Общий исторический обзор
Первые геометрические понятия возникли в доисторические времена. Разные формы материальных тел наблюдал человек в природе: формы растений и животных, гор и извилин рек, круга и серпа Луны и т. п. Однако человек не только пассивно наблюдал природу, но практически осваивал и использовал ее богатства. В процессе практической деятельности он накапливал геометрические сведения. Материальные потребности побуждали людей изготовлять орудия труда, обтесывать камни и строить жилища, лепить глиняную посуду и натягивать тетиву на лук. Конечно, десятки и сотни тысяч раз натягивали люди свои луки изготовляли разные предметы с прямыми ребрами и т. п., пока постепенно дошли до отвлеченного понятия прямой линии. Примерно то же можно сказать о других основных геометрических понятиях. Практическая деятельность человека служила основой длительного процесса выработки отвлеченных понятий, открытия простейших геометрических зависимостей и соотношений.
Начало геометрии было положено в древности при решении чисто практических задач. Со временем, когда накопилось большое количество геометрических фактов, у людей появилось потребность обобщения, уяснения зависимости одних элементов от других, установления логических связей и доказательств. Постепенно создавалась геометрическая наука. Примерно в VI - V вв. до н. э. в Древней Греции в геометрии начался новый этап развития, что объясняется высоким уровнем, которого достигла общественно-политическая и культурная жизнь в греческих государствах. Произведения, содержащие систематическое изложение геометрии, появились в Греции еще в V до н.э., но они были вытеснены “Началами” Евклида.
Геометрические знания примерно в объеме современного курса средней школы были изложены еще 2200 лет назад в “Началах” Евклида. Конечно, изложенная в “Началах” наука геометрия не могла быть создана одним ученым. Известно, что Евклид в своей работе опирался на труды десятков предшественников, среди которых были Фалес и Пифагор, Демокрит и Гиппократ, Архит, Теэтет, Евдокс и др. Ценой больших усилий, исходя из отдельных геометрических сведений, накопленных тысячелетиями в практической деятельности людей, эти великие ученые сумели на протяжении 3 - 4 столетий привести геометрическую науку к высокой ступени совершенства. Историческая заслуга Евклида состоит в том, что он, создавая свои “Начала”, объединил результаты своих предшественников, упорядочил и привел в одну систему основные геометрические знания того времени. На протяжении двух тысячелетий геометрия изучалась в том объеме, порядке и стиле, как она была изложена в “Началах” Евклида. Многие учебники элементарной геометрии во всем мире представляли (а многие и поныне представляют) собой лишь переработку книги Евклида. “Начала” на протяжении веков были настольной книгой величайших ученых.
В XVII в. Декарт благодаря методу координат сделал возможным изучение свойств геометрических фигур с помощью алгебры. С этого времени начала развиваться аналитическая геометрия. В XVII - XVIII вв. зарождается и разрабатывается дифференциальная геометрия, изучающая свойства фигур с помощью методов математического анализа. В XVIII- XIX вв. развитие военного дела и архитектуры привело к разработке методов точного изображения пространственных фигур на плоском чертеже, в связи с чем появляются начертательная геометрия, научные основы которой заложил французский математик Г. Монж, и проективная геометрия, основы которой были созданы в трудах французских математиков Д. Дезарга и Б. Паскаля (XVII в.). В ее создании важнейшую роль сыграл другой французский математик - Ж. В. Понселе (XIX в.).
Коренной перелом в геометрии впервые произвел в первой половине ХIХ в. великий русский математик Николай Иванович Лобачевский, который создал новую, неевклидову геометрию, называемую ныне геометрией Лобачевского.
Открытие Лобачевского было началом нового периода в развитии геометрии. За ним последовали новые открытия немецкого математика Б. Римана и др.
В настоящее время геометрия тесно переплетается со многими другими разделами математики. Одним из источников развития и образования новых понятий в геометрии, как и в других областях математики, являются современные задачи естествознания, физики и техники.
Первоначальное понятие о многогранниках.
Многогранники и их элементы.
Проблемы нам создают не те вещи,
которых мы не знаем, а те, о которых мы
ошибочно полагаем, что знаем.
В. Роджерс
| Определение. Многогранником называется тело, поверхность которого является объединением конечного числа многоугольников. В соответствии с общим определением выпуклого множества, многогранник является выпуклым[1], если вместе с любыми двумя своими точками он содержит соединяющий их отрезок. На рисунке показаны выпуклый и, соответственно, невыпуклый многогранники. | ||||
| Многоугольник, принадлежащий поверхности многогранника, называется его гранью, если он не содержится ни в каком другом многоугольнике, также принадлежащем поверхности многогранника. Стороны граней называются рёбрами многогранника, а вершины – вершинами многогранника. Отрезки, соединяющие вершины многогранника, не принадлежащие одной грани, называются диагоналями этого многогранника. | ||||
| Определение. Многогранник называется правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники и из каждой его вершины выходит одинаковое число рёбер. | ||||
|
| Грани | Вершины | Рёбра | |
| Тетраэдр | 4 | 4 | 6 | |
| Куб | 6 | 8 | 12 | |
| Октаэдр | 8 | 6 | 12 | |
| Додекаэдр | 12 | 20 | 30 | |
| Икосаэдр | 20 | 12 | 30 | |
| Призма n-угольная | 2n | 3n | n+2 | |
| Пирамида n-угольная | n+1 | 2n | n+1 | |
| Теорема Эйлера. | Для числа граней Г, числа вершин В и числа рёбер Р любого выпуклого многогранника справедливо соотношение: Г+В – Р=2 | |||
| Принцип Кавальери: | Если два тела могут быть расположены так, что любая плоскость, параллельная какой-нибудь данной плоскости и пересекающая оба тела, даёт в сечении с ними равновеликие фигуры, то объёмы таких тел равны. | |||
Призма.
| Определение. Призма – многогранник, составленный из двух равных многоугольников A1A2…An и B1B2…Bn, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов. | |
| Два равных многоугольника, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями призмы (A1A2…An и B1B2…Bn). | |
| Остальные грани призмы, являющиеся параллелограммами, называются её боковыми гранями (AnA1B1Bn) | |
| Рёбра, не лежащие в основании призмы, называются боковыми рёбрами (A1B1; A2B2 … AnBn) | |
| Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы (h). | |
| Диагональная плоскость – плоскость, проходящая через диагональ основания и боковое ребро призмы. | |
| Диагональное сечение – фигура, полученная при пересечении диагональной плоскости с поверхностью призмы. | |
| Перпендикулярное сечение – сечение призмы плоскостью, перпендикулярной её боковым рёбрам. | |
| В призму можно вписать сферу тогда и только тогда, если в перпендикулярное сечение призмы можно вписать окружность, диаметр которой равен высоте призмы. | |
| Если боковые рёбра призмы перпендикулярны к основаниям, то есть если основания служат нормальными сечениями боковой поверхности, то призма называется прямой, в противном случае – наклонной. Высота прямой призмы равна её боковому ребру. Плоские углы основания являются плоскими углами двугранных углов между боковыми гранями. | |
| Прямая призма называется правильной, если её основания – правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани – равные многоугольники. В правильную призму можно вписать сферу тогда и только тогда, когда её высота равна диметру окружности, вписанной в основание. | |
| Площадь боковой поверхности призмы – это сумма площадей всех её боковых граней. | Sбок=Рп*/g/, где Рп – периметр перпендикулярного сечения, /g/ - длина бокового ребра |
| Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех её граней | Sполн=Sбок+2Sосн |
| Объём призмы. Объёмом геометрического тела называется величина части пространства, занимаемого этим телом. Доп. справка: в геометрии принято: · За единицу объёма принимают объём куба с ребром единичной длины. · Равные тела имеют равные объёмы · Объём объединения нескольких неперекрывающихся (т.е. не имеющих общих внутренних точек) тел равен сумме их объёмов · Если одно тело содержит другое, то объём первого тела не меньше объёма второго | V=Sосн*h |
| Теорема. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы. | Sбок=Pосн*h |
| Частным случаем призмы является параллелепипед – призма, основанием которой служат параллелограммы. |
|
| Основные свойства параллелепипеда: | 1. Противоположные грани параллелепипеда попарно равны и параллельны. 2. Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. 3. сумма квадратов всех диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов всех его рёбер. 4. квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений. |
| Если все грани параллелепипеда являются прямоугольниками, то параллелепипед называется прямоугольным. В нём все диагонали равны между собой. Если боковые рёбра параллелепипеда перпендикулярны основанию, то параллелепипед является прямым. Куб также является частным случаем призмы. Куб есть прямоугольный параллелепипед с равными рёбрами. | |
| Объём параллелепипеда | V=S*h |
| Объём прямоугольного параллелепипеда | V=abc |
| Объём куба | V =a3 |
| Диагональ прямоугольного параллелепипеда | d2=a2+b2+c2, где d – диагональ, a,b,c – рёбра |
Пирамида.
Слово «пирамида» в геометрию ввели греки, которые, как полагают, заимствовали егоу египтян, создавших самые знаменитые
пирамиды в мире. Другая теория выводит
этот термин из греческого слова «пирос»
(рожь) – считают, что греки выпекали хлебцы,
имевшие форму пирамиды.
| Определение. Пирамида – это многогранник, одна из граней которого – произвольный n – угольник A1A2…An, а остальные грани – треугольники с общей вершиной. | |
| Этот n – угольник A1A2…An называется основанием пирамиды. | |
| Остальные (треугольные) грани называются боковыми гранями (A2PA3, …, AnPA1) | |
| Общая вершина всех боковых граней называется вершиной пирамиды (P). | |
| Рёбра пирамиды, не принадлежащие основанию, называются её боковыми рёбрами (PA1, PA2, …, PAn) | |
| Объединение боковых граней пирамиды называется её боковой поверхностью. | |
| Перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды (РН). | |
| Пирамида называется правильной, если её основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является её высотой. | |
| Высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины, называется апофемой этой пирамиды (РЕ). Все апофемы равны друг другу. | |
| Если в основании пирамиды лежит n-угольник, то пирамида называется n-угольной. Треугольная пирамида называется тетраэдром. Тетраэдр называется правильным, если все его рёбра равны (т.о. все грани правильного тетраэдра – равные правильные треугольники). | |
| Некоторые свойства правильной пирамиды: · Все боковые рёбра равны между собой · Все боковые грани – равные равнобедренные треугольники · Все двугранные углы при основании равны · Все плоские углы при вершине равны · Все плоские при основании равны · Апофемы боковых граней одинаковы по длине · В любую правильную пирамиду можно вписать сферу | |
| Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех её граней. | Sполн=Sбок+Sосн |
| Площадь боковой поверхности пирамиды – сумма площадей её боковых граней. |
|
| Площадь боковой грани | Sбок.гр.=1/2*m*/g/, где m – апофема, /g/ - основание грани |
| Теорема. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему. | Sбок=1/2 * (Pосн* m), где m – апофема, Р – периметр многоугольника основания. |
| Объём пирамиды. | V=(1/3)*Sосн*h |
Усечённая пирамида.
| Определение. Усечённая пирамида – многогранник, гранями которого являются n-угольники A1A2…An и B1B2…Bn (нижнее и верхнее основания), расположенные в параллельных плоскостях, и n четырёхугольников A1A2B2B1, A2A3B3B2, …, AnA1B1Bn. Усечённая пирамида является частным случаем пирамиды. | |
| Основания усечённой пирамиды – основание исходной пирамиды и многоугольник, полученный при пересечении её плоскостью (A1A2…An и B1B2…Bn). | |
| Отрезки A1B1, A2B2, …, AnBn называются боковыми рёбрами усечённой пирамиды. | |
| Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой усечённой пирамиды (СН). | |
| Боковые грани усечённой пирамиды – трапеции. | |
| Усечённую пирамиду с основаниями A1A2…An и B1B2…Bn обозначают так: A1A2…AnB1B2…Bn. | |
| Усечённая пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Основания правильной усечённой пирамиды – правильные многоугольники, а боковые грани – равнобедренные трапеции. | |
| Высоты этих трапеций называются апофемами (КК1) | |
| Свойства усечённой пирамиды: | 1. Боковые рёбра и высота пирамиды разделятся секущей плоскостью на пропорциональные отрезки 2. В сечении получится многоугольник, подобный многоугольнику, ежащеему в основании 3. Площади сечения и основания будут относится между собой, как квадраты их расстояний от вершины пирамиды |
| Теорема. Если две пирамиды с равными высотами пересечь плоскостями, параллельными основаниям, на одинаковом расстоянии от вершины, то площади сечений будут пропорциональны площади оснований. | |
| Площадь поверхности усечённой пирамиды | S=(1/2)*m*(P+P1), где m – апофема |
| Теорема. Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему. | Sбок=1/2*(Рв+Рн)* m, где m – апофема, Рв, Рн – периметр верхнего и нижнего оснований |
| Объём усечённой пирамиды: | V=(1/3)*h*(S1+√S1S2+S2), где S1, S2 – площади оснований. |
| Площадь боковой грани | Sбок.гр.=1/2*m*(g+g1), где m – апофема, g, g1 – основания боковой грани |
Тетраэдр.
| Определение. Тетраэдр – поверхность, составленная из четырёх треугольников. Любая грань может быть принята за основание пирамиды. Тетраэдр является частным случаем пирамиды. | |
| Тетраэдр состоящий из треугольников ABC, DAB, DBC, DCA обозначается так: DABC | |
| Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются гранями. | |
| Стороны треугольников, из которых состоит тетраэдр, называются рёбрами. | |
| Вершины треугольников, из которых состоит тетраэдр, называются вершинами тетраэдра. | |
| Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называются противоположными. | |
| Иногда выделяют одну грань тетраэдра и называют её основанием, а три другие – боковыми гранями. | |
| Медианы тетраэдра – отрезки, соединяющие его вершины с центроидами противоположных граней. | |
| Тетраэдр, все грани которого равны, называется равногранным. | |
| Свойства равногранного тетраэдра: | описанный параллелепипед равногранного тетраэдра – прямоугольный развёртка тетраэдра, полученная при разрезании его по трём сходящимся в одной вершине рёбрам, - треугольник у него имеются три оси симметрии все трёхгранные углы равны все медианы (тетраэдра) равны все высоты (тетраэдра) равны центры вписанной и описанной сфер и центроид совпадают радиусы описанных окружностей граней равны периметры граней равны площади граней равны |
| Тетраэдр, в вершине которого сходятся три взаимно перпендикулярных ребра, называется прямоугольным | Для него выполняется своего рода «теорема Пифагора»: S2=S21+S22+S23 |
| Тетраэдр, составленный из четырёх равносторонних треугольников, называется правильным. | |
| Объём правильного тетраэдра. | V=(a3*√2)/12 |
| Радиус описанной сферы в правильном тетраэдре | R=(a*√6)/4 |
| Высота правильного тетраэдра | H=(a*√6)/3 |
| Площадь поверхности правильного тетраэдра | S=a2*√3 |
| Радиус вписанной окружности правильного тетраэдра | r = (a*√6)/12 |
Список используемой литературы
Стереометрия 10, А. Калинин, Д. Терешин, М.,1996 Геометрия 10 – 11, Л. Атанасян, М., 1994 Школьная шпаргалка, О. Бекетова, С. – Петербург, 1995 Математика в кармане, В. Герцев, М., 1996[1] В дальнейшем под многогранником будет пониматься выпуклый.
Похожие работы
... имеют достаточно четкое и правильное представление из собственного жизненного опыта, а формулировки которых являются слишком громоздкими. Выводы по § 1 1. Основные цели изучения темы «Объемы многогранников» в курсе стереометрии – развитие пространственных представлений учащихся, освоение способов вычисления практически важных величин и дальнейшее развитие логического мышления учащихся. ...
... у Евклида и означает дословно “параллеле-плоскостное тело”. Греческое слово “кубос” употребляется Евклидом в том же смысле, что и наше слово “куб” 2.7. Параллелепипед Определение. Призма, основание которой - параллелограмм, называется параллелепипедом. В соответствии с определением параллелепипед - это четырехугольная призма, все грани которой - параллелограммы (рис. ). Параллелепипеды, как и ...
... , творческая познавательная деятельность учащихся всё более и более сближается с научно-исследовательской работой. Глава II. Пути формирования познавательного интереса младших школьников на уроках русского языка через использование творческих заданий§ 1. Воспроизводящие и творческие работы учащихся на отдельных этапах учебного процесса на уроках русского языка В практике обучения русскому ...
... интерес, чем же форма шатра так обаяла наших далеких предков, что заставила искать столь изысканное конструктивное решение. Ответ может подсказать архитектурная эниология — наука об энергоинформационном обмене в архитектуре. Основу шатра представляет собой пирамида кровли, ограниченная «юбкой» карнизного свеса, являющаяся постоянным генератором формового торсионного поля. Это поле, в ...
0 комментариев