Уравнения математической физики

§ 1.Тема. Некоторые определения и обозначения.

Определение.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции. Если неизвестная функция зависит от одной переменной, то это обыкновенное дифференциальное уравнение, иначе - уравнение в частных производных.

Определение.

Наивысший порядок производных неизвестной функции, входящих в уравнение, называется порядком уравнения.

Определение.

Дифференциальное уравнение называется линейным, если производные и сама неизвестная функция входят в уравнение линейным образом.

µ§ (1)

Пусть выбран любо鵧, где µ§, и его норма:

µ§- дифференциальный оператор.

µ§ - запись линейного диф. уравнения с помощью диф. оператора. (2)

Определение.

Открытое, связное множество µ§ называется областью.

По умолчанию будем считать область ограниченной.

Через µ§или µ§ будем обозначать границу области.

Определение.

µ§ - (n-1)-мерное многообразие S в µ§ принадлежит классу µ§ (µ§), если

для µ§ и µ§ такие, что:

µ§, где µ§

µ§ однозначно проектируется на плоскость µ§, при этом:

D - проекция данного множества на плоскость µ§, µ§ - k раз непрерывно дифференцируема в D по всем переменным.

Можно разбить поверхность на части, в каждой части можно одну координату выразить через другие непрерывно дифференцируемой функцией.

µ§ - множество k раз непрерывно дифференцируемых функций в Q.

µ§ - множество k раз непрерывно дифференцируемых функций в µ§.

µ§, аналогично µ§.

µ§ - множество финитных k раз непрерывно дифференцируемых функций.

Аналогично: µ§.

§ 2. Классификация линейных уравнений в частных производных второго порядка.

µ§.

µ§ - матрица квадратичной формы.

µ§ - n вещественных собственных значений матрицы A

µ§ - количество положительных собственных значений.

µ§ - количество отрицательных собственных значений.

µ§ - количество нулевых собственных значений с учетом кратности.

1.Если µ§= n или µ§= n, то это эллиптическое уравнение.

Ex: Уравнение Пуассона

µ§.

2.Если µ§ = n - 1, µ§ = 1, или µ§ = 1, µ§ = n - 1, то уравнение гиперболическое.

Ex: µ§ - волновое уравнение.

Для уравнения Лапласа:

µ§

Для волнового уравнения:

µ§

3.Если µ§, а µ§, то ультрагиперболическое уравнение.

Ex: µ§.

4.Если µ§, то параболическое уравнение.

Ex: µ§, и - уравнение теплопроводности.

µ§

Определение.

Каноническим видом линейного дифференциального уравнения в частных производных называется такой вид, когда матрица A является диагональной.

Приведение к каноническому виду.

1) y=y(x), то:

µ§

Уравнение (1) в новой системе координат:

µ§ (1')

Матрица Якоби:

µ§.

В результате:

µ§

Ex:

µ§

гиперболическое уравнение.

µ§ - канонический вид волнового уравнения.

Замечание: тип уравнения может быть различный в различных точках.

§ 3.Постановка начальных и краевых задач для уравнений в частных производных.

Задача Коши для волнового уравнения:

µ§ µ§

Уравнение теплопроводности

µ§ µ§

Уравнение Пуассона

µ§

Определение.

Если малые изменения правой части уравнения приводят к большим изменениям в решении, то задача считается некорректной.

µ§ (6)

µ§ (7.1)

µ§ (7.2)

µ§ (7.3)

(6)(7.1) - первая краевая задача, задача Дирихле.

(6)(7.2) - вторая краевая задача, задача Неймана.

(6)(7.3) - третья краевая задача.

Волновое уравнение.

µ§ (8)

µ§ (9)

µ§ (10)

µ§ (11.1)

µ§ (11.2)

µ§ (11.3)

(8) (9) (10) (11.1) - смешанные

(11.2) задачи

(11.3) (краевые задачи)

µ§ - единичный вектор внешней нормали к поверхности.

На µ§ задаются начальные условия.

На боковой поверхности - краевые задачи.

Параболическое уравнение.

µ§ (12)

µ§ (13)

µ§ (14.1)

µ§ (14.2)

µ§ (14.3)

(12) (13) (14.1) - первая, вторая и третья смешанные задачи

(14.2) для уравнения

(14.3) теплопроводности.

(14.1) - на границе задана температура;

(14.2) - задан тепловой поток;

(14.3) - задан теплообмен с окружающей средой.

§ 4. Решение смешанных задач для волнового уравнения методом Фурье (разделением переменных).

Первая смешанная задача.

µ§ (1)

µ§ (2)

µ§ (3)

µ§ (4)

µ§ (5)

µ§ (6)

Собственные значения (5) - (6) вещественны, имеют конечную кратность.

µ§

µ§ - изолир. µ§.

µ§ - ортонормированный базис в µ§.

В симметричной матрице собственные вектора, соответствующие разным собственным значениям, попарно ортогональны.

Пусть функции µ§ - разложены по базису µ§

µ§

тогда и u(t,x) можно разложить по базису µ§ : µ§

Почленно дифференцируем ряд 2 раза:

µ§

µ§ (7)

Путём разложения решения в ряды по собственным функциям задачи алгебраизуем задачу, получаем счётное число обыкновенных дифференциальных уравнений.

µ§ (8)

µ§ (9)

(7) (8) (9) - задача.

Решим однородное уравнение для (7):

µ§

- общее решение однородного уравнения (7)

µ§

µ§ (10)

µ§

В результате: µ§ - частное решение неоднородного уравнения (7).

µ§ - общее решение уравнения (7).

Подставим (8) и (9) в решение:

µ§

т.е. µ§.

µ§

Замечание: не обоснована сходимость рядов.

§ 5.Решение смешанных задач уравнения теплопроводности методом Фурье (разделения переменных).

µ§ (1)

µ§ (2)

µ§ (3)

µ§ (4)

µ§ (5)

µ§ - собственные векторы и собственные значения.

µ§

µ§ (6)

µ§

µ§ - общее решение однородного уравнения (6)

µ§ - частное решение неоднородного уравнения (6)

µ§

µ§ - общее решение уравнения (6).

µ§

µ§

Рассмотрим функцию:

µ§

µ§ - бесконечно дифференцируема при µ§.

Если µ§ из µ§, то:

µ§

µ§, и при µ§ функция склеивается как бесконечно гладкая.

µ§-финитная :µ§

µ§ - замыкание множества, где µ§ отлична от 0.

µ§.

Введём µ§ - функция n переменных.

Свойства µ§ :

1) µ§- бесконечно дифференцируемая, финитная:

µ§.

2) µ§ - замкнутый шар радиуса h с центром в O.

µ§.

3)µ§

Доказательство.

µ§, С находится из условия µ§.

4) µ§.

Обозначим: µ§

µ§

Интеграл по x бесконечно дифференцируем.

Если µ§, то: µ§

Носитель функции принадлежит области интегрирования, и: µ§.

Если µ§, то µ§ : µ§.

Свойства функции µ§:

µ§

µ§

µ§

µ§

µ§ - срезающая функция.

Пространство µ§.

Определение.

Пусть µ§. Назовём множество функций µ§, пространством µ§, если:

- µ§ - измеримы в Q;

- µ§ в смысле Лебега.

Вводится µ§. Выполняются все аксиомы скалярного произведения.

Утверждение (без доказательства).

µ§ - полное пространство.

Вводится µ§.

Свойства пространства µ§.

Теорема 1.

Множество финитных бесконечно дифференцируемых функций всюду плотно в пространстве µ§ :

µ§.

Доказательство.

Множество ступенчатых функций плотно в µ§.

Множество линейных комбинаций характеристических функций всюду плотно в µ§.

Доказать: любую характеристическую функцию измеримого множества можно сколь угодно точно аппроксимировать финитными функциями.

Любое измеримое множество сколь угодно точно может быть аппроксимировано открытыми областями.

Доказать: характеристическую функцию µ§ можно сколь угодно точно аппроксимировать финитными бесконечно гладкими функциями.

µ§

Рассмотрим µ§ - финитная, бесконечно дифференцируема в µ§.

µ§

Значит, µ§.

µ§

Аппроксимация получена.

Теорема 2.

Множество непрерывных функций всюду плотно в пространстве µ§.

Определение 2.

Пусть µ§ и считается продолженной нулем вне Q µ§. Скажем:

f - непрерывна в среднеквадратичном, если µ§:

µ§.

Теорема 3.

Любая функция из µ§ непрерывна в среднеквадратичном.

Доказательство.

Пусть µ§. Пусть µ§

µ§

Оценим:

µ§

При сдвиге supp сдвигается в пределах шара радиуса 2a.

µ § µ§

Теорема доказана.

Определение 3.

µ§

µ§ - бесконечно дифференцируема, финитна.

Свойства:

µ§

µ§ - осреднение функции f.

Теорема 4.

µ§

Любая функция из µ§ сколь угодно точно аппроксимируема своими осреднениями - бесконечно дифференцируемыми, финитными в µ§.

Доказательство.

µ§

От Q к µ§, от µ§ к µ§

µ§

При µ§.

Возьмем любые две функции:

µ§

Определение.

µ§- множество функций, принадлежащих µ§ на любом компакте внутри области.

µ§

Определение 1.

Пусть µ§

µ§ - обобщённая производная функции f, если µ§ выполняется:

µ§ (1)

Теорема 1.

Обобщённая производная определяется единственным образом.

Доказательство.

Предположим противное: µ§ - обобщённые производные функции f.

µ§ (2)

µ§ (3)

(2),(3) - тождество для µ§

µ§ - что и требовалось доказать.

Теорема 2.

Обобщённые производные не зависят от порядка дифференцирования.

Доказательство - из интегрального тождества (1).

Примеры обобщённых производных.

Ex 1.

µ§

По определению:

µ§

Пусть µ§ и µ§

µ§

µ§

Ex 2.

µ§

Покажем, что обобщённой производной не существует.

Пусть µ§, то:

µ§

где µ§

1) пусть µ§ носитель в µ§, то :

µ§

2) пусть µ§ : µ§, значит:

µ§

Вывод: µ§.

µ§

Вывод: µ§, не имеет обобщённой производной.

Теорема 3.

Пусть µ§ имеет обобщённую производную µ§, то:

1. µ§ (4)

µ§

если µ§.

2. Если к тому же µ§

µ§ (6)

µ§ (7)

Доказательство.

µ§

Выберем h так, чтобы µ§

µ§

Подсказка: если функция финитна, то её носитель - внутри области.

Если функцию умножить на срезающую, то ничего не изменится.

Теорема 4.

µ§

Утверждение.

Пусть µ§, то µ§

µ§

Пусть µ§ - открытый компакт, то µ§ для µ§

µ§

µ§

Теорема 5.

Пусть µ§. µ§ имеет обобщённые производные µ§ и µ§, то

существует обобщённая производная µ§.

Пространство Соболева.

Определение.

µ§, такая, что µ§ называется пространством Соболева порядка k.

µ§

Обозначения: µ§, µ§ или µ§.

Введём µ§.

Утверждение.

µ§ - гильбертово(унитарное, сепарабельное).

Теорема 1.

µ§ - полное пространство.

Доказательство.

µ§ - фундаментальная в µ§ µ§

µ§.

µ§ - мультииндекс

µ§ - может быть равен 0.

µ§

µ§ в µ§.

µ§ в µ§.

Интегральное тождество для µ§:

µ§

Из сильной сходимости следует слабая:

µ§

µ§

Вывод: пространство полное.

Свойства пространств Соболева.

1.µ§ для µ§.

2.Если µ§, то µ§.

3.Если µ§, то µ§.

4.Если µ§, то

µ§

если µ§, то µ§.

5.µ§ - невырожденное, k раз непрерывно дифференцируемое преобразование, отображающее µ§ в µ§.

µ§ и пусть µ§.

Пусть µ§.

Пусть µ§, то µ§.

Утверждение.

Невырожденная, гладкая замена переменных сохраняет принадлежность функции пространству Соболева.

6.Обозначим µ§ - куб со стороной 2a с центром в начале координат.

Множество бесконечно дифференцируемых функций замыкания куба является всюду плотным в µ§.

µ§.

Доказательство.

Раздвинем область, возьмём µ§ и будем её аппроксимировать последовательностью бесконечно гладких функций.

µ§ (определена в растянутом кубе)

µ§

Оценим: µ§

µ§

Выберем µ§ и рассмотрим µ§

µ§

Разбиение единицы.

Теорема.

Пусть µ§ - ограниченная область, пусть µ§ - покрытие замыкания Q, µ§ - может равняться бесконечности.

µ§ - открытые, тогда: существует конечный набо𠵧 - финитные, бесконечно дифференцируемые в µ§, неотрицательные функции, такие, что:

µ§

Используется для локализации свойства: U имеет свойство на µ§, расширяем D на µ§ путём домножения на µ§.

Доказательство.

Возьмём µ§. Для µ§ - y покрывается множеством µ§.

Для каждой выбранной y построим:

µ§

µ§ покрывается µ§. Из бесконечного покрытия выберем конечное подпокрытие:

µ§.

Обозначим: µ§. Обозначим: µ§.

Определим: µ§:

µ§

Получили: µ§.

Если µ§, то µ§, µ§, и µ§.

Знаменатель в 0 не обращается.

Построена

µ§ выполняется свойство 3.

µ§ - выполняются свойства 1 и 2.

Теорема о разбиении единицы доказана.

Теорема о продолжении функции.

Частный случай - продолжение из прямоугольников.

µ§

Продолжение функции из µ§ в µ§.

Лемма 1.

µ§ µ§ - продолжение функции f:

µ§ и µ§

1.Определить функцию.

2.Проверить условие сливания: совпадание значений функции и её производных по µ§ до k-го порядка.

Доказательство.

Определим µ§ (2)

Коэффициенты µ§ из условия:

µ§

µ§ (3)

µ§

Значит, функция непрерывна.

Теперь - доказательство совпадения производных.

µ§

Выполняется одно уравнение из (3), и:

µ§.

Значит: µ§.

Неравенство (1) очевидно через определение нормы в µ§.

Замечание: из доказательства и свойства (6) пространств Соболева следует: можно перейти к µ§ - пространству Соболева с выполнением этой теоремы, и (1) тоже справедливо.

Замечание: в силу того, что множество бесконечно дифференцируемых функций в замыкании куба всюду плотно в пространстве µ§ в этом кубе и в силу того, что протсранство Соболева инвариантно относительно невырожденной гладкой замены переменных.

Лемма 2.

µ§

µ§ (4)

Теорема о продолжении функции.

Пустьµ§ - ограниченная область, граница µ§. Пусть µ§ (µ§- область), тогда:

µ§ - продолжение f, такая, что:

1)µ§

2)µ§

3)µ§ (5)

Замечание.

Лемма 1 - рассмотрены кубики, в теореме: из Q на µ§ и все свойства, как в лемме 1.

Доказательство.

В окрестности каждой точки границы: µ§ нарисуем ша𠵧.

Пусть в O(z) граница задаётся уравнением µ§.

Введём новые переменные:

µ§ - невырожденное преобразование координат.

Преобразование: µ§ - внутри пространства Соболева.

Во что перейдёт множество: µ§

Вырезали куб µ§.

Результат преобразования

Прообраз куба µ§ - криволинейный кубик.

Покроем границу кубиками Vⁱ и выберем конечное подпокрытие.

(T^ju)(y) = u(x(y)) (xОV^j) - переход от x к y,

переход от y к x : µ§

µ§

Введём : µ§ µ§ если µ§

µ§

µ§ на носителях µ§ обратятся в 1.

µ§

Свойства оператора продолжения: