Система Лотка-Вольтерра

Вариант № 7

Задание:

1.    Ввести новые переменные, максимально уменьшив число параметров системы.

2.    Найти неподвижные точки системы и исследовать их характеристики в зависимости от параметров системы.

3.    Исследовать поведение предельных циклов. Доказать их существование/несуществование.

4.    Построить фазовые портреты системы при всех возможных параметрах системы.

5.    Дать биологическую интерпретацию полученным результатам.

1.    Вводим новые переменные x à Ax, y à By, t à Tt и переписываем систему:

2.    Нахождение неподвижных точек преобразованной системы

2.1 x=0,y=0 ==> O(0,0)

2.2    

P

2.3    

Q

3.    Характеристики неподвижных точек

Запишем Якобиан нашей системы

3.1    

3.2    

3.3    

Проведем дополнительное исследование, обозначив на параметрическом портрете возможные области значений .

а) точка О – сток, как было показано выше;

б) точка Р:

Область 1:

Область 2:

Точка Р – исток (неуст. узел)

Область 3:

Точка Р – седло

в) точка Q:

Область 1:

Область 2:

Область 3:

Точка Q – исток ( неустойчивый узел)

Кроме того, при поиске собственных значений Якобиана возникает уравнение

Решение уравнения D<0 производилось графически , поскольку аналитическое решение в этом случае представляется затруднительным. Для этого использовался математический пакет Maple 6. При фиксированном значении  были рассмотрены точки ()области 3, для которых проверялось неравенство D<0. Таким образом, как видно из рисунка, в 3-ей области появляется подобласть 3’. Неравенство D<0 выполняется в области 3 – 3’ , где вещественные части собственных значений будут положительны. В этой области точка Q превращается в неустойчивый фокус.

Запишем результаты исследования характеристик точек в таблицу:

\Область Точка	1	2	3	3 – 3’
O	сток	сток	сток	сток
P	не сущ.	исток	седло	седло
Q	не сущ.	не сущ.	исток	неуст. фокус

4.1 Параметрические области системы

4.2    Область 1:

4.3 Область 2:

4.3    Область 3’ :

4.5 Область 3 – 3’ :

5. Биологическая интерпретация модели.

Данная система представляет собой модель взаимного влияния в природе двух животных видов – хищников и жертв. Как видно из рисунков, в этой системе оба вида вымирают. Предельных циклов в системе нет. X – жертвы, Y – хищники. Динамику взаимодействия двух видов описывают три функции: g(x) – функция динамики численности жертв, p(x) – трофическая функция жертв (характеризует число жертв убитых одним хищником), q(x) – трофическая функция хищников (характеризует влияние числа жертв, убиваемых одним хищником, на изменение численности популяции хищников).