Войти на сайт

или
Регистрация

Навигация


Система Лотка-Вольтерра

2547
знаков
1
таблица
9
изображений
Вариант № 7

Задание:

1.    Ввести новые переменные, максимально уменьшив число параметров системы.

2.    Найти неподвижные точки системы и исследовать их характеристики в зависимости от параметров системы.

3.    Исследовать поведение предельных циклов. Доказать их существование/несуществование.

4.    Построить фазовые портреты системы при всех возможных параметрах системы.

5.    Дать биологическую интерпретацию полученным результатам.

1.    Вводим новые переменные x à Ax, y à By, t à Tt и переписываем систему:

2.    Нахождение неподвижных точек преобразованной системы

2.1 x=0,y=0 ==> O(0,0)

2.2    

P

2.3    

Q

3.    Характеристики неподвижных точек

Запишем Якобиан нашей системы

3.1    

3.2    

3.3    

Проведем дополнительное исследование, обозначив на параметрическом портрете возможные области значений .

а) точка О – сток, как было показано выше;

б) точка Р:

Область 1:

Область 2:

Точка Р – исток (неуст. узел)

Область 3:

Точка Р – седло

в) точка Q:

Область 1:

Область 2:

Область 3:

Точка Q – исток ( неустойчивый узел)

Кроме того, при поиске собственных значений Якобиана возникает уравнение

Решение уравнения D<0 производилось графически , поскольку аналитическое решение в этом случае представляется затруднительным. Для этого использовался математический пакет Maple 6. При фиксированном значении  были рассмотрены точки ()области 3, для которых проверялось неравенство D<0. Таким образом, как видно из рисунка, в 3-ей области появляется подобласть 3’. Неравенство D<0 выполняется в области 3 – 3’ , где вещественные части собственных значений будут положительны. В этой области точка Q превращается в неустойчивый фокус.

Запишем результаты исследования характеристик точек в таблицу:

\Область

Точка

1 2 3 3 – 3’
O сток сток сток сток
P не сущ. исток седло седло
Q не сущ. не сущ. исток неуст. фокус

4.1 Параметрические области системы

4.2    Область 1:

4.3 Область 2:

4.3    Область 3’ :

4.5 Область 3 – 3’ :

5. Биологическая интерпретация модели.

Данная система представляет собой модель взаимного влияния в природе двух животных видов – хищников и жертв. Как видно из рисунков, в этой системе оба вида вымирают. Предельных циклов в системе нет. X – жертвы, Y – хищники. Динамику взаимодействия двух видов описывают три функции: g(x) – функция динамики численности жертв, p(x) – трофическая функция жертв (характеризует число жертв убитых одним хищником), q(x) – трофическая функция хищников (характеризует влияние числа жертв, убиваемых одним хищником, на изменение численности популяции хищников).

 


Информация о работе «Система Лотка-Вольтерра»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 2547
Количество таблиц: 1
Количество изображений: 9

Похожие работы

Скачать
19321
0
0

... В результате открылись колоссальные возможности для изучения различных типов динамики метаболической системы. Регуляторные системы и ритмические явления Однако в настоящее время кажется очевидным, что при рассмотрении резких переключений из одного состояния в другое, которые имеют место в клетках, нужно пользоваться терминами, описывающими эпигенетические регуляторные системы. Здесь имеются ...

Скачать
6678
0
13

... При запуске с другим набором параметров все хищники в системе погибли и были получены следующие результаты График численности хищников от времени и их полное вымирание График численности хищников и жертв На вымирание хищников, система среагировала резким ростом численности жертв и началом стабилизации к некоторому равновесному значению. 4. Вымирание обоих видов При запуск

Скачать
109435
6
96

... типа MESH. 13.6. Графика пакета plots 13.6.1. Общая характеристика пакета plots Пакет plots содержит почти полсотни графических функции, существенно расширяющих возможности графики системы Maple V. В реализации R4 этот пакет содержит следующие функции: ——————————— animate Создает мультипликацию 2D графиков функций. animated Создает мультипликацию 3D графиков функции. changecoords ...

Скачать
20490
0
0

... .   1.4.3 Метод Рунге-Кутта Этим методам посвящено много работ, и они хорошо изложены в много-численных учебниках (см., например, [2,3]). 2. Модели осциллирующих процессов в живой природе   2.1 Модель Лотки   2.1.1 Осциллирующие химические реакции В некоторых химических реакциях концентрации реагентов осциллируют в следующем смысле. Соединение каких-то начальных веществ приводит к их ...

0 комментариев


Наверх