Навигация
Асимптотика решений дифференциальных уравнений
31319
знаков
15
таблиц
25
изображений
Курсовая работа
по дисциплине “Эффективные алгоритмы исследования моделей естествознания”
на тему: «Асимптотические решения дифференциальных уравнений по малому параметру. Регулярные возмущения»
Содержание
Ведение
Применения регулярного возмущения
1. Асимптотическое поведение решений дифференциальных уравнений с малым параметром
1.1 Асимптотическое поведение решений системы
2. Регулярные возмущения
2.1 Асимптотические методы
2.2 Регулярные возмущения решений задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
2.3 Существование решении возмущенной задачи
Литература
Ведение
Невозможно представить себе современную науку без широкого применения математического моделирования. Сущность этой методологии состоит в замене исходного объекта его «образом» — математической моделью — и дальнейшем изучении модели с помощью реализуемых на компьютерах вычислительно-логических алгоритмов. Этот «третий метод» познания, конструирования, проектирования сочетает в себе многие достоинства как теории, так и эксперимента. Работа не с самим объектом (явлением, процессом), а с его моделью дает возможность безболезненно, относительно быстро и без существенных затрат исследовать его свойства и поведение в любых мыслимых ситуациях (преимущества теории). В то же время вычислительные (компьютерные, симуляционные, имитационные) эксперименты с моделями объектов позволяют, опираясь на мощь современных вычислительных методов и технических инструментов информатики, подробно и глубоко изучать объекты в достаточной полноте, недоступной чисто теоретическим подходам (преимущества эксперимента).
Неудивительно, что методология математического моделирования бурно развивается, охватывая все новые сферы — от разработки технических систем и управления ими до анализа сложнейших экономических и социальных процессов.
Сейчас математическое моделирование вступает в третий принципиально важный этап своего развития, «встраиваясь» в структуры так называемого информационного общества.
Применения регулярного возмущения
Выходные пучки лазеров часто имеют квазирегулярную модуляцию волнового фронта (ВФ). В газовых лазерах с движущейся активной средой такую модуляцию могут вызывать неоднородности, возникающие под действием периодической сопловой решетки [1], под влиянием страт и доменов в газовом разряде [2], в результате наложения ударных волн [3,4], а также под действием ряда других физических факторов. Модуляция ВФ выходных лазерных пучков в литературе чаще всего рассматривается как фактор, влияющий, прежде всего на расходимость излучения.
Гораздо меньше внимания уделяется анализу метаморфоз структуры ВФ, условиям появления и взаимосвязи каустических и фазовых дислокационных образований в лазерных пучках. Такого рода образования регистрируются в излучении лазеров с самыми разными оптическими резонаторами [5,6]. В настоящей работе рассматриваются качественные изменения амплитудно-фазовой структуры лазерных пучков, первоначально обладающих плавной регулярной модуляцией ВФ.
Общее представление о характере рассматриваемых процессов можно получить на примере известной задачи [7] о распространении безграничной волны, фаза которой в начальной плоскости меняется по гармоническому закону. Амплитуда такой волны имеет следующий вид:
где m - параметр, характеризующий глубину фазовой модуляции; х - поперечная координата; а - период модуляции. На расстоянии z от начальной плоскости поле можно представить в виде суперпозиции плоских волн [7]:
где 
- функция Бесселя порядка 
- волновое число. Это поле является частным случаем самовоспроизводящихся полей, свойства которых нашли применение в лазерной технике [8,9]
Используя для расчета характеристик поля его разложение по плоским волнам (2), а также лучевой метод из работы [10], можно установить основные особенности трансформации первоначального распределения амплитуды и фазы. Расчеты показывают, что даже при малой глубине модуляции фазы и равномерном распределении интенсивности в начальной плоскости дифракционные эффекты приводят к значительному пространственному перераспределению интенсивности.
Перераспределение наиболее заметно вблизи плоскостей 
Эти плоскости располагаются между плоскостями, в которых, согласно эффекту Тальбо, воспроизводится первоначальное равномерное распределение интенсивности. Так, при m = 0.1 контраст картины распределения интенсивности 
, а при m = 0.5 контраст К = 2.82. С превышением определенной критической глубины модуляции в структуре волны происходят качественные изменения..
На рис.1 приведены распределения амплитуды А и фазы Ф на расстояниях 
при разных первоначальных глубинах модуляции фазы. Видно, что при превышении критической глубины модуляции появляются линии с нулевыми амплитудами. В распределении фазы им соответствуют КД, обусловленные скачкообразным изменением фазы на π. КД располагаются симметрично относительно осей клювообразных каустик. Клювы каустик, находящиеся сначала вблизи плоскостей 
, с дальнейшим увеличением глубины фазовой модуляции приближаются к плоскостям воспроизведения первоначальной структуры. При этом растет и число КД.
Их расположение по отношению к образующим каустик соответствует рассчитанной на основе интеграла Перси фазовой структуре поля, приведенной в работе [11].
Рис. 1. Распределение амплитуды А (1,2) и фазы Ф (3,4) по поперечной координате х для безграничной волны на расстоянии 
стрелками указано положение клювов каустик.
Продольная структура распределения интенсивности излучения показана на рис. 2 для т = 1.2. Из него видно, что фазовая модуляция вызывает формирование каналов, вытянутых вдоль направления распространения, в которых интенсивность излучения существенно превышает среднюю. Оси этих областей совпадают с осями симметрии клювообразных каустик.
Если фазовая модуляция в начальной плоскости осуществляется не по одной а по двум поперечным координатам, то появляется возможность формирования винтовых дислокаций (ВД) волнового фронта. ВД отличаются от КД принципиально иной топологической структурой (при обходе вокруг ВД фаза меняется на 2п). На рис. 3,а приведена структура эквифазных линий ВФ в начальной плоскости когда распределение поля задается формулой
Здесь функция 
) совпадает с функцией 
при замене поперечной координаты х поперечной координатой у С —константа.
Структура эквифазных линий в начальной плоскости на рис.3,а построена с помощью формулы (3) для С = 0.2 и m = 2. Ход линий свидетельствует о наличии плавных регулярных возмущений волнового фронта. На рис.3,6 изображена структура эквифазных линий на расстояниях
ВД располагаются в точках пересечения эквифазных линий. Они образуют своеобразные квадруполи каждый из которых состоит из четырех ВД. Две из них имеют положительный знак (являются «правыми»), две - отрицательный знак (являются «левыми»). Квадруполи окружают оси каустик.
В отличие от КД каждая из которых строго говоря формируется в определенной плоскости z = const, ВД характеризуются определенной продольной длиной. Как и КД дислокации винтового типа возникают лишь при превышении глубиной первоначальной модуляции волнового фронта некоторого критического значения. Если обозначить через 
разность между максимальной и минимальной фазами в начальной плоскости (при модуляции по одной координате совпадает с ni) то ВД будут возникать когда > 
Все вышеперечисленные эффекты были проанализированы применительно к пространственно-ограниченному пучку с гауссовым профилем распределения интенсивности. В основу расчета была положена формула (2), в которой суперпозиция плоских волн была заменена системой распространяющихся под углом друг к другу raусовых мод свободного пространства [12]. Горловины мод располагались в начальной плоскости
Расчеты показали, что переход к более точной модели гауссова пучка с периодической модуляцией ВФ не вносит существенных качественных изменений в данные о преобразовании амплитудно-фазового распределения, по крайней мере на расстояниях сопоставимых с характерной длиной 
. Как и в случае безграничной волны дислокации ВФ начинают формироваться в ближней зоне, когда глубина модуляции фазы превышает 
. Сказанное иллюстрирует рис. 4, который является аналогом рис. 1 для гауссова пучка. Отношение радиуса пучка в горловине 
к периоду модуляции, а равно пяти.
Из сравнения рис. 1 и 4 видно, что имеющиеся в них различия проявляются в дифракционном «замывании» части дислокаций. Различия усиливаются с ростом координаты z по мере того, как ухудшается периодическая воспроизводимость первоначальной структуры поля. Это видно, в частности, из рис. 5, на котором изображено продольное распределение интенсивности для параметров 
Распределения, приведенные на рис.2 и 5, близки лишь в ближней зоне, для которой характерны узкие зоны, где концентрируется энергия светового потока. В дальней зоне дифракции перекрытие гауссовых угловых компонент излучения ослабевает, и структура излучения кардинальным образом отличается от структуры безграничной волны: излучение представляет собой «веер» пучков, интенсивность которых убывает с увеличением угла наклона.
Фазовая модуляция гауссова пучка по двум поперечным координатам, если ее глубина превышает указанную выше критическую глубину, приводит к появлению на волновом фронте БД. Как и в безграничной волне, эти БД обладают определенной продольной длиной, увеличивающейся с ростом глубины модуляции. Это свойство БД значительно облегчает их экспериментальное обнаружение. В дальней зоне дифракции вследствие изменения фазы в начальной плоскости по двум координатам будут формироваться два веера пучков, располагающихся во взаимно перпендикулярных плоскостях.
Заметим в заключение, что результаты выполненного анализа могут быть частично перенесены и на случай нерегулярной плавной модуляции ВФ, если длина рассматриваемой пространственной области сопоставима с величиной аЦк, где ап - характерный размер нерегулярных возмущений ВФ. В частности, это относится к образованию в световом поле каналов с повышенной интенсивностью и к появлению дислокаций волнового фронта при превышении фазовыми возмущениями определенного значения.
Таким образом, плавные возмущения ВФ играют важную роль в трансформации амплитудно-фазового профиля излучения и в формировании каустических и дислокационных образований. Появление каустик и дислокаций волнового фронта носит пороговый характер и непосредственно связано с глубиной первоначальной модуляции фазы. Для практики важным является то, что появление указанных образований в лазерном пучке сопряжено с формированием узких каналов, в которых интенсивность излучения значительно превышает среднюю.
Работа выполнена при финансовой поддержке государственной научно-технической программы «Физика квантовых и волновых процессов» (проект 1.61) и физического учебно-научного центра «Фундаментальная оптика и спектроскопия».
Похожие работы
... . Ван-дер-Поль показал, что для этой цели можно использовать малые нелинейности, однако даже при малых нелинейностях получившаяся задача не допускала интегрирования колебаний в квадратурах. Ван-дер-Поль разработал приближенный асимптотический метод интегрирования дифференциальных уравнений второго порядка подобного рода. 1.1. Метод усреднения Ван-дер-Поля. В своих исследованиях Ван-дер-Поль ...
... Подробное описание различных свойств решений уравнения в связи с их многочисленными приложениями содержится в учебном пособии [8]. Заключение Исследование аналитических свойств решений системы двух нелинейных дифференциальных уравнений третьего порядка, порождаемой прямым и обратным преобразованиями Беклунда высшего аналога второго уравнения Пенлеве позволило доказать существование у неё ...
... мере, синергетическим стилем мышления может быть некой платформой для открытого творческого диалога между учеными, мыслителями, деятелями искусства, имеющими различные творческие установки и взгляды на мир. 2. Некоторые парадоксальные следствия синергетики Множество новых парадоксальных идей, образов и представлений возникает в синергетике. Кроме того, с точки зрения синергетики может быть ...
... , момента электромагнитного импульса. Таким образом, имеем серьезную, необходимо требующую разрешения проблему, в которой надо должным образом проанализировать известные либо вскрыть новые реалии в физическом содержании уравнений Максвелла, в частности, понять роль и место векторных потенциалов в явлениях электромагнетизма. Покажем, как это можно сделать! Поставленная задача и проведенный в этом ...
0 комментариев