Иррациональные уравнения и неравенства

МОУ СОШ «УК №20»

Иррациональные

 уравнения и неравенства

реферат по алгебре

ученика 11 «В» класса

 Торосяна Левона

Руководитель:

Олейникова Р. М.

 Сочи 2002г.

 

Содержание.

I.         Введение

II.       Основные правила

III.     Иррациональные уравнения:

·    Решение иррациональных уравнений стандартного вида.

·    Решение иррациональных уравнений смешанного вида.

·    Решение сложных иррациональных уравнений.

IV.     Иррациональные неравенства:

·    Решение иррациональных неравенств стандартного вида.

·    Решение нестандартных иррациональных неравенств.

·    Решение иррациональных неравенств смешанного вида.

V.       Вывод

VI.     Список литературы

I. Введение

Я, Торосян Левон, ученик 11 «В» класса, выполнил реферат по теме: «Иррациональные уравнения и неравенства».

Особенностью моей работы является то, что в школьном курсе на решение иррациональных уравнений отводится очень мало времени, а ВУЗовские задания вообще не решаются. Решение иррациональных неравенств в школьном курсе не рассматри- вают, а на вступительных экзаменах эти задания часто дают. Я самостоятельно изучил правила решения иррациональных уравнений и неравенств. В реферате показаны решения как иррациональных уравнений и неравенств стандартного типа, так и повышенной сложности. Поэтому реферат можно использовать как учебное пособие для подготовки в ВУЗ, также рефератом можно пользоваться при изучении этой темы на факультативных занятиях.

II. Иррациональные уравнения

Иррациональным называется уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня.

Решаются такие уравнения возведением обеих частей в степень. При возведении в четную степень возможно расширение области определения заданного уравнения. Поэтому при решении таких иррациональных уравнений обязательны проверка или нахождение области допустимых значений уравнений. При возведении в нечетную степень обеих частей иррационального уравнения область определения не меняется.

Иррациональные уравнения стандартного вида можно решить пользуясь следующим правилом:

 

 

Решение иррациональных уравнений стандартного вида:

 

а) Решить уравнение  = x – 2,

Решение.

 = x – 2,

2x – 1 = x² – 4x + 4, Проверка:

x² – 6x + 5 = 0, х = 5,  = 5 – 2,

x₁ = 5, 3 = 3

x₂ = 1 – постор. корень х = 1, 1 – 2 ,

Ответ: 5  пост. к. 1 -1.

б) Решить уравнение  = х + 4,

Решение.

 = х + 4,

Ответ: -1

в) Решить уравнение х – 1 =

Решение.

 х – 1 =

х³ – 3х² + 3х – 1 = х² – х – 1,

х³ – 4х² + 4х = 0,

х(х² – 4х + 4) = 0,

х = 0 или х² – 4х + 4 = 0,

(х – 2)² = 0,

х = 2

Ответ: 0; 2.

г) Решить уравнение х –  + 4 = 0,

Решение.

х –  + 4 = 0,

х + 4 = , Проверка:

х² + 8х + 16 = 25х – 50, х = 11, 11 –  + 4 = 0,

х² – 17х + 66 = 0, 0 = 0

х₁ = 11, х = 6, 6 –  + 4 = 0,

х₂ = 6. 0 = 0.

Ответ: 6; 11.

Решение иррациональных уравнений смешанного вида:

·    Иррациональные уравнения, содержащие знак модуля:

а) Решить уравнение  =

Решение.

 = ,   _{– +}

x

Учитывая ноль подкоренного выражения, данное уравнение равносильно двум системам:

или  

Ответ:

б) Решить уравнение

Решение.

,  _{– +}

 ^x

Учитывая ноль подкоренного выражения, данное уравнение равносильно двум системам:

или  

 

Ответ: .

·     Иррациональные показательные уравнения:

а) Решить уравнение

Решение.

ОДЗ:

Пусть  = t,  t > 0

Сделаем обратную замену:

 = 1/49, или  = 7,

 = ,  

– (ур-ние не имеет решений) x = 3.

Ответ: 3

б) Решить уравнение

Решение.

Приведем все степени к одному основанию 2:

данное уравнение равносильно уравнению:

Ответ: 0,7

·    Иррациональное уравнение, содержащее иррациональность четной степени:

Решить уравнение

Решение.

 возведем обе части уравнения в квадрат

3x – 5 – 2

2x – 2 = 2

x –1 =

x Проверка:

x x = 3,

4x 1 = 1.

x = 1,75
Ответ: 3.

·     Иррациональное уравнение, содержащее иррациональность нечетной степени:

Решить уравнение

Решение.

 возведем обе части уравнения в куб

 но , значит:

 возведем обе части уравнения в куб

(25 + x)(3 – x) = 27,

Ответ: –24; 2.

·    Иррациональные уравнения, которые решаются заменой:

а) Решить уравнение

Решение.

Пусть  = t, тогда  = , где t > 0

t –

Сделаем обратную замену:

= 2, возведем обе части в квадрат

Проверка: x = 2,5

Ответ: 2,5.

б) Решить уравнение

Решение.

Пусть  = t, значит = , где t > 0

t+ t – 6 = 0,

Сделаем обратную замену:

 = 2, возведем обе части уравнения в четвертую степень

x + 8 = 16, Проверка:

x = 8, x = 2,

x = 2. 6 = 6

Ответ: 2.

в) Решить уравнение  

Решение.

Пусть  = t,  где t > 0

Сделаем обратную замену:

 = 2, возведем обе части уравнения в квадрат

Проверка:  

,

Ответ: –5; 2.

Решение сложных иррациональных уравнений:

·    Иррациональное уравнение, содержащее двойную иррациональность:

Решить уравнение

Решение.

возведем обе части уравнения в куб

 возведем обе части уравнения в квадрат

Пусть  = t

t ²– 11t + 10 = 0,

Сделаем обратную замену: Проверка:

= 10, или = 1,  x = ,  

x = -пост. корень  0  

Ответ: 1. x = 1,

1 = 1

·    Иррациональные логарифмические уравнения:

а) Решить уравнение lg3 + 0,5lg(x – 28) = lg

Решение.

lg3 + 0,5lg(x – 28) = lg,

lg(3 = lg,

Учитывая ОДЗ, данное уравнение равносильно системе:

Ответ: 32,75

б) Решить уравнение  

Решение.

 

 

Ответ: ; – 2; 3.

IV. Иррациональные неравенства

Неравенства называются иррациональными, если его неизвестное входит под знак корня (радикала).

Иррациональное неравенство вида  равносильно системе неравенств:

Иррациональное неравенство вида  равносильно совокуп-ности двух систем неравенств:

и

 Решение иррациональных неравенств стандартного вида:

а) Решить неравенство

Решение.

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

_{+ –  +}

 

Ответ:  [1; 2).  1 3 x

б) Решить неравенство

Решение.

Данное неравенство равносильно двум системам неравенств:

Ответ:

в) Решить неравенство

Решение.

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

   

Ответ: нет решений

Решение иррациональных неравенств нестандартного вида:

а) Решить неравенство

Решение.

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

Ответ:

б) Решить неравенство

Решение.

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

Ответ:  

·     Решение иррациональных неравенств с помощью правила знаков при умножении и делении:

а) Решить неравенство

Решение.

Учитывая то, что  и правило знаков при делении данное неравенство равносильно системе неравенств:

Ответ:

б) Решить неравенство (2x – 5)

Решение.

(2x – 5)

Учитывая то, что и правило знаков при делении данное неравенство равносильно системе неравенств:

Ответ:

· Решение иррациональных неравенств способом группировки:

Решить неравенство

Решение.

,

 сгруппируем по два слагаемых

 

 

 вынесем общий множитель за скобку

 учитывая, что > 0 и правило знаков при умножении данное неравенство равносильно системе неравенств:

 

Ответ:  ( 0; 1 )

·  Иррациональное неравенство, содержащее два знака иррациональности:

Решить неравенство

Решение.

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

Ответ:

· Решение иррациональных неравенств заменой:

Решить неравенство

Решение.

Пусть  = t, тогда  = , t > 0

Сделаем обратную замену:

возведем в квадрат обе части неравенства

Ответ:

Решение иррациональных неравенств смешанного вида:

·     Иррациональные показательные неравенства:

а) Решить неравенство

Решение.

,

 т.к. y = 0,8^t, то

0,5x(x – 3) < 2,

0,5x² – 1,5x – 2 < 0,

x² – 3x – 4 < 0,

f(x) = x² – 3x – 4,

ОДЗ, _{+ – +}

Нули функции: x₁ = 4; x₂ = – 1. _{–1 4} x

Ответ: х

б) Решить неравенство 4– 2 < 2– 32

Решение.

4– 2 < 2– 32, ОДЗ: x > 0

2– 2 2 < 2 2⁴ – 2⁵, выполним группировку слагаемых

2(2– 2) – 2⁴(2–2) < 0,

(2– 2)  (2– 2⁴) < 0, учитывая правило  знаков и ОДЗ данное неравенство равносильно 2-м системам:

или  

т.к. y = 2^t, то   т.к. y = 2^t, то

   

Ответ: х

· Решение иррациональных логарифмических неравенств:

Решить неравенство

Решение.

 уч. ОДЗ данное нер-во равносильно системе нер-ств

Ответ:

 

V. Вывод

Реферат помог мне научиться решать иррациональные уравнения и неравенства следующих типов: стандартные, показательные, содержащие знак модуля, логарифмические, повышенного уровня.

Примеры взяты и подробно разобраны не только из школьной программы, но и из вступительных экзаменов в школу А.Н. Колмогорова при МГУ, из сборника задач по математике под редакцией М.И. Сканави.

Этот материал может быть интересен и полезен выпуск – никам школ и абитуриентам технических вузов.

VI. Список литературы

1)  Алгебра и начала анализа. Под редакцией А.Н. Колмогорова

2)  3000 конкурсных задач по математике. Авторы: Е.Д. Куланин, В.П. Норин

3)  Справочные материалы по математике. Авторы: В.А. Гусев, А.Г. Мордкович

4)  Сборник задач по математике. Под редакцией М.И. Сканави

5)  Справочный материал