания физического движения связывается с абсолютно геометризированными уравнениями движения, исключающими его классические характеристики (массу, энергию, импульс и т.д.). Но как бы ни подтверждался опытными данными предельно геометризированный подход к описанию природы, проблема понимания и объяснения объективных законов движения материи (равно как и причинно-следственное обоснование идей геометризации) остается открытой. Неразрешенность фундаментальной для физики проблематики, связанной с силами инерции (реальны ли они вообще? что является их источником? являются ли они внешними или внутренними по отношению к изолированной системе?) (22), является иллюстрацией скромной реализации в естествознании конца ХХ века, идей начала ХХ века.

1.4. Математика и физические модели материи. Кризис в естествознании косвенно отражает и прикладные проблемы математики. Применяемые в физике математические средства, не всегда доступны, не только специалистам другим областей, но даже ограниченному кругу физиков. В тоже время априори очевидно, что живые системы, органические формы природы пользуются какими-то чрезвычайно простыми механизмами вычислений, тесно связанными с особенностями симметрии их организации.

Одна из прикладных к физике проблем математики связана с интегральным исчислением, при котором, например, для зарядов и фотонов (как точечных масс), интегрирование ведется в пределах от 0 до, в результате чего соответствующие интегралы обращаются в бесконечность. Создатель квантовой электродинамики П.Дирак (22) эту проблему сформулировал в радикальной форме: “Правильный вывод состоит в том, что основные уравнения неверны. Их нужно существенно изменить, с тем, чтобы в теории вообще не возникали бесконечности и чтобы уравнения решались точно, по обычным правилам, без всяких трудностей. Это условие потребует каких-то очень серьезных изменений: небольшие изменения ничего не дадут”.

Существуют проблемы, связанные с математикой мнимых и комплексных чисел. Появившись в математике как пробочный продукт операций с действительными числами, мнимые и комплексные числа долгое время не могли получить геометрической интерпретации, не говоря о физической (И.К.Андронов, Математика действительных и комплексных чисел, - М.: Просвещение, 1975 г, с.96-115). Появление мнимых чисел в физике вызывало серьезные теоретические споры, а их физическое толкование, например, в волновой функции Шредингера Максом Борном, связывалось с вероятностными характеристиками движения в микромире (11).

Подобные споры, после представления Минковским геометрической интерпретации пространства-времени, были связаны с правомочностью включения мнимой единицы () в уравнения. Это произошло после того, как в 1905 году Пуанкаре обнаружил, что преобразования Лоренца математически соответствуют повороту в четырехмерном пространстве имеющем три пространственных измерения и одно временное измерение - три действительных координаты х, у, z и мнимую координату времени ict. В 1908 году Минковский завершил построение четырехмерной модели пространства-времени. В соответствии с подходом Минковского, вместо действительной сt можно использовать мнимую ict. Четырехмерные координаты, в которых используется мнимое время, называют координатами Минковского, в физике используются ограниченно, носят название Галилеевых координат и, по мнению физиков, более пригодны для глубокого анализа явлений, однако требуют усложнения математического аппарата (21).

Утверждение Минковского о единой природе пространства и времени вызвало критику ученых. В частности Дж. Уиллер отмечает: “Но теперь уже понимают, что нельзя преувеличивать утверждений Минковского. Совершенно справедливо, что время и пространство, неразделимые части единого целого. Однако неверно, что время качественно то же самое, что пространство. Почему же это неверно? ….. Какой же еще может быть к ним законный подход, как не равноправный, в формуле для пространственно-подобного интервала? Равноправный подход – конечно, но одинаковая природа - никак нет! В этой формуле есть знак минус, и его не изгнать оттуда никакими уловками. Знак минус отражает разную природу пространства и времени. Перейти к мнимому числу– вовсе не означает избавиться от этого “минуса”. Это случилось бы, если бы величина it была реальной, но она мнима. Нет часов, которые бы показывали секунд или метров. Реальные часы показывают реальное время, например t = 7сек. Поэтому член (время) всегда противоположен по знаку (расстоянию). Никакими закручиваниями и поворотами никогда не удастся заставить оба знака совпасть друг с другом” (14).

Аналогичную точку зрения по поводу мнимой единицы высказывает Э.Шмутцер: “…с помощью искусственного приема – введения мнимой единицы i - мы чисто формально наделяем время теми же качествами, что и пространство. Это дает возможность обобщить понятие вращения в трехмерном пространстве на четырехмерное пространство. Впрочем, это чисто математический трюк, за которым не кроется никакого физического смысла, но который оказывается полезным для некоторых целей” (21). Уравнения физики (волновая функция Шредингера (11), античастицы П.Дирака (11), теория физического вакуума Г.И.Шипова (22) и другие) вынужденно включают мнимую единицу, связывая с ней вероятностные характеристики движения. Представляется, что вероятностная трактовка не снимает проблем физической интерпретации мнимых и комплексных чисел в физике.

1.5. Философия, математика, диалектика. Математика, долгое время развивавшаяся в направлении узкой специализации, в самой себе, сегодня нуждается в синтезе и диалектической классификации математического знания, обслуживающего естественнонаучные исследования. Здесь уместно вспомнить о попытках Ф.Энгельса в “Диалектике природы” провести классификацию форм движения материи и соответственно классификацию наук, изучающих эти формы, опираясь на исследование диалектического содержания математики, механики, физики, химии, биологии (23). При этом Энгельс в математике выделял проблему кажущейся априорности математических абстракций: “Так называемые аксиомы математики – это те немногое мыслительные определения, которые необходимы в математике для исходного пути… Спенсер прав в том отношении, что кажущаяся нам самоочевидность этих аксиом унаследована нами. Они доказуемы диалектически, поскольку они не чистые тавтологии” (23). Иначе, Ф.Энгельс указывает на то, что в простых числовых величинах (1;-1;; 0), и в простых операциях (сложение, вычитание, умножение и деление), скрыты априори очевидные законы диалектики: закон единства и борьбы противоположностей, закон перехода количественных изменений в качественные, закон диалектического отрицания. Очевидность этих законов в действительности является естественной способностью человеческого сознания, а, следовательно, и естественной способностью диалектического отражения природы человеком.

Развитие естествознания сегодня требует философско-математического переосмысления таких системообразующих категорий как “относительное” и “абсолютное”. Требуется внедрение новых идей в понимание систем отсчета пространства-времени, неотделимых от движения самой материи. Накопленные в различных областях знания, а так же множество конструктивных идей в “пограничных зонах” смежных областей знаний, еще не получивших статуса научного, позволяют надеяться на возможность разработки геометрических моделей, способных объективно отражать законы движения в простой, классической форме, естественной для чувственного человеческого восприятия.