Свойства усредненной функции с сильной осцилляцией

Министерство образования Российской Федерации

Башкирский государственный педагогический университет

Кафедра математического анализа Дипломная квалификационная работа

Автор: Гарипов Ильгиз.

Тема: Свойства усредненной функции с сильной осцилляцией.

К защите допущен ____________

Заведующий кафедрой к.ф. м. н. доцент Сафаров Т.Г.
Руководитель д.физ-мат. наук. профессор Султанаев Я.Т.

Уфа 2001
Содержание

Стр.

 Введение 3 § 1 Свойства функции . 4

§ 2 Свойства функции  и ее производных. 5

2.1 5

2.2 6

2.3  где a>0 7

2.4 9

§ 3 Поведение 11

3.1 11

3.2 11

3.3 12

3.4 13

§ 4 Поведение 14

4.1 14

4.2 15

4.3 15

4.4 16

Заключение 17

Литература 18

 

Введение

Пусть произвольная функция, определенная на , и  при

Введем в рассмотрение функцию  с помощью следующего равенства:

(1)

Назовем эту функцию усреднением функции  

Это название оправдано так как из (1) и теоремы о среднем для интегралов можем заключить

§ 2 Свойства функции .

1.    Если , при , то  при
Доказательство:
 , ,   " N >0, :   

2.   (2)

3.   (3)

Дифференцируя формулу (1) по dx получаем

(4)

(5)

§ 2 Свойства функции  и ее производных.

I) Рассмотрим вид функции  для случаев когда :

2.1

2.2

 

2.3  где a>0;

Разделим интеграл на два интеграла и вычислим их отдельно.

Второй интеграл не оказывает влияния на первый, так как при функция стремится к 0.

Доказательство:

Рассматривая второй интеграл, мы получаем:

Рассматривая первый интеграл, получаем:

Последние два слагаемых полученных при интегрировании содержат в произведении , то есть при возрастании x эти слагаемые будут очень быстро уменьшатся и весь интеграл при  становится очень малым по сравнению с первой частью. Поэтому можно считать что при  

Следовательно:

 

2.4.

Наложить на ограничение, такое чтобы присутствие  не влияло на поведение функции.

Рассматривая полученное выражение можно заметить что

становится пренебрежительно малым по отношению к остальной части

как только . Ограничение №1

В тоже время

Становится бесконечно малым как только . Ограничение №2

Раскрывая в оставшейся части скобки, по Биному Ньютона получаем, что

должен быть очень малым при то есть

 

так как  ограниченная функция, к 0 должен стремится .

 

Ограничение №3

Учитывая ограничения 1, 2, 3 получаем:

Следовательно,  ограничение на  удовлетворяющее поставленной задаче, при котором присутствие не влияет на поведение функции .

§ 3 Рассмотрим поведение функции для случаев:

3.1)  

3.2)

3.3)  

Вычислим отдельно интегральное выражение, стоящее в числителе:

=

=

рассматривая пределы при  видим что на поведение функции оказывает влияние только главный член

Поведение данной функции при  эквивалентно поведению функции

(*)

Вычислим интеграл в знаменателе:

=

(**)

Учитывая (*)и (**) получаем

Следовательно, по формуле (2) получаем

3.4  

 

Отдельно вычислим числитель и знаменатель:

По ранее доказанному в пункте 2.4 мы можем сказать что второй интеграл не оказывает влияния на поведение функции. Поэтому мы можем утверждать, что числитель эквивалентен выражению:

Вычислим знаменатель:

Разделив интеграл на 2 интеграла, мы получаем:

По пункту 2.4 можем вывести что второй интеграл не влияет на поведение функции при

 Следовательно, знаменатель:

§4. Рассмотрим поведение второй производной

Для облегчения вычислений введем обозначения:

При этом формула для примет вид (6)

4.1

Виду того, что d(x) очень мал то  будет несравним с d(x) т.е.

4.2

используя равенства, полученные в пункте 2.2 и 3.2, преобразуя данное равенство, приходим к выражению:

(Все выкладки приводить не буду в виду их громоздкости и сложности для восприятия. Добавлю только что все выкладки, примененные в данном пункте полностью повторяют ограничения и эквивалентные выражения, использованные в пунктах 2.2 и 3.2).

Отсюда следует что

4.3

Используя данные, полученные в п.3.3 получаем что

Возвращаясь к п. 3.3 находим:

Вычисляя по формуле 6, получаем:

и

 

4.4

и

 

Заключение

В результате проведенного исследования поведения усредненной функции в случае осциллирующих коэфициентов, получены данные приведенные в следующей таблице: