Построить матрицу кратчайших расстояний между пунктами А, Б, В, Г, Д

2.   Построить матрицу кратчайших расстояний между пунктами А, Б, В, Г, Д.

	А	Б	В	Г	Д
А	---	16	13,32	---	17,64
Б	16,64	---	15	21	---
В	13	15,32	---	15	12,32
Г	---	21,64	15,32	---	16
Д	17	---	12	16,32	---

3.   Математическая модель задачи коммивояжера:

Найти минимальное значение целевой функции z

n+1 n+1

min z = S S l_ij * x_ij

i=1 j=1

при следующих ограничениях:

n  из каждого города i нужно уехать только один раз

n+1

S x_ij = 1 i=1, ......, n+1

j=1

n  в каждый город j нужно приехать только один раз:

n+1

S x_ij = 1 j=1, ......, n+1

i=1

n  переменные x_ij могуть принимать одно из двух значений: 0 или 1,

1 - если в искомый маршрут входит переезд из пункта i в пункт j

0 - в противном случае

n  решение есть простой цикл

4.   Решение задачи:

	А	Б	В	Г	Д
А	---	16	13,32	---	17,64
Б	16,64	---	15	21	---
В	13	15,32	---	15	12,32
Г	---	21,64	15,32	---	16
Д	17	---	12	16,32	---

Б – Г, Д – В, В – А, А – Б, Г – Д

Так как маршрут должен включать переезд из пункта Б в пункт Г, то первым разрешающим элементом будет элемент 21. (1) Обводим его в кружок. (2)Зачеркиваем все оставшиеся элементы в строке и столбце содержащем элемент 21. (3)Зачеркиваем также элемент 21,64 , чтобы исключить повторное посещение пунктов. (4)Находим наибольшие элементы и зачеркиваем их до тех пор пока в какой-нибудь строке или столбце не появится один незачеркнутый элемент, теперь он будет разрешающим. Повторяем действия (1), (2), (3), (4) до тех пор пока не останется последний разрешающий элемент.

В итоге искомый маршрут будет проходить через пункты:

А – Б – Г – Д – В – А

min z = 16+21+16+12+13 = 78

Раздел 2.

Определение рационального варианта размещения производственных предприятий (на примере АБЗ).

Постановка задачи:

В 2000г планируется осуществить ремонт и реконструкцию дорожной сети некоторого района. Территория района разбита на 4 части, потребности которых в асфальтобетоне в 2000г будут составлять:

B1 = 50.000 т

B2 = 60.000 т

B3 = 45.000 т

B4 = 70.000 т

Для удовлетворения потребностей в асфальтобетоне планируется разместить сеть полустационарных асфальтобетонных заводов. На территории района выбрано 4 возможных пункта размещения заводов, для каждого пункта рассматривается 3 варианта мощности заводов – 10, 25, 50 т аб./час.

Известны затраты на приготовление аб в каждом пункте и доставку его потребителям. Требуется найти в каких пунктах и какой мощности следует разместить аб заводы, чтобы суммарные затраты на его приготовление и доставку потребителям были минимальными.

Затраты на приготовление аб, руб

мощность АБЗ		Приведенные затраты на приготов-е 1т аб АБЗ, располож-м в пункте, руб, Cpi + E*Kpi уд
т/час	тыс. т/год	1	2	3	4
10	18	484	489	495	481
25	45	423	428	435	420
50	90	405	410	416	401

Затраты на транспортировку 1т аб потребителям, С_ij, руб

Пункт размещения	Зона-потребитель
		1	28,3	60,3		45,3	90,3
		2	61,3	30,3		93,3	48,3
		3	50,3	95,3		33,3	62,3
		4	99,3	54,3		65,3	36,3

Математическая модель транспортной задачи:

m n

min z = S S C_ij * x_ij

i=1 j=1

Ограничения:

n

n S x_ij = a_i i=1, ......, m

j=1

весь продукт a_i имеющийся у i-го поставщика должен быть вывезен потребителю.

m

n S x_ij = b_j j=1, ......, n

i=1

спрос j-го потребителя должен быть полностью удовлетворен

n  x_ij ³ 0 i=1, ...., m; j=1, ...., n

x_ij – объем перевозок от i-го поставщика j-му потребителю

Транспортная таблица:

Мощность АБЗ	Спрос зон-потребителей, тыс.т/год
тыс.т/год	B1=50	B2=60	B3=45	B4=70	Bф=135	Ui	Ki
	433,3	440,3 < 465,3	449,3 < 450,3	437,3 < 495,3	0
X1=90	50				40	0	5/9
	433,3 < 471,3	440,3	449,3 < 503,3	437,3 < 458,3	0
X2=90		60			30	0	6/9
	433,3 < 466,3	440,3 < 511,3	449,3	437,3 < 478,3	0
X3=90			45		45	0	½
	433,3 < 500,3	440,3 < 455,3	449,3 < 466,3	437,3	0
X4=90				70	20	0	7/9
Vj	433,3	440,3	449,3	437,3	0

Так как задача не сбалансирована, то определяем спрос фиктивного потребителя:

В_ф=S а_i - S b_j = 360 – 225 = 135 тыс.т/год

В верхний правый угол клеток вносится суммарная величина приведенных затрат на приготовление и транспортировку 1т аб, С^p_i + E*K^p_i + C_ij

 

С помощью правила минимального элемента вносим в таблицу перевозки x_ij.

Проверяем план на вырожденность:

m + n - 1 = 8 = 8 (занятых клеток), следовательно план является невырожденным.

Строим систему потенциалов поставщиков и потребителей. Для этого потенциал столбца или строки с наибольшим кол-вом занятых клеток приравниваем нулю, в данном случае это потенциал столбца B_ф, остальные потенциалы определяем исходя из условия оптимальности для занятых клеток (U_i + V_j = С^p_i + E*K^p_i + C_ij).

Проверяем план на оптимальность:

·     число занятых клеток не должно превышать величину m + n – 1

·     для каждой занятой клетки сумма потенциалов должна равняться суммарной величине затрат на приготовление и транспортировку 1т аб.

·     для каждой свободной клетки должно выполняться неравенство :

U_i + V_j < С^p_i + E*K^p_i + C_ij

Все три условия выполняются, следовательно план является оптимальным с точки зрения транспортной задачи.

Определяем значения коэффициентов интенсивности.

K_i = S x_ij / x_i

S x_ij – cуммарный объем поставок i-го АБЗ реальным потребителям

x_i – мощность i-го АБЗ

Так как ни один K_i не равен нулю или единице, то рассматриваемый вариант размещения АБЗ соответствующей мощности не есть наилучший, поэтому необходимо его улучшить.

Отыскиваем смешанную строку с минимальной величиной K_i и в этой строке мощность АБЗ уменьшаем до следующей возможной величины, в нашем случае это третья строка.

Строим новую транспортную таблицу не забывая, что суммарная мощность АБЗ должна равняться суммарному спросу потребителей. Также необходимо пересчитать величину С^p_i + E*K^p_i + C_ij для клеток третьей строки.

Мощность АБЗ	Спрос зон-потребителей, тыс.т/год
тыс.т/год	B1=50	B2=60	B3=45	B4=70	Bф=90	Ui	Ki
	433,3	424,3 < 465,3	450,3	421,3 < 495,3	-16< 0
X1=90	50		40			-16	1
	449,3 < 471,3	440,3	466,3 < 503,3	437,3 < 458,3	0
X2=90		60			30	0	6/9
	449,3 < 485,3	440,3 < 530,3	466,3 < 468,3	437,3 < 497,3	0
X3=45					45	0	0
	449,3 < 500,3	440,3 < 455,3	466,3	437,3	0
X4=90			5	70	15	0	15/18
Vj	449,3	440,3	466,3	437,3	0

Новый вариант также не является наилучшим, поэтому уменьшаем мощность АБЗ во втором пункте.

Мощность АБЗ	Спрос зон-потребителей, тыс.т/год
тыс.т/год	B1=50	B2=60	B3=45	B4=70	Bф=45	Ui	Ki
	433,3	439,3 < 465,3	450,3	421,3 < 495,3	-18< 0
X1=90	50		40			-16
	452,3 < 489,3	458,3	469,3< 521,3	440,3 < 476,3	1 > 0
X2=45		45 _			+	3
	451,3 < 485,3	457,3 < 530,3	468,3	439,3 < 497,3	0
X3=45			0 +		_ 45	2
	449,3 < 500,3	455,3	466,3	437,3	-2 < 0
X4=90		15 +	5 _	70		0
Vj	449,3	455,3	466,3	437,3	-2

Для одной свободной клетки не выполняется условие U_i + V_j < С^p_i + E*K^p_i + C_ij поэтому план необходимо улучшить.

Строим цикл для этой клетки. Вершине свободной клетки присваиваем знак “-”, для остальных вершин этот знак чередуется. Перевозка х_п = 5. Перемещаем эту перевозку по циклу, прибавляя ее в клетках со знаком “+” и отнимая в клетках со знаком “-”. После строим новую транспортную таблицу с учетом изменений.

Мощность АБЗ	Спрос зон-потребителей, тыс.т/год
тыс.т/год	B1=50	B2=60	B3=45	B4=70	Bф=45	Ui	Ki
	433,3	440,3 < 465,3	450,3	422,3 < 495,3	-18 < 0
X1=90	50		40			-18	1
	451,3 < 489,3	458,3	468,3 < 521,3	440,3 < 476,3	0
X2=45		40			5	0	8/9
	451,3 < 485,3	458,3 < 530,3	468,3	440,3 < 497,3	0
X3=45			5		40	0	1/9
	448,3 < 500,3	455,3	465,3 < 466,3	437,3	-3 < 0
X4=90		20		70		-3	1
Vj	451,3	458,3	468,3	440,3	0

План является оптимальным, теперь подсчитываем коэффициенты интенсивности. Так как не все коэффициенты равны нулю или единице, то уменьшаем мощность завода в 3-м пункте.

 

Мощность АБЗ	Спрос зон-потребителей, тыс.т/год
тыс.т/год	B1=50	B2=60	B3=45	B4=70	Bф=18	Ui	Ki
	433,3	439,3 < 465,3	450,3	421,3 < 495,3	-78 < 0
X1=90	50		40			-16	1
	452,3 < 489,3	458,3	469,3 < 521,3	440,3 < 476,3	-59 < 0
X2=45		45				3	1
	511,3 < 545,3	517,3 < 590,3	528,3	499,3 < 557,3	0
X3=18			0		18	62	0
	449,3 < 500,3	455,3	466,3	437,3	-62 < 0
X4=90		15	5	70		0	1
Vj	449,3	455,3	466,3	437,3	-62

План является оптимальным, подсчитываем значения коэффициентов интенсивности. Так как все коэффициенты равны либо 1, либо 0, то данный план является наилучшим.

Рассчитать значение целевой функции для каждого из промежуточных вариантов и построить таблицу.

Вариант размещения	Мощность АБЗ, расположенного в пункте, тыс.т/год				Значение целевой функции, zi, тыс.руб.
	М1	М2	М3	М4
1	50	60	45	70	98912,5
2	90	60	0	75	99037,5
3	90	40	5	90	100067,5
4 -наилучший	90	45	0	90	100072,5