Войти на сайт

или
Регистрация

Навигация


Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

3505
знаков
0
таблиц
5
изображений

Министерство образования Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Самарский государственный университет»

механико-математический факультет

кафедра дифференциальных уравнений и теории управления

специальность прикладная математика

Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

Курсовая работа

Выполнил студент

2 курса 1222 группы

Труфанов Александр Николаевич

Научный руководитель

Долгова Ольга Андреевна

__________

работа защищена

«___»___________200_г.

Оценка _______________

зав. Кафедрой профессор д.ф.-м.н.

Соболев В.А.

Самара 2004

Теорема существования и единственности решения уравнения

Пусть дано уравнение

с начальным условием

Пусть в замкнутой области R функции и непрерывны). Тогда на некотором отрезке существует единственное решение, удовлетворяющее начальному условию .

Последовательные приближения определяются формулами:

  k = 1,2....

Задание №9

Перейти от уравнения

 

 к системе нормального вида и при начальных условиях

, ,

построить два последовательных приближения к решению.

Произведем замену переменных

;

 и перейдем к системе нормального вида:

Построим последовательные приближения

Задание №10

Построить три последовательных приближения  к решению задачи

,

Построим последовательные приближения

Задание №11

а) Задачу

,

свести к интегральному уравнению и построить последовательные приближения

б) Указать какой-либо отрезок, на котором сходятся последовательные приближения, и доказать их равномерную сходимость.

Сведем данное уравнение к интегральному :

Докажем равномерную сходимость последовательных приближений

С помощью метода последовательных приближений мы можем построить последовательность

непрерывных функций, определенных на некотором отрезке , который содержит внутри себя точку . Каждая функция последовательности определяется через предыдущую при помощи равенства

 i = 0, 1, 2 …

Если график функции  проходит в области Г, то функция  определена этим равенством, но для того, чтобы могла быть определена следующая функция , нужно, чтобы и график функции  проходил в области Г. Этого удается достичь, выбрав отрезок достаточно коротким. Далее, за счет уменьшения длины отрезка , можно достичь того, чтобы для последовательности  выполнялись неравенства:

, i = 1, 2, …,

где 0 < k < 1. Из этих неравенств вытекает следующее:

, i = 1, 2, …,

Рассмотрим нашу функцию на достаточно малом отрезке, содержащим , например, на . На этом промежутке все последовательные приближения являются непрерывными функциями. Очевидно, что т.к. каждое приближение представляет из себя функцию от бесконечно малого более высокого порядка, чем предыдущее приближение, то выполняются и описанные выше неравенства. Из этих неравенств следует:

что и является условием равномерной сходимости последовательных приближений.

С другой стороны, на нашем отрезке выполняется , что также совершенно очевидно. А так как последовательность  сходится, то последовательность приближений является равномерно сходящийся на этом отрезке.

Список использованной литературы

1.   Л.С. Понтрягин. «Обыкновенные дифференциальные уравнения», М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961

2.   А.Ф. Филиппов «Сборник задач по дифференциальным уравнениям», М.: Интеграл-Пресс, 1998

3.   О.П. Филатов «Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям»,Самара: Издательство «Самарский университет», 1999

4.   А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева «Дифференциальные уравнения», М.: Наука. Физматлит, 1998


Информация о работе «Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 3505
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 5

Похожие работы

Скачать
31319
15
25

... при финансовой поддержке государственной научно-технической программы «Физика квантовых и волновых процессов» (проект 1.61) и физического учебно-научного центра «Фундаментальная оптика и спектроскопия». 1. Асимптотическое поведение решений дифференциальных уравнений с малым параметром Многие колебательные системы описываются дифференциальными уравнениями с малым параметром при производных: ...

Скачать
40401
0
0

... условий: y(x0)=y0, . Эти начальные условия дают соответственно n уравнений , , , ……………………………… , решая которые относительно c1, c2 , …, cn находят значения этих постоянных. Например, для дифференциального уравнения 1-го порядка общее решение имеет вид y=f(x,c). Тогда начальное условие y(x0)=y0 выделяет из всего семейства интегральных кривых кривую, проходящую через точку M(x0,y0). Геометрическая ...

Скачать
41135
2
10

... . , т.е. таких уравнений, у которых правая часть не является ненпрерывной по x функций рассмотрены в статье [5]. Теория систем автоматического управления, описываемых дифференциальными уравнениями с разрывными правыми частями рассматривается в книгах [13, 14, 15]. В работе С.В. Емельянова [13] излагается один из разделов теории автоматичесеого управления – теория систем с переменной структурой, ...

Скачать
48103
0
18

... начальным условиям  . Пусть  — характеристическое уравнение для определения мультипликаторов. Так как , то оно принимает вид , где . 2. Устойчивость решений систем дифференциальных уравнений. 2.1. Устойчивость по Ляпунову. Вводя определение устойчивости по Лагранжу и Пуассону в пункте 1.3, описывались свойства одной отдельно взятой траектории. Понятие устойчивости по Ляпунову характеризует ...

0 комментариев


Наверх