Краткий анализ современного состояния процентов в школьном курсе математике

1.2 Краткий анализ современного состояния процентов в школьном курсе математике.

Тему «проценты» нельзя отнести к легко усеваемым. Ее традиционное изучение сосредоточено в строгих временных рамках курса V – VI классов, что не позволяет расширить спектр практических приложений и полноценно учитывать возрастные возможности учащихся в формировании ряда практических умений в работе с процентами. Покажем, как предлагается изучать этот материал в учебных комплектах по математике для V –VI классов по редакцией Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина и для VII – IX классов по редакцией Г.В. Дорофеева. Прежде всего, отметим, что при изложение темы «проценты» реализуются многие общие методические особенности, характерные для курса в целом. Тема разворачивается по спирали и изучается в несколько подходов с VI по IX класс включительно. При каждом проходе учащиеся возвращаются к процентам на новом уровне, их знания пополняются, добавляются новые типы задач и приемы решения. Такое многократное обращение к понятию приводит к тому, что постепенно оно усваивается прочно и осознано. Появляется возможность включать задачи, которые сейчас в действующих учебниках не могут рассматриваться просто в силу возрастных особенностей школьников. Вопросы, связанные с процентами, позволяют сделать курс практическо-ориентираванным, показать учащимся, что приобретаемые ими математические знания применяются в повседневной жизни. Интерес в значительной степени поддерживается также и содержанием задач, фабулы которые приближены к современной тематике и к жизненному опыту детей, а затем и подростков. Это служит достаточно сильным мотивом для решения предлагаемых задач. Введение процентов опирается на предметно практическую деятельность школьников, на геометрическую наглядность и геометрическое моделирование. С самого начала освоения понятия учащиеся выполняют много заданий, в которых требуется заштриховать, закрасить, начертить, вырезать часть фигуры. Широко используются рисунки и чертежи, помогающие разобраться в задаче и увидеть путь решения. Как и во всех остальных разделах курса, при изложение этой темы реализованы широкие возможности для дифференцированного обучения учащихся. Задачи предаются в широком диапазоне сложности – от самых простых, базовых, до достаточно трудных. Учитель может подобрать материал, соответствующий возможностям учащихся. При обучение решению задач на проценты учащиеся знакомятся с разными способами решения задач, причем спектр примеров шире, чем это бывает обычно. Ученик овладевает разнообразными способами рассуждения, обогащая свой арсенал приемов и методов. Но при этом также важно, что он имеет возможность выбора и может пользоваться тем приемом, который ему кажется более удобным. Впервые о процентах учащиеся узнают в V классе. Там проценты рассматриваются дважды: в начале учебного года, то есть до изучения десятичных дробей (при повторении и систематизации материала, связанного с обыкновенными дробями ), а затем в середине учебного года после изучения десятичных дробей если в первом случае тема проценты затрагивается поверхностно, то во втором случаи при изучение десятичных дробей идет уже более глубокое изучение темы проценты уже более осмысленно. « Что такое процент » - это первая тема изучаемой линии. Основная цель данного этапа – сформировать понимание процента как специального способа выражения доли величины, выработать умение выражать процент соответствующей обыкновенной дробью. Учащиеся должны понять, что проценты не просто пустое слово, а что это универсальная величина измерения, которая появилась из практической необходимости измерения различных величин и не только денежных. Не надо торопится приступать к решению задач на нахождению процента тот некоторой величины. Надо дать учащимся возможность привыкнуть к введенному понятию, освоить фактически другую терминологию. Через систему упражнений, как учебника, так и рабочей тетради ребята учатся употреблению нового термина, «переводу» задач с языка долей и дробей на язык процентов и обратно. В результате еще до решения основных задач на проценты, учащиеся прочно овладевают достаточно большим набором фактов, которые помогают им в дальнейшем при изучении как темы проценты, так и математики в целом. Так, они усваивают некоторые «эквиваленты»: 25 % величины – это 1/4 этой величины; половина некоторой величины – это ее 50 %; 30 % величины втрое больше, чем ее 10 % и т.п. Ребята учатся сравнивать доли величины, заданные разными способами: 1/3 больше, чем 25 %; 7/12 некоторой величины больше 50 % этой величины; 23 % меньше четверти; вся величина - это 100 %. И т. д. Выработке навыков помогает специальная работа учащихся в тетради, по специальному материалу подобранному специально по учебник. Предлагаемая серия практических заданий способствует усвоению учащимися понятия процента. Приведем несколько примеров для рабочей тетради. Пример: Заштрихуйте на рисунки указную часть круга: 25% 50% 75% 100% Выберите для каждого процента в левом столбце соответствующею ему дробь: 10% 1/2; 50% 9/10; 30% 1/10; 75% 1/4; 90% 3/10; 25% 3/4. Среди упражнений, направленных на сознательное усвоение материала, могут предлагаться такие задачи: Примеры: 1. Для каждой фразы из левого столбца подберите соответствующую фразу правом: 100 % учащихся школы 25 % учащихся школы 10 % учащихся школы 50 % учащихся школы а) половина всех учащихся школы б) все учащихся школы в) четверть всех учащихся школы г) десятая часть всех учащихся школы. 2. Туристы проехали 50 % пути на поезде и 40 % пути на автобусе. Весь ли путь они проехали? 3. В классе 40 % девочек. Кого в классе больше – мальчиков или девочек? 3. Что больше: а) 60 % всего класса или половина класса? б) 10 % зарплаты или четверть зарплаты? в) половина или 45 % всего населения страны? Теперь, когда учащиеся достаточно свободно и осознано, владеют понятием процента, можно перейти к задаче на нахождение процентов некоторой величины. Методически целесообразно сначала находить один процент величины, а потом – несколько процентов этой величины ( желательно чтобы у педагога уже были сформированы основные алгоритмы по методике нахождению процентов ). Что касается второго приема решения ( путем умножения на обыкновенную дробь ), то здесь он, конечно, рассматривается, но его обязательное условие отнесено на более поздние сроки. Опыт показывает, что соответствующий навык вырабатывается в процессе многократного применение первого приема, как результат «свернутого» действия. Поэтому на данном этапе второй прием в обязательные требования не включается. Формулировки некоторых задач предлагаются в развернутом виде, то есть к рассматриваемому в условии сюжету поставлены не один, а несколько последовательных вопросов. Тем самым привлекается внимание учащихся к тому, какую информацию можно извлечь из ситуации с процентами. Пример: 1. В магазине было 800 кг картофеля. Продали 60 % картофеля. 1. Сколько килограммов картофеля продано? 2. Сколько процентов всего картофеля осталось в магазине? 3. Сколько килограммов картофеля осталось в магазине? 2. В кассе учреждения было 9000 руб. На оплату командировочных израсходовали 80 % этой суммы. Какие вопросы можно поставить к задаче? Ответьте на них. Специальная серия задач, посвященная трудному вопросу об увеличении на 200 %, 300 % и т.д. Нужно постепенно подводить учащихся к пониманию того, что, например, увеличение на 100 % - это то же самое, что увеличение в 2 раза и т.д. Приведем примеры: Фирма в первый месяц выпустила 160 игрушечных автомобилей, в следующем месяце она увеличила выпуск игрушек на 200 %. Сколько игрушечных автомобилей стала выпускать фирма? Во сколько раз увеличился выпуск игрушечных автомобилей? В первом квартале 1995 года квартплата в Москве в Омах с лифтом была на 100 % выше квартплаты в домах без лифта (рис. 2). Во сколько раз квартплата в домах с лифтом была выше квартплаты в домах без лифта?

Кварт-

плата

200%

В связи с инфляцией стоимость проезда в городском транспорте за полгода возросла на 300 %. Во сколько раз повысилась стоимость проезда? Учащиеся также знакомятся с формой неявного использования процентов, типичной для средств массовой информации, например: «Из каждых 100 новорожденных 51 - мальчики ». Второй подход в изучении процентов связывается с десятичными дробями, здесь предлагаются два специальных пункта. В пункте «Главная задача на проценты» учащиеся учатся находить процент величины умножением на десятичную дробь. Приведем пример задачи и ее решения разными способами. Оптовая цена товара на складе 5500 руб. Торговая надбавка в магазине составляет 12 %. Сколько стоит товар в магазине? I способ: 12 % - это 0,12; 0,12 от 5500 руб. составляет 5500*0,12 = 660 (руб.), поэтому товар в магазине стоит 5500 + 660 = 6160 (руб.). II способ: оптовая цена составляет 100 %, а цена товара в магазине на 12 % больше, т. е. она составляет 112 %; 112 % - это 1,12; 1,12 от 5500 руб. составляет 5500*1,12 = 6160 (руб.). В пункте «Выражение долей в процентах» центральной является задача об определение того, сколько процентов одна величина составляет от другой. Здесь принят подход, в соответствии с которым сначала находят, какую часть одна величина составляет от другой, выражают ее при необходимости десятичной дробью, а затем – в процентах. Одна из особенностей вычислительной линии курса состоит в формировании умений выполнять прикидку или оценку результата вычисления. При изучении процентов эта работа, естественно, продолжается. Учащимся предлагаются задачи из повседневной практики, в которых требуется найти приближенно с помощью прикидки процент от заданной величины, для этого достаточно заменить данные другими числами, близкими к ним и удобными для расчетов. Так, если требуется прикинуть, чему равны 19 % от какой – либо величины, то находят 20 % этой величины, т.е. ее пятую часть. Вот примеры задач. Перед новым годам магазин снизил цены на товары на 25 %. На сколько примерно рублей понизилась цена товара, если до снижения она составляла 799 руб.? 1980 руб.? 9880 руб.? 11890 руб.? Выполните прикидку и вычислите примерно: а) 19 % от 120 кг. б) 52 % от 697 руб. в) 26 % от 810 м. г) 21 % от 1990 руб. д) 676 % от 4012 км. е) 9 % от 200 г. Третий подход в изучении процентов отнесен к VII классу. В силу возрастных возможностей шестиклассников и уже накопленного ими опыта работы с процентами учащимся становится доступными многие вопросы из тех, что традиционно не рассматривались со всем классом, а предлагались лишь в качестве дополнительных в работе с сильными учащимися. В первой главе учебника выделен пункт «Решение задач на проценты», в котором помещен материал, позволяющий вспомнить сведения из V класса, и продвинутся в решении задач. Теперь рассматриваются более сложные в техническом отношение задачи. Они требуют достаточно прочного навыка представления процентов дробью и наоборот, умения того, какая из величин, участвующих в задаче, принимается за 100 %. Поэтому в начале теоретической части пункта рассматриваются приемы, с помощью которых десятичная дробь выражается в процентах и, наоборот; здесь специально выделяется вопрос о «маленьких» и «больших» процентах, как наиболее трудный для усвоения. На примере приведенной ниже задачи подробно радачи подробно рбы решения. Пример: Весной цена товара была повышена на 10 %, а осенью – еще на 5 %. Сколько стал стоить товар, если его стоимость была 3000 руб.? Решение: Для начала найдем стоимость после первого повышения 3000 / 100 % или 1% = 30 отсюда 10 % = 300 рублей. 3000 + 300 = 3300 рублей. Найдем стоимость после второго повышения. 3300 / 100 % = 33 или 1 % = 33 рубля отсюда 5 % = 165 рублей 3300 + 165 = 3465 рублей. Ответ: 3465 рублей. Предлагаемые в системе упражнения задачи, как правило, допускают разные способы рассуждений, и учащиеся самостоятельно выбирают более удобный и понятный для себя. Кроме задач на нахождение процента от величины, рассматриваются задачи на нахождение величины по известному проценту. Отметим еще один методический подход, используемый в изучение процентов. Первую главу заключает раздел «Для тех, кому интересно», в котором учащиеся еще раз встречаются с задачами на проценты. Здесь рассматриваются восемь, если можно так сказать, «классических олимпиадных» задач. Обычно они не включаются в учебники, так как являются трудными, но будет жаль, если учащиеся уйдут из школы, не увидев эти красивые и изящные задачи. Приведем пример одной из задач. Пример: Книга дороже альбома на 25 %. На сколько процентов альбом дешевле книги? Решение: Цена альбома – 100%. Изобразим ее каким либо отрезком ( рис. 3 ). Увеличим этот отрезок на 25 %, т.е. на 1/4 его часть; получим отрезок соответствующий цене книги. Теперь цена книги составляет 100%. Она изображена большим отрезком. Цена альбома меньше цены книги на 1/5 этого отрезка. Так как 1/5 составляет 20 %, то альбом дешевле книги на 20 %. Цена альбома – 100% Цена книги – 100 % Цена книги на 25 % больше Цена альбома на 20 % меньше Ответ: на 20 % Вся методика обучения решению задач, принятая в учебнике, позволяет показать учащимся наглядный способ их решения с помощью рисунков ( хотя, конечно, эти задачи можно решить арифметически ). При изучении следующей главы «Отношения и пропорции» учащиеся активно пользуются опытом работы с процентами и приобретают новый. В систему упражнений включены новые задачные ситуации, проиллюстрированные ниже. В сплав входит медь, олово и сурьма в отношении 4:15:6. Сколько процентов сплава составляет каждый метал? На облицовку подъезда в строящемся доме ушло 18 дней. За сколько дней можно было бы выполнить эту же работу, если повысить производительность на 20 %? По мере овладения новым математическим аппаратом при изучении алгебры, учащиеся осваивают стратегию решения расчетных задач на проценты – с помощью составления уравнения. Задачи на «концентрацию», «сплавы», «банковские расчеты» - это хорошие примеры практических задач, позволяющие продемонстрировать, как формальные алгебраические знания применяются в реальных жизненных ситуациях. Для того чтобы помочь учащимся осознать на новом уровне подход к решению задачи с процентами, в учебнике приводятся образцы решения ряда задач. К разобранному образцу учащиеся при желании могут, вернутся вновь, и использовать его в качестве опоры при решении подобной задачи. Завершается линия процентных вычислений в IX классе темой «Простые и сложные проценты», включенной в изучение главы «Арифметическая и геометрическая прогрессии». Сведения о простых и сложных процентах, которые сами по себе имеют большую практическую значимость, являются достаточно благоприятным материалом для применения знаний, полученных на уроках математики. Возможность опирается на сформированные навыки в работе с процентами, на умение воспользоваться калькулятором, табличным и графическим представлением информации позволило расширить диапазон решаемых задач на проценты. В учебнике не водится формулы простых и сложных процентов. Учащиеся должны решать задачи, опираясь не на формулы, а на понимание, на смысл понятия «процент», на умение находить процент от числа. В теме широко используется калькулятор, который и позволяет рассматривать самые разнообразные задачи. Отметим, что в данном курсе в русле новой содержательной линии «Анализа данных» формируются приемы сбора, представления и анализа информации, так или иначе связанной с процентами. Естественно, что проценты V – VI классах используется для представления информации в виде таблиц диаграмм, в VII – IX классах – при изучении вероятностно-статистического материала. История математики на уроках 1.3 История процентов. 5 класс

В этом разделе школьной программы 5-го класса хорошо было бы рассказать учащимся об истории возникновения процентов, а также об истории появления на свет знака процента.

Также при изучения этого материала необходимо учащимся объяснить, что такое – сотая часть числа (например, сотая часть рубля это копейка ) надо отметить, что к этому времени учащиеся уже прошли деление, и дроби, так что у них не возникнет проблем. Так же надо отметить, что люди давно заметили, что сотые доли величин более удобны на практике (например, при записи десятичных дробей)

Итак, слово процент от латинского слова pro centum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян. Ряд задач клинописных табличек посвящен исчислению процентов, однако вавилонские ростовщики считали не «со ста», а «с шестидесяти». Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим народам Европы.

Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые сто рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Ныне процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу).

Знак % происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту (/), возник современный символ для обозначения процента (см. схему, которую можно использовать на уроке).

В учебнике Н.Я. Виленкина, В.И. Жохова, А.С. Чеснокова и С.И. Шварцбурда «Математика, 5», вышедшем в издательстве «Мнемозина» в 1996 г. в рубрике «История математики» (с. 337) дана еще одна достаточно любопытная версия возникновения знака %. Там, в частности, говорится, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 г. в Париже была опубликована книга-руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %.

В названном учебнике содержатся также достаточно полезные с точки зрения общего развития дополнительные сведения, касающиеся промилле (от латинского «с тысячи») – десятой части процента. Сказать учащимся об этом нужно, указав при этом его обозначение ‰.

Вообще, изобретение математических знаков и символов значительно облегчило изучение математики и способствовало дальнейшему ее развитию.

В качестве опорного сигнала к этому уроку может быть использован следующий плакат:

Он может сопровождаться, в частности, таким комментарием: «Римляне брали с должника лихву (т. е. деньги сверх того, что дали в долг). При этом говорили: «На каждые 100 сестерциев долга заплатить 16 сестерциев лихвы».

У учителя может возникнуть вопрос: а какие старинные задачи можно решать в этой теме с учащимися? Что ж, если таких задач учитель не найдет, то ему придется самому сочинить их.

Задачи с историческими сюжетами учитель с легкостью может составить сам, например, путем переформулировки некоторых задач, изложенных в учебнике 5-го класса. Ему просто следует ввести в такие задачи старинный сюжет. Разумеется, главное в составлении таких задач – фантазия, эрудиция и понимание цели образовательных задач.

Приведу примеры двух задач исторического содержания, которые были составлены для работы в 5-м классе по теме «Проценты».

Задача 1. Один небогатый римлянин взял в долг у заимодавца 50 сестерциев. Заимодавец поставил условие: «Ты вернешь мне в установленный срок 50 сестерциев и еще 20% от этой суммы». Сколько сестерциев должен отдать небогатый римлянин заимодавцу, возвращая долг?

Ответ: 60 сестерциев.

Задача 2 (более сложная). Некий человек взял в долг у ростовщика 100 р. Между ними было заключено соглашение о том, что должник обязан вернуть деньги ровно через год, доплатив еще 80% от суммы долга. Но через 6 месяцев должник решил вернуть свой долг. Сколько рублей он вернет ростовщику?

Ответ: 140 руб.

Глава 2. Методика изучения процентов в младших классах.