Линейная Алгебра. Теория групп

Лекции по общей алгебре

Лекция 1

Понятие бинарной алгебраической операции

Говорят, что на множестве S определена (бинарная) алгебраическая операция (АО) « *», если для всяких двух его элементов x и y однозначно определен элемент z=x*y называемый композицией или произведением элементов x и y.

Примерами таких операций могут служить обычные операции сложения, вычитания или умножения на множестве всех действительных (или комплексных ) чисел, операция умножения на множестве всех квадратных матриц данного порядка ,операция композиции на множестве всех перестановок из N элементов, операция векторного перемножения на множестве всех векторов трехмерного пространства.

Само по себе понятие АО является слишком общим, чтобы допускать сколько ни будь глубокое изучение. В алгебраических теориях обычно рассматривают операции, обладающие рядом дополнительных свойств. Перечислим некоторые из них.

Свойство ассоциативности

(1)

Во всех перечисленных выше примерах АО это свойство выполняется, за исключением операции вычитания и операции векторного произведения.

Из свойства (1) вытекает, что произведение любого числа сомножителей однозначно определено, так как не зависит от того, как в этом произведении расставлены скобки, например

Разумеется, при этом нельзя нарушать порядок сомножителей.

Наличие свойства ассоциативности позволяет определить степень любого элемента с натуральным показателем. А именно:

(n сомножителей).

При этом выполняются обычные правила действий со степенями:

,

Свойство коммутативности

(2)

Это свойство выполняется для сложения и умножения чисел, но нарушается для умножения матриц и композиции перестановок.

Разумеется, из (2) вытекает, что в случае ассоциативной и коммутативной АО мы имеем право переставлять любым способом сомножители в произведении любого их числа.

Кроме того, в этом случае

Наличие нейтрального элемента

(3)

Элемент n в этом случае называется нейтральным для АО (*).

Для операции сложения чисел нейтральным является число ноль, для операции умножения - число единица. Для умножения матриц нейтральным элементом будет единичная матрица, для композиции перестановок - тождественная перестановка. В случае векторного перемножения векторов нейтральный элемент отсутствует.

Отметим, что в (3) квантор существования предшествует квантору всеобщности, то есть элемент n не зависит от выбора x.

В случае существования единственного нейтрального элемента и ассоциативности операции можно определить степень с нулевым показателем:

для всякого элемента x. Упомянутые выше свойства степеней при этом сохраняются.

Наличие обратного элемента

Это понятие имеет смысл в случае наличия нейтрального элемента для операции (*).

Элемент называется обратным для элемента x, если

(4)

Для сложения чисел обратный элемент существует для любого числа и равен противоположному числу. Для умножения обратный элемент так и называется и существует у любого числа, кроме 0. В случае умножения матриц обратный элемент равен обратной матрице и существует в том случае, если эта матрица невырождена, то есть ее определитель не равен нулю.

Элементы для которых существует обратный называются обратимыми. Из условия (4) сразу вытекает, что элемент всегда обратим и обратным для него будет исходный элемент x. Кроме того в случае ассоциативной операции произведение двух обратимых элементов снова будет обратимым элементом и при этом . В самом деле: и аналогично

Если элемент определен однозначно, можно определить степени x с отрицательным целым показателем, а именно:

, где m=1,2,... . При этом сохраняются обычные правила действий со степенями.

Замечание

В конкретных алгебраических системах алгебраическая операция чаще всего обозначается либо знаком (+) и называется сложением , либо знаком (.) и называется умножением. В первом случае говорят об аддитивном, а во втором о мультипликативном способе записи операции. Операция записанная аддитивно как правило считается коммутативной. В этом случае вместо термина «обратный» используется термин «противоположный элемент», который, естественно, обозначается (-x), а вместо степени элемента говорят о его кратных (nx).

Понятие группы

Определение

Множество G на котором определена бинарная операция (*) называется группой (G,*), если выполняются условия:

Операция (*) ассоциативна.

Для операции существует нейтральный элемент.

Все элементы G обратимы.

Примеры групп

R - группа действительных чисел с операцией сложения. ( аддитивная группа действительных чисел)

C - аддитивная группа комплексных чисел.

- группа ненулевых действительных чисел с операцией умножения ( мультипликативная группа действительных чисел)

- мультипликативная группа комплексных чисел.

- группа невырожденных матриц порядка n с действительными элементами. (Аналогично, )

- группа перестановок множества 1,2, ..., n.

Во всех этих примерах наличие свойств 1- 3 не вызывает сомнений.

Прежде чем приводить другие примеры групп укажем некоторые простейшие свойства этих алгебраических систем. Во всех последующих формулировках считается, что x, y, z, ... - элементы некоторой группы G.

Закон сокращения

(левое сокращение)

(правое сокращение)

Докажем, например, первый закон. Используем существование обратного элемента и свойство ассоциативности операции.

y=z.

Единственность нейтрального элемента

В любой группе нейтральный элемент определен однозначно. В самом деле, если и оба являются нейтральными, то по определению

и в то же время , откуда . Единственный нейтральный элемент группы G будет в дальнейшем обозначаться или просто e.

Единственность обратного элемента

Для каждого элемента x обратный элемент определен однозначно. В самом деле, если элементы y и z являются обратными для x, то y*x=e и z*x=e, откуда y*x=z*x и по закону сокращения y=z.

Признак нейтрального элемента

Действительно, поскольку , имеем , откуда по закону сокращения получаем .

Разрешимость любого уравнения первой степени (существование обратной операции)

. Элемент z определен однозначно. (Его можно назвать «частным» от деления y на x).

Имеем: и значит можно взять . Однозначность следует из закона сокращения: .

Понятие подгруппы

Определение

Группа называется подгруппой группы , если, во первых

(как подмножество) и, во-вторых,

(то есть закон умножения на подмножестве H такой же как и во всем множестве G.)

Тот факт, что является подгруппой в обозначается с помощью символа включения: или просто .

Примеры подгрупп.

Целые числа с операцией сложения (Z) образуют подгруппу в группе R, которая, в свою очередь является подгруппой группы C.

Четные перестановки образуют подгруппу в группе всех перестановок.

Матрицы с определителем 1 образуют подгруппу в группе всех невырожденных матриц.

Чтобы проверить, будет ли данное подмножество H в G подгруппой надо, очевидно, проверить следующие условия :

.

Оказывается, что вместо трех этих условий достаточно проверить только одно.

Признак подгруппы

Непустое подмножество H в группе G будет подгруппой этой группы тогда и только тогда, когда:

. (5)

Доказательство.

Условие (4) очевидно следует из 1 -3. Проверим обратное утверждение. Взяв в (5) y=x, получим: , то есть выполнено второе условие. Теперь возьмем , тогда получим: и таким образом условие 3. также выполнено. Наконец, взяв в условии (5) , получим , то есть условие 1.

Лекция№10

Мультипликативная группа поля; Неприводимые многочлены.

Свойство мультипликативной группы поля.

Конечная подгруппа мультипликативной группы любого поля циклична.

Доказательство.

Проведем доказательство от противного. Пусть - конечная подгруппа. Предположим, что G не является циклической группой. Рассмотрим первое каноническое разложение: , где n>1 и n | m. Тогда G , а значит и содержит подгруппу H . Для каждого (а всего в H элементов ) имеем: . Поэтому уравнение в поле k имеет не менее корней, что невозможно, так как степень этого уравнения равна n .

Следствие.

Мультипликативная группа конечного поля циклична.

Заметим, что этот результат нетривиален даже для простейших конечных полей GF(p). Образующие элементы группы называются первообразными корнями по модулю p. В следующей таблице приведены наименьшие первообразные корни по некоторым модулям:

модуль	3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41
первообразный корень mod(p)

Неприводимые многочлены над некоторыми полями.

Поле комплексных чисел C. Имеет место фундаментальная теорема Гаусса: Всякий многочлен положительной степени над полем C имеет корень. Из нее вытекает, что над полем C неприводимы только многочлены первой степени.

Поле вещественных чисел R. Чтобы перейти от поля C к полю R, заметим, что отображение , сопоставляющее каждому комплексному числу z сопряженное число является изоморфизмом поля на себя (автоморфизмом ) и переводит поле R в себя. Отсюда вытекает, что для всякого и всякого имеет место формула: = (), где - многочлен с комплексно сопряженными коэффициентами. Пусть теперь - многочлен положительной степени. По теореме Гаусса он имеет корень. Но, ) = 0. Если , то многочлены ( x - ) и ( x - ) взаимно просты и из делимости многочлена p ( по теореме Безу) на ( x - ) и на ( x - ) следует его делимость на их произведение . Следовательно, над полем R неприводимыми будут , во первых, все многочлены первой степени, а, во-вторых, те многочлены второй степени, которые не имеют корней в R ( то есть у которых дискриминант отрицателен). Все прочие многочлены - приводимы.

Поле рациональных чисел Q.

Если q ненулевой многочлен с рациональными коэффициентами, то, приводя их к общему знаменателю, можно записать: q = () = , где все коэффициенты целые числа, ОНД() = 1 и ,>0 . Легко видеть, что многочлен и число определены однозначно. Будем называть примитивным многочленом, соответствующим многочлену q.

Лемма : .

Для всякого целочисленного многочлена w = и простого числа p обозначим через многочлен над полем GF(p), коэффициенты которого получаются из соответствующих коэффициентов w приведением по модулю p : . Очевидно, что отображение является гомоморфизмом кольца Z[x] в кольцо GF(p)[x]. Многочлен w будет примитивным тогда и только тогда, когда для любого p . Поскольку в кольце GF(p)[x] нет делителей нуля, отсюда и вытекает утверждение леммы.

Таким образом вопрос о приводимости многочлена над полем рациональных чисел сводится к вопросу о разложении на множители меньшей степени многочлена с целыми коэффициентами. В этом направлении имеется следующее достаточное условие неприводимости:

Критерий Эйзенштейна.

Если для многочлена q с целыми коэффициентами q = удается найти такое простое число p, что

1.ОНД( p , ) = 1 2. 3. не делит то этот многочлен неприводим.

Доказательство.

Предположим, что q приводимый многочлен : q = uv. Тогда . По условию теоремы =a, где a 0. Значит, , , где k 0.

Следствие.

В поле k характеристики p имеет место формула: . В самом деле, все промежуточные слагаемые в формуле бинома входят с нулевыми коэффициентами: =0.

Гомоморфизм Фробениуса.

Пусть k - поле характеристики p. Рассмотрим отображение , действующее по формуле: Ф(a) = . Только что мы проверили, что Ф(a+b) = Ф(a)+Ф(b). Кроме того, очевидно, что Ф(ab) = Ф(a)Ф(b). Это означает, что Ф - гомоморфизм поля k в себя. Поскольку = 0 a = 0, Ф инъективен. Если поле k конечно отсюда следует, что Ф взаимно однозначно, то есть является изоморфизмом поля k с самим собой (автоморфизмом) . Ф называется автоморфизмом Фробениуса. Если k = GF(p), то поскольку - циклическая группа порядка ( p-1), для всякого , то есть Ф(а) = а. Возвращаясь к случаю произвольного поля k характеристики p заметим, что так как уравнение в поле k имеет не более p корней, этими корнями будут в точности все элементы , так что для элементов и не входящих в GF(p), Ф(а) а. Например, для рассмотренного выше поля GF(4) характеристики 2 (см. пример 2), имеем:

Ф(0) = 0 ; Ф(1) = 1 ; Ф(а) = b ; Ф(b) = а.

Если q любой многочлен над полем GF(p), k - некоторое поле характеристики p и , тоФ()) = Ф() , а потому, если - корень q, то Ф() также является его корнем, причем отличным от исходного, если . (Отметим очевидную аналогию с комплексным корнем многочлена с вещественными коэффициентами; здесь роль автоморфизма Ф играет комплексное сопряжение).

Пример.

Пусть q = - многочлен над полем GF(2), =а. Используя таблицы примера 3, легко проверить, что . Значит, Ф() = = b также будет корнем этого многочлена, причем не совпадающим с a. Это можно проверить «в лоб» или использовать формулы Виета:

a + b = 1 и ab = 1.

Замечание.

В случае бесконечного поля положительной характеристики гомоморфизм Ф может не быть сюръективным. Например, для поля GF(p)(x), построенного в примере 3, гомоморфизм Ф, очевидно, действует по формуле: Ф(r(x)) = r() и потому элемент r = x не входит в его образ.

Лекция 12

Расширения полей.

Присоединение элементов большего поля.

Если k - подполе поля K, то говорят также, что K - расширение поля k. Отметим, что при расширении сохраняется характеристика поля. В самом деле, поле k характеристики 0 содержит подполе изоморфное Q - полю рациональных чисел, а поле k характеристики p>0 - подполе изоморфное полю GF(p) - вычетов по модулю p. По определению расширения большее поле K содержит те же подполя и, следовательно, имеет ту же характеристику.

Напомним, что векторным пространством над полем k называется такое множество X (векторов), для которого определены операции сложения векторов и умножения вектора на элемент поля (скаляр) со следующими свойствами:

Относительно сложения векторы образуют абелеву группу.

a(U+V) = aU+aV

(a+b)U = aU+bU

a(bU) = (ab)U

1U =U.

Очевидно, что поле K можно рассматривать как векторное пространство над k: сложение векторов интепретируется как сложение элементов поля K, а умножение на скаляр как умножение в том же поле (ведь каждый скаляр из k в то же время является элементом K). Свойства 1 - 5 вытекают из определения поля. Таким образом, все известные нам результаты, относящиеся к векторным пространствам, применимы к случаю расширения полей. В частности, можно говорить о размерности K над k. Это число называется степенью расширения и обозначается [K:k] . Если степень расширения конечна, то и само расширение называется конечным.

Примеры.

Поле С комплексных чисел является расширением поля R вещественных чисел. Так как каждое комплексное число однозначно записывается в виде a+bi, то числа 1 и i образуют базис С над R и значит [C:R] = 2.

Рассмотрим поле R как расширение поля рациональных чисел Q. Покажем, что степень расширения бесконечна. Для этого достаточно для всякого n указать линейно независимую над Q систему вещественных чисел. Положим , , ,..., . Пусть для некоторых рациональных выполнено равенство: =0. Тогда многочлен с рациональными коэффициентами q = имеет корень x= .Однако тот же корень имеет неприводимый многочлен , который, следовательно, делит многочлен q. Это возможно только в том случае, когда многочлен q нулевой, чем и доказано наше утверждение.

Теорема о степени составного расширения.

Пусть поле F является расширением поля k, а K - расширение F. Тогда степень расширения [K:k] находится по формуле: [K:k] = [K:F] [F:k].

Доказательство.

Пусть - базис K над F, а - базис F над k. Для всякого U K имеем: U = , где . Но, , где . Значит, всякий элемент поля K записывается в виде линейной комбинации над k элементов в количестве nm штук. Остается проверить их линейную независимость. Если

=0, то поскольку линейно независимы над F, для всякого

i= 1,...,n имеем= 0. Но линейно независимы над k и потому все.

Расширение посредством присоединения элементов.

Пусть дано поле k и элементы, принадлежащие некоторому большему полю K. Наименьшее (по включению) подполе поля K, содержащее поле k и все элементы обозначается k() и называется расширением k посредством присоединения элементов. Если n=1, то расширение называется простым , а соответствующий элемент U называется порождающим элементом простого расширения.

Примеры.

Если все, то k()=k.

Если k=R, U=a+biC, причем b0, то простое расширение R(U) совпадает с С. В самом деле, R(U) содержит U и все вещественные числа. Но тогда

i = 1/b(U-a) R(U), а значит и любое комплексное число p+qiR(U).

3. Поле Q() содержит множество X всех вещественных чисел, которые можно записать в виде a+b, где a,bQ.

Проверим, что X - поле и тем самым установим, что Q() =X. Напомним, что подмножество T поля k будет полем тогда и только тогда, когда

a) T содержит 0 и 1.

b) Вместе с любыми двумя элементами t и s T содержит их разность t-s.

c) Вместе с любыми двумя элементами t и s